2024年江西省九江市永修县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年江西省九江市永修县中考数学一模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
2．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其表达式为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+3B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣2（x+2）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣2）2+3
3．（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A．2πB．4πC．12πD．24π
4．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠CAD＝70°，则∠ABC的度数是（ ）
A．40°B．30°C．20°D．10°
5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，PA交y轴于点C，AO＝BO＝BP．若△ABP的面积是4，则k的值是（ ）
A．1B．2C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的根是 ．
8．（3分）如图，半径为2的⊙A经过原点O和点C，B是y轴左侧⊙A上的一点，且∠OBC＝20°，则的长为 ．
9．（3分）若抛物线y＝mx2﹣6x﹣9与x轴只有一个交点，则m的值为 ．
10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝16，EB＝4，则⊙O的半径为 ．
11．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则cs∠ACB的值是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且A（0，3）、B（5，3），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点B′恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C′的坐标为 ．
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13．（6分）（1）计算：tan45°+4cs30°sin45°﹣tan60°．
（2）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
14．（6分）一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，其俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在方格纸中分别画出该几何体的主视图和左视图．
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
16．（6分）暑假期间，小张和小美一起到南昌旅游，晚上他们去特色街逛街并吃点小吃，看到满大街各式各样的美食，却不知道选择哪一个，于是通过抽卡片的游戏来决定吃什么．他们制作了四张背面完全相同的卡片，在正面上分别写着：A．白糖糕；B．炒螺蛳；C．三杯鸡；D．南昌炒粉．将这四张卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗匀放好，小张先从这四张卡片中随机抽取一张，放回后洗匀，小美再从这四张卡片中随机抽取一张．
（1）小张抽到卡片正面写着“南昌炒粉”的概率是 ．
（2）请用列表或画树状图的方法，求小张、小美两个人抽到不同特色美食的概率．
17．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）．
（1）求一次函数的解析式．
（2）结合图象，直接写出不等式kx+b＞﹣的解集．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，点A，B是某条河上一座桥的两端，某数学兴趣小组用无人机从点A竖直上升到点C时，测得点C到桥的另一端点B的俯角为28°，无人机由点C继续竖直上升10米到点D，测得点D到桥的另一端点B的俯角为37°，求桥AB的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
19．（8分）“元宵节”吃元宵是中国的传统习俗，某超市购进一种品牌元宵，每盒进价是30元，并规定每盒售价不得少于40元，日销售量不低于350盒．根据以往的销售经验发现，当每盒售价定为40元时，日销售量为500盒，且每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当x＝50时，p＝ ．
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC上的一点，以点O为圆心，OC的长为半径作⊙O，且AB与⊙O相切于点H，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC．
（2）若AB＝5，tan∠OAC＝，求⊙O的半径．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点
同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
22．（9分）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c的“衍生直线”．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C（﹣3，0）．
（1）求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标．
（2）如图2，抛物线y＝﹣x2+bx+c的“衍生直线”与y轴交于点D1，依次作正方形D1E1F1O，正方形D2E2F2F1，…，正方形DnEnFnFn﹣1（n为正整数），使得点D1，D2，D3，…，Dn在“衍生直线”上，点F1，F2，F3，…，Fn在x轴负半轴上．
①直接写出下列点的坐标：E1 ，E2 ，E3 ，En ．
②试判断点E1，E2 …，En是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．
例如：△ABC三边的长分别为AB＝1，BC＝2，．因为AC2＝AB•BC，所以△ABC是比例三角形．
【问题提出】
（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝4，求AC的长．
【问题探究】
（2）如图1，P是矩形ABCD的边BC上的一动点，AQ平分∠PAD，交边BC于点Q，∠APD＝∠PQD．
①求证：△APD∽△DQP．
②求证：△APD是比例三角形．
【问题延伸】
（3）如图2，在（2）的条件下，当AB＝1，PQ＝a时，点C与点Q能否重合？若能，求出a2的值；若不能，请说明理由．
2024年江西省九江市永修县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：A．
2．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其表达式为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+3B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣2（x+2）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣2）2+3
【分析】先确定原抛物线的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的对应点的坐标为（﹣2，3），
然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的对应点的坐标为（﹣2，3），
所以平移的抛物线解析式为y＝2（x+2）2+3．
故选：A．
3．（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A．2πB．4πC．12πD．24π
【分析】根据扇形的面积公式S＝计算即可．
【解答】解：S＝＝12π，
故选：C．
4．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠CAD＝70°，则∠ABC的度数是（ ）
A．40°B．30°C．20°D．10°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ACO＝∠CAO＝70°，求得∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝40°，根据圆周角定理得到结论．
【解答】解：∵OA＝OC，∠CAD＝70°，
∴∠ACO＝∠CAO＝70°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝40°，
∴∠ABC＝AOC＝20°，
故选：C．
5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴直线y＝﹣ax+b经过第一，二，四象限，反比例函数y＝图象分布在第二、四象限，
故选：A．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，PA交y轴于点C，AO＝BO＝BP．若△ABP的面积是4，则k的值是（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】连接OP，作PD⊥x轴于D，根据三角形中线平分面积求出三角形POB的面积，再求证出三角形POB是等边三角形，再利用反比例函数的几何意义求出k即可．
【解答】解：连接OP，作PD⊥x轴于D，
∵△ABP的面积是4，AO＝BO，
∴△OBP的面积为2，
∵PA⊥PB，AO＝BO＝BP，
∴sin∠PAB＝，
∵sin30°＝，
∴∠PAB＝30°，
∴∠PBA＝60°，
∴△POB为等边三角形，
∴S△POD＝S△POB＝1，
∴＝1，
∴k＝±2，
∵反比例函数的图象位于第一象限，
∴k＝2．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的根是 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】把方程左边因式分解得x（x﹣2）＝0，解之即可求出方程的根
【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
8．（3分）如图，半径为2的⊙A经过原点O和点C，B是y轴左侧⊙A上的一点，且∠OBC＝20°，则的长为 ．
【分析】连接OA，CA，根据圆周角定理得∠OAC＝2∠OBC＝40°，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，CA，
∵∠OBC＝20°，
∴∠OAC＝2∠OBC＝40°，
∴的长为＝．
故答案为：．
9．（3分）若抛物线y＝mx2﹣6x﹣9与x轴只有一个交点，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据二次函数的定义得到m的取值范围；由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，确定出m的值．
【解答】解：∵y＝mx2﹣6x﹣9与x轴只有一个交点，
∴，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝16，EB＝4，则⊙O的半径为 10 ．
【分析】连接OC．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
∴CE＝CD＝8，
设⊙O的半径为r，则OC＝OB＝r，
∵OC2＝OE2+CE2，即r2＝82+（r﹣4）2，
解得r＝10，
故答案为：10．
11．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则cs∠ACB的值是 ．
【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠ABD＝90°，∠ACB＝∠ADB，利用勾股定理求解AD的长，再解直角三角形可求解．
【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠ABD＝90°，∠ACB＝∠ADB，
∵AO＝，
∴AD＝，
∵AB＝4，
∴BD＝
∴cs∠ACB＝cs∠ADB＝，
故答案为：．
12．（3分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且A（0，3）、B（5，3），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点B′恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C′的坐标为 （7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4） ．
【分析】根据题意画出图形，分3种情况进行讨论：①点B的对应点B′恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点B′恰好落在y轴负半轴上时，③点B的对应点B′恰好落在x轴负半轴上时，根据旋转的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点C的对应点C′的坐标．
【解答】解：因为正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3），
所以画图如下：
当正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），
①点B的对应点B′恰好落在x轴正半轴上时，如图，
∵AB′＝AB＝5，OA＝3，
∴OB′＝＝4，
∵∠AB′O+∠OAB′＝90°，∠AB′O+∠C′B′E＝90°，
∴∠OAB′＝∠C′B′E，
在△AB′O和△EB′C′中，
，
∴△AB′O≌△EB′C′（AAS），
∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，
∴OE＝OB′+B′E＝4+3＝7，
∴点C的对应点C′的坐标为（7，4）；
②点B的对应点B′恰好落在y轴负半轴上时，如图，
B′C′＝AB＝BC′＝5，
∴点C的对应点C′的坐标为（5，﹣2）；
③点B的对应点B′恰好落在x轴负半轴上时，如图，
同①可知：
△AB′O≌△EB′C′（AAS），
∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，
∴OE＝OB′﹣B′E＝4﹣3＝1，
∴点C的对应点C′的坐标为（﹣1，﹣4）；
综上所述：点C的对应点C′的坐标为（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．
故答案为：（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13．（6分）（1）计算：tan45°+4cs30°sin45°﹣tan60°．
（2）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
【分析】（1）根据特殊角的锐角函数值以及实数的运算法则计算即可；
（2）根据菱形的判定方法证明即可．
【解答】（1）解：原式＝1+4××﹣×，
＝1+﹣1，
＝；
（2）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形．
14．（6分）一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，其俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在方格纸中分别画出该几何体的主视图和左视图．
【分析】根据几何体的主视图和左视图的定义画图即可．
【解答】解：作图如下：
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【分析】先利用根与系数的关系得α+β＝2，αβ＝﹣m，由于α+2β＝5，再求出α和β和值，然后计算出m的值．
【解答】解：根据根与系数的关系得α+β＝2，αβ＝﹣m，
∵α+2β＝5，
解得β＝3，α＝﹣1，
∴m＝3×（﹣1）＝﹣3，
即m的值为﹣3．
16．（6分）暑假期间，小张和小美一起到南昌旅游，晚上他们去特色街逛街并吃点小吃，看到满大街各式各样的美食，却不知道选择哪一个，于是通过抽卡片的游戏来决定吃什么．他们制作了四张背面完全相同的卡片，在正面上分别写着：A．白糖糕；B．炒螺蛳；C．三杯鸡；D．南昌炒粉．将这四张卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗匀放好，小张先从这四张卡片中随机抽取一张，放回后洗匀，小美再从这四张卡片中随机抽取一张．
（1）小张抽到卡片正面写着“南昌炒粉”的概率是 ．
（2）请用列表或画树状图的方法，求小张、小美两个人抽到不同特色美食的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画状图得出所有等可能的结果数以及小张、小美两个人抽到不同特色美食的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，小张抽到卡片正面写着“南昌炒粉”的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小张、小美两个人抽到不同特色美食的结果有：AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，共12种，
∴小张、小美两个人抽到不同特色美食的概率为＝．
17．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）．
（1）求一次函数的解析式．
（2）结合图象，直接写出不等式kx+b＞﹣的解集．
【分析】（1）待定系数法求出直线AB解析式即可；
（2）根据图象直接写出不等式kx+b＞﹣的解集即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m），B（n，﹣1）在反比例函数图象上，
∴m＝4，n＝4，
∴A（﹣1，4），B（4，﹣1），
∵A（﹣1，4），B（4，﹣1）在一次函数y＝kx+b的图象上，
，解得，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+3；
（2）根据图像，不等式kx+b＞﹣的解集为：﹣1＞x或4＞x＞0．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，点A，B是某条河上一座桥的两端，某数学兴趣小组用无人机从点A竖直上升到点C时，测得点C到桥的另一端点B的俯角为28°，无人机由点C继续竖直上升10米到点D，测得点D到桥的另一端点B的俯角为37°，求桥AB的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
【分析】根据题意可得：DA⊥AB，DF∥AB∥CE，从而可得∠ECB＝∠ABC＝28°，∠FDB＝∠ABD＝37°，然后分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和AC的长，从而列出关于AB的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：DA⊥AB，DF∥AB∥CE，
∴∠ECB＝∠ABC＝28°，∠FDB＝∠ABD＝37°，
在Rt△ABC中，AC＝AB•tan28°≈0.53AB（米），
在Rt△ABD中，AD＝AB•tan37°≈0.75AB（米），
∵CD＝10米，
∴AD﹣AC＝10，
∴0.75AB﹣0.53AB＝10，
解得：AB≈45.5，
∴桥AB的长约为45.5米．
19．（8分）“元宵节”吃元宵是中国的传统习俗，某超市购进一种品牌元宵，每盒进价是30元，并规定每盒售价不得少于40元，日销售量不低于350盒．根据以往的销售经验发现，当每盒售价定为40元时，日销售量为500盒，且每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当x＝50时，p＝ 400 ．
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到p与x之间的函数关系式，把x＝50代入解析式计算即可；
（2）根据每盒利润×销售盒数＝总利润可得W关于x的关系式，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意可得，
p＝500﹣10（x﹣40）＝﹣10x+900，
∴每天的销售量p与每盒售价x之间的函数关系式是p＝﹣10x+900．
∴当x＝50时，p＝﹣10×50+900＝400．
故答案为：400．
（2）由题意可得，
W＝（x﹣30）（﹣10x+900）＝﹣10x2+1200x﹣27000＝﹣10（x﹣60）2+9000，
由题可知：每盒售价不得少于40元，日销售量不低于350盒，
∴．
∴．
∴40≤x≤55．
∵﹣10＜0，
∴当x＝55时，W取得最大值，此时W＝8750．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC上的一点，以点O为圆心，OC的长为半径作⊙O，且AB与⊙O相切于点H，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC．
（2）若AB＝5，tan∠OAC＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OH，由切线的性质推出OH⊥AB，又OC⊥AC，OC＝OH，由角平分线性质定理的逆定理即可证明AO平分∠BAC；
（2）设⊙O的半径是r，由tan∠CAO＝＝，得到AC＝2OC＝2r，由切线长定理得到AH＝AC＝2r，因此BH＝AB﹣AH＝5﹣r，由tanB＝＝，得到＝，求出BC＝10﹣4r，由勾股定理得到4r2﹣16r+15＝0，即可求出⊙O的半径长．
【解答】（1）证明：连接OH，
∵AB与圆相切于H，
∴OH⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥AC，
∵OC＝OH，
∴AO平分∠BAC；
（2）解：设⊙O的半径是r，
∵tan∠CAO＝＝，
∴AC＝2OC＝2r，
∵半径OC⊥AC，
∴AC切圆于C，
∵AH切圆于H，
∴AH＝AC＝2r，
∴BH＝AB﹣AH＝5﹣r，
∵tanB＝＝，
∴＝，
∴BC＝10﹣4r，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴（2r）2+（10﹣4r）2＝52，
∴4r2﹣16r+15＝0，
∴r＝1.5或r＝2.5（bu不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径是1.5．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点
同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）利用平行线判断出∠BAC＝∠DCA，即可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出AC＝8，由（1）知，△ACD∽△BAC，得出，即可得出结论；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA
又AC⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△BAC；
（2）解：在Rt△ABC中，＝8，
由（1）知，△ACD∽△BAC，
∴，
即
解得：DC＝6.4；
（3）能．由运动知，BF＝10﹣2t，BE＝t，
△EFB若为等腰三角形，可分如下三种情况：
①当 BF＝BE时，10﹣2t＝t，解得秒．
②当EF＝EB时，如图，过点E作AB的垂线，垂足为G，
则．此时△BEG∽△BAC
∴，即 ，
解得：；
③当FB＝FE时，如图2，过点F作BC的垂线，垂足为H
则．此时△BFH∽△BAC
∴，即 ，
解得：
综上所述：当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．
22．（9分）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c的“衍生直线”．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C（﹣3，0）．
（1）求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标．
（2）如图2，抛物线y＝﹣x2+bx+c的“衍生直线”与y轴交于点D1，依次作正方形D1E1F1O，正方形D2E2F2F1，…，正方形DnEnFnFn﹣1（n为正整数），使得点D1，D2，D3，…，Dn在“衍生直线”上，点F1，F2，F3，…，Fn在x轴负半轴上．
①直接写出下列点的坐标：E1 （﹣1，1） ，E2 （﹣3，2） ，E3 （﹣7，4） ，En （1﹣2n，2n﹣1） ．
②试判断点E1，E2 …，En是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据新定义直接可求抛物线y＝﹣x2+bx+c的“衍生直线”为y＝﹣x+1，再由待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）①根据正方形的性质分别求出各点，归纳出一般规律即可；
②求出直线E1E2的解析式为y＝﹣x+，再验证En在直线E1E2上即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的“衍生直线”为y＝﹣x+1，
∴B（1，0），
将B点、C点代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
当﹣x2﹣2x+3＝﹣x+1时，解得x＝1或x＝﹣2，
∴A（﹣2，3）；
（2）①当x＝0时，y＝1，
∴D1（0，1），
∴OD1＝1，
∵四边形D1E1F1O是正方形，
∴F1（﹣1，0），E1（﹣1，1），
∵四边形D2E2F2F1是正方形，
∴D2（﹣1，2），E2（﹣3，2），
∵四边形D3E3F3F2是正方形，
∴D3（﹣3，4），E3（﹣7，4），
……
∴Dn（1﹣2n﹣1，2n﹣1），En（1﹣2n，2n﹣1），
故答案为：（﹣1，1），（﹣3，2），（﹣7，4），（1﹣2n，2n﹣1）；
②点E1，E2 …，En在同一条直线上，理由如下：
设直线E1E2的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线E1E2的解析式为y＝﹣x+，
当x＝1﹣2n时，y＝﹣×（1﹣2n）+＝2n﹣1，
∴En在直线E1E2上，
∴点E1，E2 …，En在直线y＝﹣x+上．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．
例如：△ABC三边的长分别为AB＝1，BC＝2，．因为AC2＝AB•BC，所以△ABC是比例三角形．
【问题提出】
（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝4，求AC的长．
【问题探究】
（2）如图1，P是矩形ABCD的边BC上的一动点，AQ平分∠PAD，交边BC于点Q，∠APD＝∠PQD．
①求证：△APD∽△DQP．
②求证：△APD是比例三角形．
【问题延伸】
（3）如图2，在（2）的条件下，当AB＝1，PQ＝a时，点C与点Q能否重合？若能，求出a2的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）分三种情况可得出答案；
（2）①证出∠ADP＝∠QPD．由相似三角形的判定可得出答案；
②由①知△APD∽△DQP，得出，证出PD2＝PA•AD，则可得出结论；
（3）证明△BAP∽△CPD，得出．由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2，BC＝4，
①当AB2＝BC•AC时，得4＝4AC，解得AC＝1．
∵AC+AB＜BC，
∴AC＝1（不符合题意，舍去）；
②当BC2＝AB•AC时，得16＝2AC，解得AC＝8．
∵BC+AB＜AC，
∴AC＝8（不符合题意，舍去）；
③当AC2＝AB•BC 时，得AC2＝8，解得 （负值已舍去），
∴当 时，△ABC是比例三角形．
（2）①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADP＝∠QPD．
又∵∠APD＝∠PQD，
∴△APD∽△DQP．
②证明：由①知△APD∽△DQP，
∴，
即PD2＝PQ•AD．
∵AD∥BC，
∴∠AQP＝∠DAQ．
∵AQ 平分∠PAD，
∴∠PAQ＝∠DAQ，
∴∠AQP＝∠PAQ，
∴PA＝PQ，
∴PD2＝PA•AD，
∴△APD是比例三角形．
（3）能．当点C与点Q重合时，∠APD＝∠PQD＝∠B＝90°，
∴∠APB+∠CPD＝90°，
∵∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠CPD＝∠BAP，
∴△BAP∽△CPD，
∴．
∵AB＝1，AP＝PC＝a，
∴PD＝a2，
在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2，
即a4＝a2+1，解得 或 （舍去）．
∴．