2024年山东省东营实验中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省东营实验中学中考数学一模试卷（含解析），共34页。

A．B．C．D．
2．（3分）由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x6÷x2＝x3B．5x3•3x5＝15x8
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2D．5x﹣2x＝3
4．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C落在直线b上，若∠A＝50°，∠1＝110°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
5．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝40°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．（3分）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
7．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30B．3x+10（5﹣x）＝30
C．+＝5D．+＝5
8．（3分）利用图形的分、和、移、补，探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12B．14C．16D．18
9．（3分）如图1，点A是⊙O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图2是y随x变化的关系图象，则点P的运动速度是（ ）
A．1cm/sB．cm/sC．cm/sD．cm/s
10．（3分）已知四边形ABCD为矩形，延长CB到E，使CE＝CA，连接AE，F为AE的中点，连接BF，DF，DF交AB于点G，下列结论：
（1）BF⊥DF；
（2）S△BDG＝S△ADF；
（3）EF2＝FG•FD；
（4）＝
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（11-14题，每题3分；15-18题，每题4分；共28分）
11．（3分）冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名新型冠状病毒，半径约是0.000000045米，0.000000045用科学记数法表示为 ．
12．（3分）因式分解：n3﹣25n＝ ．
13．（3分）已知函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）如图，BC是圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠A＝65°，那么∠DOE的度数为 ．
15．（4分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
16．（4分）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞2，则m的最大整数值为m＝ ．
17．（4分）为出行方便，近日来越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D在同一条直线上，点D，F，G在同一条直线上，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，此时CE的长约为 ．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈1.41）
18．（4分）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4，…，A2024在抛物线第一象限的图象上．点B1，B2，B3，B4，…，B2024在y轴的正半轴上，△OA1B1，△B1A2B2，…，△B2023A2024B2024都是等腰直角三角形，则B2023A2024＝ ．
三．解答题（共7小题）
19．（8分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中x满足x2+x﹣8＝0．
20．（8分）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）李老师计划将A，B，C，D四位学生随机分成两组，每组两人，进行关于垃圾分类知识对抗赛，请用树状图法或列表法求出A，B两人恰好同组的概率．
21．（8分）如图，已知正比例函数y1＝x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（3，n）和点 B．
（1）求n和k的值；
（2）请结合函数图象，直接写出不等式x﹣＜0的解集；
（3）如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：∠D＝∠EBC；
（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．
23．（8分）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+8与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C是直线AB上方抛物线上一点，过点C分别作x轴，y轴的平行线，交直线AB于点D，E．当DE＝AB时，求点C的坐标．
25．（12分）综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片ABC，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．
问题发现
奋进小组将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：然后将△DEC 绕点D顺时针方向旋转得到△DFG．点E，C的对应点分别是点F，G，直线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N．
如图1小明发现，折痕DE的长很容易求出，并且MF和ME的数量关系也能证明．
如图2小红发现，在△DEC 绕点D旋转的过程中，当直线GF经过点B时或直线GF∥BC时，AM的长都可求……．
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答．
问题1：如图1，按照如上操作
（1）折痕DE的长为 ；
（2）在△DEC 绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系；并证明你的结论；
问题2：在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当直线GF经过点B时，AM的长为 ；
②如图3，当直线 GF∥BC 时，求AM的长；
拓展延伸：
小刚受到探究过程的启发，在△DEC绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答．
问题3：在△DEC绕点D旋转的过程中，连接AF，当AF取最小值时，请直接写出△AMD的面积．
2024年山东省东营实验中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：∵（﹣）×（﹣）＝1，
∴﹣的倒数是﹣．
故选：D．
2．（3分）由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图的定义，从几何体的正面看所得到的图形是主视图，即可进行解答．
【解答】解：主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1，
∴该几何体的主视图是“”．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x6÷x2＝x3B．5x3•3x5＝15x8
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2D．5x﹣2x＝3
【分析】根据合并同类项，单项式乘单项式的法则，平方差公式，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、x6÷x2＝x4，故A不符合题意；
B、5x3•3x5＝15x8，故B符合题意；
C、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，故C不符合题意；
D、5x﹣2x＝3x，故D不符合题意；
故选：B．
4．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C落在直线b上，若∠A＝50°，∠1＝110°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝40°，
∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝110°，
∴∠2＝∠4＝∠3﹣∠B＝70°，
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝40°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】已知a，b是实数满足a≠＝1，b≠﹣1
根据线段垂直平分线的性质得出∠DAC＝∠C＝40°，进而求出∠BAD的度数．
【解答】解：由作图可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝40°．
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°﹣40°＝30°．
故选：A．
6．（3分）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，
设圆心角的度数是n度．
则＝2π，
解得：n＝120．
故选：C．
7．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30B．3x+10（5﹣x）＝30
C．+＝5D．+＝5
【分析】根据共换了5斗酒，其中清酒x斗，则可得到醑酒（5﹣x）斗，再根据拿30斗谷子，共换了5斗酒，即可列出相应的方程．
【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，
故选：A．
8．（3分）利用图形的分、和、移、补，探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12B．14C．16D．18
【分析】设小正方形的边长为x，利用a、b、x表示矩形的面积，再利用a、b、x表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于a、b、x的关系式，解出x，即可求出矩形面积．
【解答】解：设小正方形的边长为x，
∴矩形ABCD的长为（a+x），宽为（b+x），
由图1可得：，
整理得：x2+ax+bx﹣ab＝0，
∵a＝4，b＝2，
∴x2+6x﹣8＝0，
∴x2+6x＝8，
∴矩形ABCD面积为：（a+x）（b+x）
＝（x+4）（x+2）
＝x2+6x+8＝8+8＝16．
故选：C．
9．（3分）如图1，点A是⊙O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图2是y随x变化的关系图象，则点P的运动速度是（ ）
A．1cm/sB．cm/sC．cm/sD．cm/s
【分析】从图2看，当x＝1时，y＝AP＝2，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为AP＝1，当x＝0时，AP＝AB＝＝＝，故OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时t＝1，走过的了角度为90°，进而求解．
【解答】解：从图2看，当x＝1时，y＝AP＝2，即此时A、O、P三点共线，
则圆的半径为AP＝1，
当x＝0时，AP＝AB＝＝＝，
故OA⊥OB，
则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，
此时x＝1，走过的了角度为90°，则走过的弧长为×2π×r＝，
故点P的运动速度是÷1＝（cm/s），
故选：C．
10．（3分）已知四边形ABCD为矩形，延长CB到E，使CE＝CA，连接AE，F为AE的中点，连接BF，DF，DF交AB于点G，下列结论：
（1）BF⊥DF；
（2）S△BDG＝S△ADF；
（3）EF2＝FG•FD；
（4）＝
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用矩形的性质和直角三角形的性质得出结论判断出△BDF≌△ACF，借助直角三角形的斜边大于直角边，再用面积公式判断出面积大小，判断出△AFG∽△DFA，△BFG∽△DFB，构造出△ADF≌△EMF，进而得出MB＝CE＝AC，再判断出△ADG∽△BGM，即可判断出结论．
【解答】解：如图1，连接CF，
设AC与BD的交点为点O，
∵点F是AE中点，
∴AF＝EF，
∵CE＝CA，
∴CF⊥AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵点F是Rt△ABE斜边上的中点，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠FBA，
∴∠FAC＝∠FBD，
在△BDF和△ACF中，
，
∴△BDF≌△ACF，
∴∠BFD＝∠AFC＝90°，
∴BF⊥DF，
所以①正确；
过点F作FH⊥AD交DA的延长线于点H，
在Rt△AFH中，FH＜AF，
在Rt△BFG中，BG＞BF，
∵AF＝BF，
∴BG＞FH，
∵S△ADF＝FH×AD，S△BDG＝BG×AD，
∴S△BDG＞S△ADF，
所以②错误；
∵∠ABF+∠BGF＝∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠ABF＝∠ADG，
∵∠BAF＝∠FBA，
∴∠BAF＝∠ADG，
∵∠AFG＝∠DFA，
∴△AFG∽△DFA，
∴，
∴AF2＝FG•FD，
∵EF＝AF，
∴EF2＝FG•FD，
所以③正确；
∵BF＝EF，
∴BF2＝FG•FD，
∴，
∵∠BFG＝∠DFB，
∴△BFG∽△DFB，
∴∠ABF＝∠BDF，
如图3，
延长CB，DF相交于M，
易知，△ADF≌△EMF，
∴EM＝AD＝BC，
∴BM＝CE，
∵AC＝CE，
∴MB＝CE＝AC，
∵AD∥CB，
∴△ADG∽△BMG，
∴，
∴
所以④正确，
故选C．
二．填空题（11-14题，每题3分；15-18题，每题4分；共28分）
11．（3分）冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名新型冠状病毒，半径约是0.000000045米，0.000000045用科学记数法表示为 4.5×10﹣8 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：0.000000045＝4.5×10﹣8，
故答案为：4.5×10﹣8．
12．（3分）因式分解：n3﹣25n＝ n（n+5）（n﹣5） ．
【分析】先提取公因式n，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：n3﹣25n＝n（n2﹣52）＝n（n+5）（n﹣5）．
故答案为：n（n+5）（n﹣5）．
13．（3分）已知函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠1 ．
【分析】根据分母不能为零、被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣1且x≠1，
故答案为：x≥﹣1且x≠1．
14．（3分）如图，BC是圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠A＝65°，那么∠DOE的度数为 50° ．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠B+∠C＝115°，再利用等腰三角形的性质求出∠BOD+∠EOC即可解决问题．
【解答】解：∵∠A＝65°，
∴∠B+∠C＝115°，
∵OB＝OD，OC＝OE，
∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC，
∴∠BOD+∠EOC＝180°﹣2∠B+180°﹣2∠C＝130°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠BOD+∠EOC）＝180°﹣130°＝50°，
故答案为：50°．
15．（4分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞且m≠2 ．
【分析】本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝b2﹣4ac＞0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即（2m+1）2﹣4×（m﹣2）2×1＞0，
解这个不等式得，m＞，
又∵二次项系数是（m﹣2）2≠0，
∴m≠2
故M得取值范围是m＞且m≠2．
故答案为：m＞且m≠2．
16．（4分）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞2，则m的最大整数值为m＝ ﹣2 ．
【分析】②﹣①，得x﹣y＝1﹣m，根据x﹣y＞2得出关于m的不等式，求得最大整数解即可求解．
【解答】解：，
由②﹣①得：x﹣y＝1﹣m，
∵x﹣y＞2，
∴1﹣m＞2，
∴m＜﹣1，
m的最大整数值为﹣2．
故答案为：﹣2．
17．（4分）为出行方便，近日来越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D在同一条直线上，点D，F，G在同一条直线上，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，此时CE的长约为 24cm ．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈1.41）
【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N，构造直角三角形，利用三角函数，求出BC，再用BC减去BE即可．
【解答】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N，
由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，
∴在Rt△BCM中，∠ABE＝70°，
∴sin∠ABE＝sin70°＝≈0.94，
∴BC≈64cm，
∴CE＝BC﹣BE＝64﹣40＝24（cm），
故答案为：24cm．
18．（4分）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4，…，A2024在抛物线第一象限的图象上．点B1，B2，B3，B4，…，B2024在y轴的正半轴上，△OA1B1，△B1A2B2，…，△B2023A2024B2024都是等腰直角三角形，则B2023A2024＝ ．
【分析】设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A1的坐标，再代入二次函数的解析式求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A2的坐标，代入二次函数的解析式求出m，同理求出第2024个等腰直角三角形的直角边长，最后求出斜边即可解答．
【解答】解：设A1B1＝x，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴OB1＝x，
∴A1的坐标为（x，x），代入二次函数，则，解得x＝1或x＝0（舍），
设A2B2＝m，
∵△B1A2B2是等腰直角三角形，
∴B1B2＝m，
∴A2的坐标为（m，1+m），代入二次函数，得，解得m＝2或m＝﹣1（舍），
同理可求出A3B3＝3，A4B4＝4，
∴B2024A2024＝2024，
根据勾股定理可得，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．（8分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中x满足x2+x﹣8＝0．
【分析】（1）先化简，然后计算乘法，最后算加减法即可；
（2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后根据x2+x﹣8＝0，可以得到x2+x＝8，再整体代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（1）
＝3×﹣+1+1﹣9
＝﹣+1+1﹣9
＝﹣7；
（2）
＝[]
＝
＝
＝x（x+1）
＝x2+x，
∵x2+x﹣8＝0，
∴x2+x＝8，
∴原式＝8．
20．（8分）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 200 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 198 度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）李老师计划将A，B，C，D四位学生随机分成两组，每组两人，进行关于垃圾分类知识对抗赛，请用树状图法或列表法求出A，B两人恰好同组的概率．
【分析】（1）由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
（2）根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）此次调查一共随机采访学生44÷22%＝200（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝198°，
故答案为：200，198；
（2）绿色部分的人数为200﹣（16+44+110）＝30（人），
补全图形如下：
（3）列表如下：
由表格知，共有12种等可能结果，C、D一组时，A、B也在一组，
所以A，B两人恰好同组有4种结果，
所以A，B两人恰好同组的概率为＝．
21．（8分）如图，已知正比例函数y1＝x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（3，n）和点 B．
（1）求n和k的值；
（2）请结合函数图象，直接写出不等式x﹣＜0的解集；
（3）如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积．
【分析】（1）先把点A（3，n）代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值；
（2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图象即可写出解集；
（3）根据题意作出辅助线，然后求出OA的长，根据菱形的性质求出OC的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出△AOE的面积．
【解答】解：（1）把点A（3，n）代入正比例函数可得：n＝4，
∴点A（3，4），
把点A（3，4）代入反比例函数，
可得：k＝12；
（2）∵点A与点B是关于原点对称的，
∴点B（﹣3，﹣4），
∴根据图象可得，不等式x﹣＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3；
（3）如图所示，过点A作AG⊥x轴，垂足为G，
∵A（3，4），
∴OG＝3，AG＝4
在Rt△AOG中，AO＝＝5
∵四边形AOCD是菱形，
∴OC＝OA＝5，，
∴．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：∠D＝∠EBC；
（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据切线的性质可得∠DAO＝90°，从而可得∠D+∠ABD＝90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC＝90°，从而可得∠ACB+∠EBC＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；
（2）根据已知可得BD＝3BC，然后利用（1）的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB＝3EC，然后根据AB＝AC，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AD与⊙O相切于点A，
∴∠DAO＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，
∴∠ACB+∠EBC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠D＝∠EBC；
（2）解：∵CD＝2BC，
∴BD＝3BC，
∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，
∴△DAB∽△BEC，
∴＝＝3，
∴AB＝3EC，
∵AB＝AC，AE＝3，
∴AE+EC＝AB，
∴3+EC＝3EC，
∴EC＝1.5，
∴AB＝3EC＝4.5，
∴⊙O的半径为2.25．
23．（8分）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x﹣6）元，根据数量＝总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100﹣m）瓶甲品牌洗手液，根据总价＝单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x﹣6）元，
依题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣6＝24（元）．
答：甲品牌洗衣液每瓶的进价是30元，乙品牌洗衣液每瓶的进价是24元；
（2）设可以购买甲品牌洗衣液m瓶，则可以购买（120﹣m）瓶乙品牌洗衣液，
依题意得：30m+24（120﹣m）≤3120，
解得：m≤40．
依题意得：y＝（36﹣30）m+（28﹣24）（120﹣m）＝2m+480，
∵k＝2＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴m＝40时，y取最大值，y最大值＝2×40+480＝560．
120﹣40＝80（瓶），
答：超市应购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大，最大利润是560元．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+8与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C是直线AB上方抛物线上一点，过点C分别作x轴，y轴的平行线，交直线AB于点D，E．当DE＝AB时，求点C的坐标．
【分析】（1）根据一次函数解析式求出A，B两点坐标，再将A，B两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．
（2）根据△AOB∽△ECD得到CD与OB的关系，建立方程即可解决问题．
【解答】解：（1）令x＝0得，y＝8，
所以点A的坐标为（0，8）；
令y＝0得，x＝4，
所以点B的坐标为（4，0）；
将A，B两点坐标代入二次函数解析式得，
，
解得，
所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+8．
（2）因为CD∥x轴，CE∥y轴，
所以△AOB∽△ECD，
则．
因为DE＝AB，OB＝4，
所以CD＝．
令点C坐标为（m，﹣m2+2m+8），
则点D坐标为（，﹣m2+2m+8）
所以CD＝m﹣（）＝，
则，
解得m＝1或3．
当m＝1时，﹣m2+2m+8＝9；
当m＝3时，﹣m2+2m+8＝5；
所以点C的坐标为（1，9）或（3，5）．
25．（12分）综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片ABC，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．
问题发现
奋进小组将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：然后将△DEC 绕点D顺时针方向旋转得到△DFG．点E，C的对应点分别是点F，G，直线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N．
如图1小明发现，折痕DE的长很容易求出，并且MF和ME的数量关系也能证明．
如图2小红发现，在△DEC 绕点D旋转的过程中，当直线GF经过点B时或直线GF∥BC时，AM的长都可求……．
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答．
问题1：如图1，按照如上操作
（1）折痕DE的长为 ；
（2）在△DEC 绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系；并证明你的结论；
问题2：在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当直线GF经过点B时，AM的长为 ；
②如图3，当直线 GF∥BC 时，求AM的长；
拓展延伸：
小刚受到探究过程的启发，在△DEC绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答．
问题3：在△DEC绕点D旋转的过程中，连接AF，当AF取最小值时，请直接写出△AMD的面积．
【分析】问题1：（1）由折叠可知AE＝EC，DE⊥AC，再证DE是△ABC的中位线，即可得出结论；
（2）连接DM，由旋转知，DE＝DF，∠DFM＝∠DEM＝90°，再证Rt△DMF≌Rt△DME（HL），即可得出结论；
问题2：①由旋转的性质和等腰三角形的性质得∠MBC＝∠C，则BM＝MC，设BM＝MC＝x，然后在Rt△ABM中，由勾股定理求出x的值，即可解决问题；
②过A作AH⊥BC于H，交FG于K．则四边形DFKH是矩形，得DF＝KH＝3，再由三角形面积求出AH＝，然后证△AKM∽△AHC，得＝，即可得出结论；
问题3：连接AD，则AF+DF≥AD，当A、F、D三点共线时，AF+DF＝AD，此时AF+DF的值最小，AF最小，由直角三角形的性质得AD＝BC，即可解决问题．
【解答】解：问题1：（1）由折叠的性质得：AE＝EC，DE⊥AC，
∴DE∥AB，
∴＝＝1，
∴DC＝BD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝，
故答案为：；
（2）MF＝ME，证明如下：
如图1，连接DM，
由旋转的性质得：DE＝DF，∠DFM＝∠DEM＝90°，
在Rt△DMF和Rt△DME中，
，
∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），
∴MF＝ME；
问题2：①由旋转的性质得：∠DGB＝∠C，DG＝DC，
∵DB＝DC，
∴DG＝DB，
∴∠DGB＝∠DBG，
∴∠MBC＝∠C，
∴BM＝MC，
设BM＝MC＝x，
在Rt△ABM中，BM2＝AB2+AM2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴AM＝AC﹣CM＝4﹣＝，
故答案为：；
②如图3，过A作AH⊥BC于H，交FG于K．
则四边形DFKH是矩形，
∴DF＝KH＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵AH⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AH＝AB•AC，
∴AH＝＝，
∴AK＝AH﹣KH＝﹣＝，
∵GF∥BC，
∴△AKM∽△AHC，
∴＝，
即＝，
解得：AM＝；
拓展延伸：如图4，连接AD，
则AF+DF≥AD，
当A、F、D三点共线时，AF+DF＝AD，
此时AF+DF的值最小，AF最小，
∵∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD＝BC＝，
∵DF＝DE＝，
∴AF的最小值＝AD﹣DF＝﹣＝1，
∵DA＝DC，
∴∠MAD＝∠C，
∴cs∠MAD＝＝，
∴＝，
∴AM＝，
∴△AMD的面积＝AM•DE＝×＝．
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）