2024年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷（含解析），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）9的平方根是（ ）
A．3B．±3C．D．﹣
2．（4分）下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）从教育部获悉，我国已基本建成世界第一大教育教学资源库．目前，国家中小学智慧教育平台现有资源超过44000条，其中44000用科学记数法表示为（ ）
A．4.4×105B．4.4×104C．4.4×103D．44×103
4．（4分）如图：AD∥BC，BD平分∠ABC，若∠ADB＝35°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．70°C．110°D．120°
5．（4分）下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（ ）
A．a﹣b＞0B．a+b＜0C．ab＞0D．|a|＜|b|
7．（4分）某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，含肉的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
9．（4分）反比例函数与一次函数y＝ax﹣a在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝，点E，F分别是DC和BC边上的动点，且始终保持EF＝BF+DE，连接AE与AF，分别交DB于点N，M，过点A作AH⊥EF于点H．下列结论：①∠EAF＝45°；②∠BAF＝∠HAF；③AH＝；④∠DNE＝67.5°；⑤DN2+BM2＝NM2．其中结论正确的序号是（ ）
A．①③④B．①②③⑤C．②④⑤D．①②③④
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分）分解因式：x2﹣16＝ ．
12．（4分）如图，点E在AB上，AC＝AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形．我所添加条件为 ．
13．（4分）甲、乙、丙三个游客团的年龄的方差分别是S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，导游小方最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个团中选择一个，则他应选 （填甲，乙或丙）．
14．（4分）我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）将圆平均分为12个格，半径OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方B处时，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是 米．（结果保留π）
15．（4分）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函数y＝（k≠0）恰好经过点C，则k＝ ．
16．（4分）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．求证：AE＝AF．
20．（8分）数学小组为了了解我校同学对食堂就餐的评价，抽取部分同学参加问卷评价调查，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题：
（1）本次问卷评价调查共抽取 名同学参与；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小俊的评价分是所有被抽取学生评价分的中位数，据此推断他的评价得分在 组；
（4）若全校共1200人，试估计评价得分不低于80分的人数．
21．（8分）数学课题研究小组针对所在城市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下：
【方案设计】
要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中垂直于墙面AC的遮阳篷CD，AB表示窗户，BCD表示直角遮阳篷．
【数据收集】
如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大，且最大角∠ADC＝75°；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小，且最小角∠BDC＝35°．
【问题提出】
（1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当CD＝1m时，求AC的长．
（2）如图3，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当AB＝1.5m时，根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin35°≈0.57，cs35°≈0.83，tan35°≈0.7）
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，DC与⊙O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC、OC．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC＝8，DA＝4，求AB的长．
23．（10分）某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）直线AB和反比例函数的另一个交点为C，求△OBC的面积；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标．
25．（12分）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：
（1）如图1，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；
（2）如图2，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
（3）如图3，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．
26．（12分）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
【初步探究】
（1）如图2，当ED∥BC时，则α＝ ；
（2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系： ；
【深入探究】
（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m为常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由．
2024年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）9的平方根是（ ）
A．3B．±3C．D．﹣
【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±＝±3，据此解答即可．
【解答】解：9的平方根是：
±＝±3．
故选：B．
2．（4分）下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据常见简单几何体的三视图，可得答案．
【解答】解：A．该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意；
B．该圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意；
C．该正方体的俯视图是正方形，故本选项不符合题意；
D．该三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（4分）从教育部获悉，我国已基本建成世界第一大教育教学资源库．目前，国家中小学智慧教育平台现有资源超过44000条，其中44000用科学记数法表示为（ ）
A．4.4×105B．4.4×104C．4.4×103D．44×103
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：44000＝4.4×104，
故选：B．
4．（4分）如图：AD∥BC，BD平分∠ABC，若∠ADB＝35°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．70°C．110°D．120°
【分析】由角平分线定义得到∠ABC＝2∠CBD，由平行线的性质得到∠CBD＝∠ADB＝35°，∠A+∠ABC＝180°，即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB＝35°，∠A+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝2×35°＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
5．（4分）下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义判断即可．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．（4分）有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（ ）
A．a﹣b＞0B．a+b＜0C．ab＞0D．|a|＜|b|
【分析】由数轴可得a＜﹣1＜b＜1，分别判断选项即可．
【解答】解：由数轴可得a＜﹣1＜b＜1，
∴|a|＞|b|；a+b＜0；a﹣b＜0；ab＜0；
故选：B．
7．（4分）某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，含肉的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】让含肉的盒饭数除以总盒饭数即为从中任选一盒含肉的概率．
【解答】解：配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒，全部是80盒，含肉的有70盒，
所以从中任选一盒，含肉的概率是．
故选：A．
8．（4分）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【分析】设购买口罩x包，酒精湿巾y包，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【解答】解：设购买口罩x包，酒精湿巾y包，
依题意得：3x+2y＝30，
∴x＝10﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或，
∴小明共有4种购买方案．
故选：B．
9．（4分）反比例函数与一次函数y＝ax﹣a在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意分以下两种情况讨论，①当a＞0时，②当a＜0时，利用一次函数与反比例函数图象的性质进行分析判断即可解题．
【解答】解：当a＞0时，过一、三象限，且y＝ax﹣a过一、三、四象限，故A图象正确，符合题意，C、D错误，不符合题意；
当a＜0时，过二、四象限，且y＝ax﹣a过一、二、四象限，故B错误，不符合题意．
故选：A．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝，点E，F分别是DC和BC边上的动点，且始终保持EF＝BF+DE，连接AE与AF，分别交DB于点N，M，过点A作AH⊥EF于点H．下列结论：①∠EAF＝45°；②∠BAF＝∠HAF；③AH＝；④∠DNE＝67.5°；⑤DN2+BM2＝NM2．其中结论正确的序号是（ ）
A．①③④B．①②③⑤C．②④⑤D．①②③④
【分析】把△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，过点B作BK平分∠ABG，BK与AG交于点K，连接MK，证明△AEF≌△AGF，得∠EAF＝∠GAF，便可判断①的正误；由△AEF≌△AGF得∠AFE＝∠AFG，再根据等角的余角性质，便可判断②的正误；由AH⊥EF，AB⊥BC，∠AFE＝∠AFB，根据角平分线的性质便可判断③的正误；证明Rt△ADE≌Rt△AHE，得∠DAE＝∠DAH，
若AH不在AC上，则∠DAH≠45°，此时，∠DAE≠22.5°，根据三角形外角性质得∠DNE≠67.5°，便可判断④的正误；证明△ADN≌△ABK，得DN＝BK，再由勾股定理得BM2+BK2＝MK2，进而得DN2+BM2＝MK2，再证明△AMN≌△AMK，得MN＝MK，便可判断⑤的正误．
【解答】解：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，过点B作BK平分∠ABG，BK与AG交于点K，连接MK，如图，
则AG＝AE，∠ABG＝∠ADE＝90°，DE＝BG，∠DAE＝∠BAG，
∵∠ABC＝90°，
∴G、B、C共线，
∵EF＝BF+DE，
∴EF＝BF+BG＝GF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF，
∵∠DAE＝∠BAG，
∴∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠EAF＝∠EAG＝45°，
故①正确；
∵△AEF≌△AGF，
∴∠AFE＝∠AFG，
∵AH⊥EF，∠ABC＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝∠HAF+∠AFH＝90°，
∴∠BAF＝∠HAF，
故②正确；
∵AH⊥EF，AB⊥BC，∠AFE＝∠AFB，
∴AH＝AB＝，
故③正确；
∵AD＝AB，AB＝AH，
∴AD＝AH，
在Rt△ADE和Rt△AHE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AHE（HL），
∴∠DAE＝∠HAE，
∴∠DAE＝∠DAH，
若AH不在AC上，则∠DAH≠45°，
此时，∠DAE≠22.5°，
∵∠DNE＝∠DAN+∠ADN，∠ADN＝∠ADC＝45°，
此时，∠DNE≠67.5°，
故④不正确；
∵BK平分∠ABG，∠ABG＝90°，
∴∠ABK＝45°，
在△ADN和△ABK中，
，
∴△ADN≌△ABK（ASA），
∴DN＝BK，AN＝AK，
∵∠ABD＝45°，∠ABK＝45°，
∴∠MBK＝90°，
∴BM2+BK2＝MK2，
∴DN2+BM2＝MK2，
在△AMN和△AMK中，
，
∴△AMN≌△AMK（SAS），
∴MN＝MK，
∴DN2+BM2＝NM2，
故⑤正确；
故选：B．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分）分解因式：x2﹣16＝ （x﹣4）（x+4） ．
【分析】运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）．
12．（4分）如图，点E在AB上，AC＝AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形．我所添加条件为 CE＝DE（答案不唯一） ．
【分析】已知AC＝AD，AB＝AB，可以从添加角或者边的条件，得到全等三角形．
【解答】解：添加CE＝DE，理由如下：
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE（SSS），
故答案为：CE＝DE（答案不唯一）．
13．（4分）甲、乙、丙三个游客团的年龄的方差分别是S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，导游小方最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个团中选择一个，则他应选 甲 （填甲，乙或丙）．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，
∴S甲2＜S丙2＜S乙2，
∴若在这三个团中选择一个，他应选甲，
故答案为：甲．
14．（4分）我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）将圆平均分为12个格，半径OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方B处时，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是 5π 米．（结果保留π）
【分析】根据弧长公式直接代入数值求解．
【解答】解：根据题意得，∠AOB＝360°×＝150°，
所以水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是＝5π（米）．
故答案为：5π．
15．（4分）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函数y＝（k≠0）恰好经过点C，则k＝ 4 ．
【分析】解含30°角的直角三角形，依次求出OB，OC的长，再求出∠COx的度数，求出点C的坐标，即可求得k的值．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴，垂足为E，
∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB＝，
∴OB＝2AB＝2，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
在Rt△OBC中＝，即＝，
∴OC＝4，
在Rt△OCE中＝，即＝，CE＝2，
＝，即＝，
∴OE＝2，
∴点C（2，2），
∴k＝2×2＝4．
故答案为：4．
16．（4分）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 （3，0）或（4，0） ．
【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求出它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标．
【解答】解：当k＝0时，函数解析式为y＝﹣x﹣3，
它的“Y函数”解析式为y＝x﹣3，它们的图象与x轴都只有一个交点，
∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）；
当k≠0时，此函数为二次函数，
若二次函数的图象与x轴只有一个交点，
则二次函数的顶点在x轴上，
即，
解得k＝﹣1，
∴二次函数的解析式为＝，
∴它的“Y函数”解析式为，
令y＝0，
则，
解得x＝4，
∴二次函数的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（4，0），
综上，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）．
故答案为：（3，0）或（4，0）．
三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）
17．（6分）计算：．
【分析】先利用二次根式的性质，特殊角三角函数值，零指数幂运算法则，绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可得到结果．
【解答】解：
＝
＝
＝3．
18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
【分析】求出一元一次不等式组的解集，再取符合条件的正整数即可．
【解答】解：，
由①得，x≥﹣2，
由②得，x＜3，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
所有正整数解有：1、2．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．求证：AE＝AF．
【分析】由菱形的性质得到OB＝OD，AC⊥BD，由BF＝DE得到OF＝OE，根据线段垂直平分线的性质即可得到AE＝AF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
∴OF＝OE，
∴AE＝AF．
20．（8分）数学小组为了了解我校同学对食堂就餐的评价，抽取部分同学参加问卷评价调查，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题：
（1）本次问卷评价调查共抽取 300 名同学参与；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小俊的评价分是所有被抽取学生评价分的中位数，据此推断他的评价得分在 C 组；
（4）若全校共1200人，试估计评价得分不低于80分的人数．
【分析】（1）将A组频数除以频率即可求出抽取的同学人数；
（2）先求出m的值，再补全频数分布直方图即可；
（3）根据中位数的意义确定出中位数所在的组，从而推断出小俊的评价分在哪个组；
（4）将评价得分不低于80分的频率乘以1200即可估计评价得分不低于80分的人数．
【解答】解：（1）30÷0.1＝300（名），
故答案为：300；
（2）m＝300×0.4＝120，
补全频数分布直方图如下：
（3）∵所有被抽取学生评价分的中位数是位于第150，第151数据的平均数，
∴推断小俊的评价得分在C组，
故答案为：C；
（4）1200×（0.4+0.2）＝720（人），
答：估计评价得分不低于80分的人数为720人．
21．（8分）数学课题研究小组针对所在城市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下：
【方案设计】
要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中垂直于墙面AC的遮阳篷CD，AB表示窗户，BCD表示直角遮阳篷．
【数据收集】
如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大，且最大角∠ADC＝75°；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小，且最小角∠BDC＝35°．
【问题提出】
（1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当CD＝1m时，求AC的长．
（2）如图3，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当AB＝1.5m时，根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin35°≈0.57，cs35°≈0.83，tan35°≈0.7）
【分析】（1）由锐角三角函数可求AC的长；
（2）由锐角三角函数可求BC，AC的长，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝75°，CD＝1m，
∴tan∠ADC＝≈3.73，
∴AC≈3.7m，
∴AC的长为3.7m；
（2）如图2，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝35°，
∴tan∠BDC＝≈0.7，
∴BC＝0.7CD，
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝75°，
∴tan∠ADC＝≈3.73，
∴AC＝3.73CD，
∴AB＝AC﹣BC＝（3.73﹣0.7）CD＝1.5，
∴CD≈0.5m，
∴遮阳篷CD的长为0.5m．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，DC与⊙O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC、OC．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC＝8，DA＝4，求AB的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥DC，得到OC∥BE，根据平行线的性质得到∠OCB＝∠CBE，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；
（2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】（1）证明：∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∵BE⊥DC，
∴OC∥BE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠CBE，即BC是∠ABE的平分线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝r+4，
在Rt△OCD中，OD2＝OC2+CD2，即（r+4）2＝r2+82，
解得，r＝6，
则AB＝2r＝12．
23．（10分）某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【分析】（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，全部售完获得利润为w元，根据总利润＝甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式；
②根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案．
【解答】解：（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，
根据题意得：＝，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
此时x+2＝12，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，
根据题意得：W＝（12﹣10）m+（15﹣12）（200﹣m）＝2m+600﹣3m＝﹣m+600，
∴W与m的函数关系式为W＝﹣m+600；
②∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴m≥2（200﹣m），
解得m≥
∴≤m＜200（m为正整数）；
由①知，W＝﹣m+600，﹣1＜0，
∴当m＝134时，W有最大值，最大值为466，
此时200﹣134＝66，
∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）直线AB和反比例函数的另一个交点为C，求△OBC的面积；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△OBC的面积＝S△ONB﹣S△ONC＝ON×（yB﹣yC），即可求解；
（3）解方程组求得E（﹣4，﹣1），根据相似三角形的性质得到∠PAB＝∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB∥DE，求得直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得到D（﹣1，﹣4），则直线AD的解析式为y＝9x+5，于是得到P．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，
∴点A的坐标为（0，5），
将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，
∴a＝1，
∴B（1，4），
将B（1，4）代入反比例函数表达式得：k＝4×1＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，
∵由直线AB的表达式知，其和x轴负半轴坐标轴的夹角为45°，AB⊥l，
则直线l和x轴正半轴的夹角为45°，
设直线l的表达式为：y＝x+b，
将点B的坐标代入上式得：4＝1+b，
解得：b＝3，
则直线l的解析式为y＝x+3，
由直线AB的表达式知，N（5，0），
B和反比例函数的表达式得：﹣x+5＝，
解得：x＝1（舍去）或4，
则点C（4，1），
则△OBC的面积＝S△ONB﹣S△ONC＝ON×（yB﹣yC）＝5×（4﹣1）＝；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组得：y＝＝x+3，
解得：x＝1（舍去）或﹣4，
∴E（﹣4，﹣1），
画出图形如图所示，
∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2，
∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，
∴b2＝﹣5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
则联立两个函数表达式得：＝﹣x﹣5，
解得：x＝﹣1（不合题意的值已舍去）
∴D（﹣1，﹣4），
则直线AD的解析式为y＝9x+5，
联立上式和直线l的表达式得：9x+5＝x+3，
解得：x＝﹣，
则点P（﹣，）．
25．（12分）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：
（1）如图1，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；
（2）如图2，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
（3）如图3，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为y＝ax2+4，求出A点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出y＝3.75时对应的自变量的值，得到FN的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线AC的解析式，进而设出过点K的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出m的值，进而求出K点坐标，即可得出BK的长．
【解答】解：（1）∵抛物线AED的顶点E（0，4），
设抛物线的解析式为y＝ax2+4，
∵四边形ABCD为矩形，OE为BC的中垂线，
∴AD＝BC＝4m，OB＝2m，
∵AB＝3m，
∴点A（﹣2，3），代入y＝ax2+4，得：
3＝4a+4，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形LFGT，四边形SMNR均为正方形，FL＝NR＝0.75m，
∴TG＝MN＝FL＝NR＝0.75m，
延长LF交BC于点H，延长RN交BC于点J，则四边形FHJN，四边形ABFH均为矩形，
∴FH＝AB＝3m，FN＝HJ，
∴HL＝HF+FL＝3.75m，
∵，当y＝3.75时，，解得：x＝±1，
∴H（﹣1，0），J（1，0），
∴FN＝HJ＝2m，
∴GM＝FN﹣FG﹣MN＝0.5m；
（3）∵BC＝4m，OE垂直平分BC，
∴OB＝OC＝2m，
∴B（﹣2，0），C（2，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点K平行于AC的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：x2﹣3x+4m﹣16＝0，
则：Δ＝（﹣3）2﹣4（4m﹣16）＝0，解得：；
∴，当y＝0时，，
∴，
∵B（﹣2，0），
∴．
26．（12分）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
【初步探究】
（1）如图2，当ED∥BC时，则α＝ 45° ；
（2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系： BF＝AF+CF ；
【深入探究】
（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m为常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由平行线的性质和等腰直角三角形的定义可得α的值；
（2）先根据SAS证明△ACE≌△BCD（SAS），得AF＝BD，最后由线段的和及等腰直角三角形斜边与直角边的关系可得结论；
（3）如图4，过点C作CG⊥CF交BF于点G，证△BCG≌△ACF（ASA），得GC＝FC，BG＝AF，则△GCF为等腰直角三角形，GF＝CF，即可得出结论；
（4）先证△BCD∽△ACE，得∠CBD＝∠CAE，过点C作CG⊥CF交BF于点G，再证△BGC∽△AFC，得BG＝mAF，GC＝mFC，然后由勾股定理求出GF＝•FC，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△CED是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，
∵ED∥BC，
∴∠BCD＝∠CDE＝45°，即α＝45°，
故答案为：45°；
（2）BF＝AF+CF，理由如下：
如图3，
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠ACB，AC＝BC，CD＝CE，DF＝CF，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AF＝BD，
∵BF＝DF+BD，
∴BF＝AF+CF；
故答案为：BF＝AF+CF；
（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论仍然成立，理由如下：
由（2）知，△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAF＝∠CBD，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBG，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
∴△GCF为等腰直角三角形，
∴GF＝CF，
∴BF＝BG+GF＝AF+CF；
（4）BF＝mAF+•FC．理由如下：
由（2）知，∠ACE＝∠BCD，
而BC＝mAC，CD＝mEC，
即＝＝m，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，如图6所示：
由（3）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴＝＝＝m，
∴BG＝mAF，GC＝mFC，
在Rt△CGF中，GF＝＝＝•CF，
∴BF＝BG+GF＝mAF+•FC．
组别
评价得分
频数
频率
A组
60≤x＜70
30
0.1
B组
70≤x＜80
90
n
C组
80≤x＜90
m
0.4
D组
90≤x＜100
60
0.2
组别
评价得分
频数
频率
A组
60≤x＜70
30
0.1
B组
70≤x＜80
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n
C组
80≤x＜90
m
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D组
90≤x＜100
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