2023-2024学年广东省东莞市石竹实验学校高二（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞市石竹实验学校高二（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某物体沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s之间的关系为y(t)=1−t+t2，该物体在t=2s时的瞬时速度是( )
A. 2m/sB. 3m/sC. 4m/sD. 5m/s
2.如图所示为y=f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
①f(x)在(−∞,1)上是增函数；
②x=−1是f(x)的极小值点；
③f(x)在(2,4)上是减函数，在(−1,2)上是增函数；
④x=2是f(x)的极小值点．
A. ①②③B. ①③④C. ③④D. ②③
3.从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是( )
A. 70B. 74C. 84D. 504
4.双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的一条渐近线方程为x−2y=0，则其离心率为( )
A. 3B. 32C. 5D. 52
5.在正项等比数列{an}中，已知a2=1，a3+a4=6，则a1a4=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
6.小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为( )
A. 48B. 32C. 24D. 16
7.设函数f(x)=lnx−ax2在(1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. (0,12]B. [12,+∞)C. (0,1]D. [1,+∞)
8.若函数f(x)=ex+ax恰有两个零点，则a的取值范围是( )
A. (0,1e)B. (−e,0)C. (−e,0)∪(0,1e)D. (−∞,−e)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导正确的是( )
A. (e3x)′=3e2xB. (2sinx−3)′=2csx
C. (x2x+1)′=−1(2x+1)2D. (xcsx)′=csx−xsinx
10.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是( )
A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
11.已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数f′(x)满足f′(x)−f(x)x+1>0，对于函数g(x)=f(x)ex，下列结论正确的是( )
A. 函数g(x)在(−∞,−1)上为增函数B. x=−1是函数g(x)的极小值点
C. 函数g(x)必有2个零点D. e2f(e)>eef(2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=x3−2x2的图象在点(2,f(2))处的切线方程为______．
13.用数字0，1，2，3，5组成______个没有重复数字的五位偶数．
14.已知函数f(x)=1e2x+2x2,g(x)=2m−lnx，若关于x的不等式f(x)≤xg(x)有解，则m的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2=3，S5=25，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知f(x)=13x3+ax2−3x(a∈R)在x=−3处取得极值．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求f(x)的单调区间；
(Ⅲ)求f(x)在区间[−3,3]上的最大值和最小值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=AB=AD=2，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=π3，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．
(1)证明：平面AEF⊥平面PAD．
(2)求平面AEF与平面AED夹角的余弦值．
18.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的在、右焦点分别为F1，F2，离心率为2 55,F1为圆M：x2+y2+4x+3=0的圆心．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设过点F1的直线l与C交于A，B两点，求△ABF2的面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx−mx2+(1−2m)x+1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若对任意x>0，有f(x)⩽0恒成立，求整数m的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为y(t)=1−t+t2，所以y′(t)=−1+2t，y′(2)=−1+2⋅2=3．
所以该物体在t=2s时的瞬时速度是3m/s．
故选：B．
根据导数公式运算判断即可．
本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：x<−1时，f′(x)<0，∴f(x)是增函数，故①错误，②正确，
−10，f(x)是增函数，2x=2是极大值点，故④错误，
故选：D．
通过图象，结合导函数的符号，逐一排除，从而选出正确选项．
本题考察了函数的单调性，导数的应用，读图的能力，是一道基础题．
3.【答案】B
【解析】解：从所有的9名学生中选出3名，有C93种选法，其中全为男生的有C53种选法，
所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有C93−C53=74种．
故选：B．
从反面考虑，从9名学生中任选3名的所有选法种，去掉3名全是男生的情况，即为所求结果．
本题考查组合问题，也可以直接考虑，分三种情况：第一种，选出的三人中有1名女生；第二种，选出的3人中有2名女生；第三种，选出的3人全部是女生．分别求解也可得到结果．
4.【答案】D
【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的一条渐近线方程为x−2y=0，
可得ba=12，
所以双曲线的离心率为：e=ca= a2+b2a2= 52．
故选：D．
利用双曲线的渐近线方程，求解a，b关系，然后求解离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的应用，离心率的求法，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a3+a4=a2q+a2q2=q+q2=6，∴q=2或q=−3(舍)；
则a1a4=a2q×a2q2=12×4=2．
故选：B．
利用等比数列的基本量运算求出公比q，进而化简a1a4求值即可．
本题考查的知识要点：等比数列的定义的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：1与4相邻，共有A22=2种排法，
两个2之间插入1个数，共有A21=2种排法，
再把组合好的数全排列，共有A33=6种排法，
则总共有2×2×6=24种密码．
故选：C．
根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)=lnx−ax2在(1,+∞)上单调递减，
所以当x∈(1,+∞)时，f′(x)=1−2ax2x≤0，
所以a≥12x2在x∈(1,+∞)时恒成立，
所以a∈[12,+∞)．
故选：B．
利用函数的导数，结合函数的单调性，推出a的不等式，利用二次函数的最值求解即可．
本题考查函数的导数的应用，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
8.【答案】D
【解析】解：当a=0时，则f(x)=ex无零点，不符合题意；
当a≠0时，令f(x)=ex+ax=0，则xex=−1a，
故原题意等价于y=xex与y=−1a有两个交点，
构建g(x)=xex，则g′(x)=1−xex，
令g′(x)>0，解得x<1；令g′(x)<0，解得x>1；
则g(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
可得g(x)≤g(1)=1e，且当x趋近于+∞时，g(x)趋近于0，
所以g(x)的图象如图所示，
由图象可得，若g(x)=xex与y=−1a有两个交点，则0<−1a<1e，
解得a<−e，
故a的取值范围是(−∞,−e)．
故选：D．
根据题意分析可得：原题意等价于g(x)=xex与y=−1a有两个交点，求导，利用导数判断g(x)=xex的单调性，结合图象分析求解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：(e3x)′=3e3x，故A错误；
(2sinx−3)′=2csx，故B正确；
(x2x+1)′=x′(2x+1)−x(2x+1)′(2x+1)2=2x+1−2x(2x+1)2=1(2x+1)2，故C错误；
(xcsx)′=x′csx+x(csx)′=csx−xsinx，故D正确．
故选：BD．
根据导数的运算法则，即可判断选项．
本题主要考查导数的求导法则，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A：6门中选2门共有C62=15种选法，
故A正确；
对于B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，
有A22种排法，
然后全排列有A55=120种排法，
根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有A22A55=240种，
故B正确；
对于C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，
先排剩下的三门课程有A33=6种排法，
然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有A43=24种排法，
根据分步乘法计数原理，共有A33A43=144种排法，
故C正确；
对于D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，
再排“数”，有A55种排法，
若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有C41C41A44种排法，
所以共有A55+C41C41A44=504种排法，
故D错误．
故选：ABC．
A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法计算；C选项，利用插空法计算；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及分步乘法计数原理，属基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：因为g(x)=f(x)ex，所以g′(x)=f′(x)−f(x)ex，
因为导函数f′(x)满足f′(x)−f(x)x+1>0，
当x>−1时，f′(x)−f(x)>0，则 g′(x)>0，所以 g(x)是增函数；
当x<−1时，f′(x)−f(x)<0，则 g′(x)<0，所以 g(x)是减函数；
故A错误，B正确；
又f(0)=1，则g(0)=f(0)e0=1，
当g(−1)>0时，g(x)没有零点；
当g(−1)=0时，g(x)有一个零点；
当g(−1)<0时，g(x)可能有1个或2个零点，故C错误；
因为函数g(x)在(−1,+∞)上为增函数，
所以g(2)eef(2)，故D正确．
故选：BD．
求导g′(x)=f′(x)−f(x)ex，根据导函数f′(x)满足f′(x)−f(x)x+1>0判断选项AB，再结合f(0)=1，分g(−1)>0，g(−1)=0，g(−1)<0判断选项C；再由函数g(x)在(−1,+∞)上为增函数判断选项D．
本题主要考查导数知识的综合应用，属于中档题．
12.【答案】4x−y−8=0
【解析】解：∵f(x)=x3−2x2，∴f′(x)=3x2−4x，
∴f(2)=0，f′(2)=4，
∴所求切线方程为：y=4(x−2)，即4x−y−8=0．
故答案为：4x−y−8=0．
根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解．
本题考查利用导数求函数的切线问题，属基础题．
13.【答案】42
【解析】解：当个位数字为0时，这样的五位数共有：A44=24个，
当个位数字为2时，这样的五位数共有：A31A33=18个，
所以组成没有重复数字的五位偶数共有24+18=42个．
故答案为42．
当个位数字为0时，这样的五位数共有：A44，当个位数字为2时，这样的五位数共有：A31A33，进而得到答案．
本题主要考查排列组合的应用，项这种排数问题特别是包含数字0的排数问题，注意要分类来解，0在末位是偶数，并且0还不能排在首位，在分类时要做到不重不漏．
14.【答案】12
【解析】解：∵f(x)≤xg(x)有解⇔1e2x+2x2≤x(2m−lnx)有解
⇔2m≥1xe2x+2x+lnx=e−2x−lnx−(−2x−lnx)有解，
∴令t=−2x−lnx，则2m≥et−t在t∈R上有解，
令h(t)=et−t，则h′(t)=et−1>0⇒t>0，
h(t)在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数，当t=0时，等号成立，
∴2m≥h(0)=1⇒m≥12，
∴m的最小值是12．
故答案为：12．
f(x)≤xg(x)有解，则2m≥1xe2x+2x+lnx=e−2x−lnx−(−2x−lnx)有解，令t=−2x−lnx，则2m≥et−t在t∈R上有解，求出h(t)=et−t的最小值即可．
本题考查了函数不等式有解，函数的同构，属于难题．
15.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则a2=a1+d=3S5=5a1+5×42d=25，
化简整理，得a1+d=3a1+2d=5，
解得a1=1d=2，
∴an=1+2(n−1)=2n−1，n∈N*．
(2)由(1)可得，bn=1anan+1
=1(2n−1)(2n+1)
=12⋅(12n−1−12n+1)，
则Tn=b1+b2+…+bn
=12×(1−13)+12×(13−15)+…+12×(12n−1−12n+1)
=12×(1−13+13−15+…+12n−1−12n+1)
=12×(1−12n+1)
=n2n+1．
【解析】(1)先设等差数列{an}的公差为d，再根据题干已知条件列出关于a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用裂项相消法求前n项和Tn．
本题主要考查等差数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，裂项相消法，等差数列的通项公式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=x2+2ax−3，
由于f(x)在x=−3处取得极值，
故f′(−3)=0，解得a=1，
经检验，当a=1时，f(x)在x=−3处取得极值，
故a=1．
(Ⅱ)f′(x)=x2+2x−3，由f′(x)>0，得x>1或x<−3；由f′(x)<0，得−3故f(x)的单调增区间为(−∞,−3)，(1,+∞)；单减区间为(−3,1)．
(Ⅲ)由(Ⅱ)，得f(x)极大值=f(−3)=9，f(x)极小值=f(1)=−53，又f(3)=9，
所以函数f(x)在区间[−3,3]上的最大值为9，最小值为−53．
【解析】(Ⅰ)求导，由题意可知f′(−3)=0，进而得到a的值；
(Ⅱ)解关于导函数的不等式，即可得到单调性情况；
(Ⅲ)结合函数在[−3,3]上的单调性，得到函数的极值，比较极值和端点值，即可求得最值．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)证明：因为底面ABCD是菱形，AB=2且∠ABC=60°，
所以△ABC是边长为2的等边三角形，
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又因为BC/​/AD，所以AE⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以AE⊥PA，
又因为AD∩PA=A，且AD，PA⊂平面PAD，所以AE⊥平面PAD，
因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD．
(2)解：以点A为原点，以AE，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设P(0,0,2),D(0,2,0),E( 3,0,0),B( 3,−1,0)，F( 32,12,1)，
因为PA⊥平面ABCD，所以平面AED的一个法向量为m=(0,0,1)，
AE=( 3,0,0),AF=( 32,12,1)，
设平面AEF的法向量为n=(x1,y1,z1)，则n⋅AE= 3x1=0n⋅AF= 32x1+12y1+z1=0，
取y1=−2，可得x1=0，z1=1，所以n=(0,−2,1)，
设平面AEF与平面AED的夹角为θ，
则csθ=|cs|=|n⋅m|n|⋅|m||=1 5= 55，
所以平面AEF与平面AED夹角的余弦值为 55．
【解析】(1)由E为BC的中点，所以AE⊥BC，得到AE⊥AD，证得AE⊥PA，进而证得AE⊥平面PAD，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面AEF⊥平面PAD．
(2)以点A为原点，以AE，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面AEF与平面AED的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c(c>0).x2+y2+4x+3=0的圆心(−2,0)，
椭圆的左焦点F1(−2,0)，∴c=2.……………………(2分)
∵ca=2 55，∴a= 5，可得b=1，
故椭圆C的方程为x25+y2=1.………………(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知左、右焦点分别为F1(−2,0)，F2(2,0)，………………(6分)
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，易知直线l的斜率不为0，设l：x=my−2，
由x=my−2x25+y2=1，得(m2+5)y2−4my−1=0，………………(7分)
则y1+y2=4mm2+5,y1y2=−1m2+5，△ABF2的面积S=2|y2−y1|=2 (y2+y1)2−4y1y2=2 16m2(m2+5)2+4m2+5=4 5 m2+1m2+5，…………(9分)
设t= m2+1,t∈[1,+∞)，则S=4 5tt2+4=4 5t+4t≤ 5，………………(11分)
当且仅当t=4t，即t=2,m=± 3时，△ABF2的面积取得最大值，最大值为 5.………………(12分)
【解析】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c(c>0).利用圆的圆心求解c，利用离心率求解a，推出b，即可得到椭圆方程．
(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，易知直线l的斜率不为0，设l：x=my−2，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合三角形的面积利用换元法以及基本不等式求解最值即可．
本题考查椭圆的方程与性质，椭圆与直线的位置关系，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)因为f′(x)=−(2mx−1)(x+1)x(x>0)，
当m⩽0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，此时f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当m>0时，f′(x)=0，得x=−1(舍去)，x=12m，
当00，则f(x)在(0,12m)上单调递增；
当x>12m时，f′(x)<0，则f(x)在(12m,+∞)上单调递减；
综上：当m⩽0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当m>0时，f(x)在(0,12m)上单调递增，在(12m,+∞)上单调递减．
(2)因为对任意x>0，f(x)⩽0恒成立，
所以lnx+x+1⩽m(x2+2x)在(0,+∞)上恒成立，
即m⩾lnx+x+1x2+2x在(0,+∞)上恒成立．
设F(x)=lnx+x+1x2+2x，则F′(x)=−(x+1)(x+2lnx)(x2+2x)2．
设φ(x)=−(x+2lnx)，φ′(x)=−1−2x<0，则φ(x)在(0,+∞)上单调递减，
因为φ(1)=−1<0，φ(12)=2ln2−12>0，
所以∃x0∈(12,1)，使得φ(x0)=0，即x0+2lnx0=0．
当x∈(0,x0)时，φ(x)>0；
当x∈(x0,+∞)时，φ(x)<0．
所以F(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，
所以F(x)max=F(x0)=lnx0+x0+1x02+2x0=12x0，
因为x0∈(12,1)，所以12x0∈(12,1)．
故整数m的最小值为1．
【解析】(1)首先求函数的导数，并讨论m≤0和m>0两种情况讨论函数的单调性；
(2)首先将不等式变形，参变分离为m≥lnx+x+1x2+2x在(0,+∞)上恒成立．转化为求函数F(x)=lnx+x+1x2+2x的最值问题，即可求解．
本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，属于中档题．