2023年江苏省宿迁市中考一模数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年江苏省宿迁市中考一模数学试卷（含答案解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．-2的倒数是（ ）
A．B．2C．D．-2
2．下列运算正确的是（）
A．B．C．D．
3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2=40°，则∠1=（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
4．如图，是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
6．若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（ ）
A．k＞1B．k＜1C．k≥1D．k≤1
7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为( )
A．4B．8C．6D．10
8．如图，在矩形中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____．
10．因式分解：_____．
11．若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a=
12．一只口袋中装有若干个形状，大小都相同的球，使得从袋中摸一个球是红球的概率为0.2，那么平均每摸100次能摸到_____个红球．
13．点P（a，b）在函数y＝3x+2图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于_____．
14．一个多边形的每个外角都相等，且是它相邻内角的，则此多边形是______边形．
15．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是___________．
16．如图，是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且，则_____°．
17．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，若A，C，B′三点共线，则tan∠B′CB=________．
18．如图，已知双曲线和，直线与双曲线交于点A，将直线向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，，则k的值为_____．
三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算
20．先化简，再求值：，其中满足a满足．
21．某学校组织“中秋诗词大会”，全体学生参与初赛，为了更好的了解学生成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（满分100分），整理得到如下不完整的统计图表：
请根据图表中所提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中 ， ；
（2）补全条形统计图；
（3）本次调查结果的中位数在第 小组；
（4）根据调查结果，请估计该学校1500名学生中，成绩不低于80分的人数．
22．2022年北京冬奥会成功举办，收到世界各国友人的一致赞扬，其中吉祥物“冰墩墩”以萌萌的形象深受人们的喜爱．某商场“五一节”搞抽奖活动，奖品为红、白、蓝、绿四种颜色的“冰墩墩”，每位顾客凭购物小票抽奖一次（决定奖品的颜色）．
（1）若花花凭购物小票抽奖一次，她抽到的是红色“冰墩墩”的概率为 ；
（2）若含含也抽奖一次，请列表或画树状图，求含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的概率．
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
24．图1为某大型商场的自动扶梯，图2中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面MN的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，．
（1）求一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度；
（2）求日光灯C到一楼地面高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，）
25．如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
26．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、周销售量y（件）、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）该商品的进价是______元/件，并求出该商品周销售利润的最大值；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
27．“关联”是解决数学问题重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
（1）如图①，是的角平分线，求证．
请根据小明或小红思路，选择一种并完成证明．
【作图应用】
（2）如图②，是的弦，在上作出点P，使得．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【深度思考】
（3）如图③，是的角平分线，若，则的面积最大值是______．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
组别
成绩分
频数（人数）
频率
第1组
第2组
第3组
第4组
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．C
【解析】根据倒数的定义求解即可。
【详解】解：-2的倒数是，故选C．
【点睛】本题考查求一个数的倒数．掌握两个数乘积是1的数互为倒数是解题关键．
2．D
【解析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，逐一判断选项，即可。
【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故该选选错误，B．，故该选项错误，C．，故该选项错误，D．，故该选项正确，故选D。
【点睛】本题主要考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，是解题的关键。
3．B
【解析】由互余可求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等求得结果．
【详解】解：如图，
∵，∴，
∵直尺的两边平行，∴．故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
4．D
【解析】根据几何体的三视图，即可解答．
【详解】解：根据图形可得主视图为：
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握画物体的三视图的的方法是解题的关键，画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
5．D
【解析】圆柱侧面积＝底面周长×高．
【详解】解：根据侧面积公式可得：，故选：D．
【点睛】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的侧面积底面圆的周长高．
6．C
【解析】求出原不等式组的解集为，再利用已知解集为，可知，即可求出k的取值范围．
【详解】由，解得：，
又∵不等式组的解集为，∴，∴．故选C
【点睛】本题考查解不等式组．根据不等式组的解集列出关于k的不等式是解答本题的关键．
7．B
【解析】解：设AG与BF交点为O，
∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，
∴∠BAO=∠FAO，
∴△ABO≌△AFO（SAS），
∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，
∵AB=5，
∴，
∵AF∥BE，
∴∠FAO=∠BOE，
又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴AO=EO，
∴AE=2AO=8，
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
8．A
【解析】
【分析】取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，根据已知得出，分别求得，进而求得，在中，勾股定理建立函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，取的中点F，连接，作于H，作于T，
设，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，
∴，
，
，
，
在中，
∴当时，取得最小值，
∵，∴的最小值为．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．
【解析】先题公因式，再利用完全平方公式分解因式．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了因式分解的方法：提公因式法和公式法，掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．-1
【解析】把x=3代入一元二次方程即可求出a．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，∴9+3a-6=0，
解得a=-1．故答案为：-1
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程方程的解又叫一元二次方程的根，熟知一元二次方程根的意义是解题的关键．
12．20
【解析】
【分析】直接利用次数乘以摸到红球的概率即可．
【详解】解：平均每摸100次能摸到个红球．
故答案为：20．
【点睛】本题考查已知概率求数量．掌握概率公式是解题关键．
13．-3
【解析】
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a﹣b＝﹣2，代入2（3a﹣b）+1即可．
【详解】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，
∴b＝3a+2，
则3a﹣b＝﹣2．
∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3，
故答案为﹣3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键．
14．八
【解析】
【分析】设多边形的外角的度数为x，根据题意列出方程，求出外角的度数，最后根据外角度数求出多边形边数即可．
【详解】解：设：多边形的外角的度数为x，
根据题意得：，
解得：，
，
故此多边形为八边形，
故答案为：八．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角、解一元一次方程，记住多边形外角和为是解答本题的关键．
15．且
【解析】
【分析】方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．
【详解】方程两边同乘以x-1，得，m-3=x-1，
解得x=m-2，
∵分式方程的解为正数，
∴x=m-2＞0且x-1≠0，
即m-2＞0且m-2-1≠0，
∴m＞2且m≠3，
故答案为：m＞2且m≠3．
16．20
【解析】
【分析】由直径所对圆周角为直角结合题意可求出，再根据圆内接四边形的性质可求出，最后根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵是半圆的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：20．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用．掌握直径所对圆周角为直角和圆内接四边形的对角互补是解题关键．
17．2
【解析】
【分析】利用勾股定理及其逆定理以及锐角三角函数关系进而得出结论．
【详解】如图所示：连接BD，由网格利用勾股定理得：BC，CD，BD=2．
∵，∴∠CDB=90°，∴BD⊥B′C，则tan∠B′CB
故答案为2．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理和锐角三角函数关系，得出BD⊥CB′是解题的关键．
18．
【解析】
【分析】连接，作于，轴于点，得出，依题意，根据得出，进而得出，根据相似三角形的性质得出，进而得出，根据的几何意义，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，作于，轴于点，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．2
【解析】
【分析】先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质化简，再根据实数的运算顺序计算．
【详解】解：
．
【点睛】特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质和运算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
20．，
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则即可化简．再解方程，得出a的值，最后由分式有意义的条件确定a的值，代入化简后的式子求值即可．
【详解】解：
．
解方程：，
，
，
，
解得：．
∵，，
∴，，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，分式有意义的条件．掌握分式的混合运算法则和解一元二次方程的方法是解题关键．
21．（1），（2）见解析（3）3（4）
【解析】
【分析】（1）根据频数分布直方图中，的频数和频率可以求得本次调查的学生数，从而可以得到和的值；
（2）根据（1）中的结果可以将统计图补充完整；
（3）根据中位数的定义即可求出中位数分布在哪一个分数段；
（4）利用乘以成绩不低于分的频率即可求出答案．
【小问1详解】
解：本次调查的学生有：（人），
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
补全条形统计图如图：
【小问3详解】
中位数在第位和位，
∴中位数在第组，
故答案为：；
【小问4详解】
（人）．
答：该学校名学生中，成绩不低于分的有人．
【点睛】本题考查了条形统计图、用样本估计总体、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（1）（2）
【解析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）设分别表示红、白、蓝、绿四种颜色，根据列表法求概率即可求解．
小问1详解】
解：共有四种颜色的“冰墩墩”，若花花凭购物小票抽奖一次，她抽到的是红色“冰墩墩”的概率为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：设分别表示红、白、蓝、绿四种颜色，列表如下
共有16种等可能结果，其中符合题意的有4种，
含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的概率．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可；
（2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
在△AEF与△DEB中，
∴；
（2）由（1）可知，，
∵D是BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ADCF平行四边形，
又∵△ABC为直角三角形，
∴，
∴四边形ADCF是菱形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
24．（1）5m（2）12.3m
【解析】
【分析】（1）过点B作于点E，设，根据勾股定理的性质列一元二次方程并求解，即可得到答案；
（2）过点C作于点F，交BL于点G，过点D作于点J，交BE于点H，根据矩形性质得四边形BEFG，ADJF是矩形，结合（1）的结论，根据三角函数的性质，得，从而完成求解．
【小问1详解】
如图，过点B作于点E．
设
∵AB的坡度为1∶2.4，
∴，
∴．
在中，由勾股定理，得，
解得：（舍去）或12，
∴，．
∴一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为5m．
【小问2详解】
如图，过点C作于点F，交BL于点G，过点D作于点J，交BE于点H，
∴四边形BEFG，ADJF是矩形，
根据题意，得：，，
∴，，
由（1）可知，（m），
∴．
在中，，
∴（m），
∴（m）
∴日光灯C到一楼地面的高度约为12.3m．
【点睛】本题考查了勾股定理、矩形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、三角函数的性质，从而完成求解．
25．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接、，根据已知条件证明，即可得解；
（2）由（1）可得，得到，令，根据正切的定义列式求解即可；
【详解】解：（1）证明：连结、．
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即是的切线．
（2）由（1）知，，又，
∴，
∴，即．
令，∴．
即，即．
∵，即，
∴，
解得或（舍），
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查了圆综合运用，结合相似三角形的判定与性质、正切的定义求解是解题的关键．
26．（1）y关于x的函数解析式为
（2）40，该商品周销售利润的最大值2450
（3）m的值为5
【解析】
【分析】（1）根据题意设，将，分别代入即可解答；
（2）根据单件利润×数量=总利润列方程求出进价，根据总利润=数量乘以单件利润列出函数解析式，根据二次函数的性质即可求出最大利润；
（3）同（2）的方法列出函数解析式，再利用二次函数的的性质求出最大值，列出关于m的方程求解．
【小问1详解】
解：设，将，分别代入得
解得：，
∴y关于x的函数解析式为．
【小问2详解】
设进价为z元，则，
解得，
故进价为40元/件．
，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，
w有最大值为元；
【小问3详解】
，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，w随x的增大而增大．
又∵，
∴当时，
w有最大值：．
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
27．（1）见解析（2）见解析（3）3
【解析】
【分析】（1）小明思路，作，利用平行线分线段成比例定理得到，再利用等角对等边求得，即可证明结论；
小红思路，作，利用面积法即可证明结论；
（2）作弦的垂直平分线，再作线段的垂直平分线，利用垂径定理即可求解；
（3）作的外角平分线，交的延长线于D，可得，，从而求得，即的半径为，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：小明思路：过点B作交的延长线于点D，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴；
小红思路：分别过点P，C作，垂足为D，E，F，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴．
∴；
【小问2详解】
解：①作弦的垂直平分线，交弦于点D，交点E，
由垂径定理得，
②再作线段的垂直平分线，交弦于点C，
③连接并延长交点P，
点P即为所求；
∵，
∴平分，
∵，
∴，
由（1）的结论得，
同理，点也为所求；
【小问3详解】
解：如图，
作的外角平分线，交的延长线于D，
点P在以为直径的圆上，当P运动到点，时，的面积最大，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即半径为，
的面积最大值为，
故答案为3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的作法确定的圆的条件等知识，解决问题的关键是掌握“阿氏圆”模型．
28．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）①；②-1或
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程组求出b、c即可；
（2）①利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点E作EK⊥y轴于点K，设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），从而得出EG，运用二次函数求最值方法即可；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，直线EG与x轴交于点N．先证明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，再运用勾股定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3；
小问2详解】
①当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，
∴∠KEG＝∠KGE＝45°，
∴EG＝＝EK＝OD，
设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
由题意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0，
当m＝﹣时，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值为；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N，
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG＝45°，
∴∠DEG＝∠DNE＝45°，
∴DE＝DN．
∵∠KGE＝∠ONG＝45°，
∴OG＝ON，
∵y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴MF＝1，
∵∠KGF＝45°，
∴GF＝＝MF＝，
∵∠FDG＝45°，
∴∠FDN＝∠DEG．
又∵∠DGF＝∠EGD，
∴△DGF∽△EGD，
∴＝，
∴DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，
在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，
OD＝﹣m，
在Rt△ODG中，
∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9＝﹣2m，
解得m1＝﹣1，m2＝．
【点睛】本题考查二次函数解析式、线段和最短问题、相似三角形，能够灵活使用方程思想解决问题是解题的关键，常用勾股定理、相似比列方程。含含
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