2022-2023学年广东省深圳市龙岗区爱华学校七年级（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙岗区爱华学校七年级（下）期中数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(−2)0=( )
A. 1B. −2C. 0D. −12
2.某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是( )
A. 1.6×10−4B. 1.6×10−5C. 1.6×10−6D. 16×10−4
3.下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. 2a2+a2=3a4B. a6÷a3=a2
C. (−2a)3=−8a3D. (2a−1)2=4a2−1
5.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是( )
A. (1−5x+y)(y−15x)B. (x+1)(1+x)
C. (−a+b)(a−b)D. (x2−y)(x2+y)
6.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(单位：cm)与所挂的物体的质量x(单位：kg)(不超过10kg)间有下面的关系：
则下列说法不正确的是( )
A. x与y都是变量
B. 弹簧不挂重物时的长度为0cm
C. 物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D. 当所挂物体质量为7kg时，弹簧的长度为13.5cm
7.在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了( )
A. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B. 两直线平行，同位角相等
C. 同旁内角相等，两直线平行
D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
8.如图，在△ABC中，∠B=∠C，BF=CD，BD=CE，∠FDE=64°，则∠A的度数是( )
A. 42°
B. 52°
C. 62°
D. 51°
9.在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如：对于多项式x4−y4，因式分解的结果是(x−y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x−y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3−9xy2，取x=10，y=1时，用上述方法生成的密码可以是( )
A. 101001B. 1307C. 1370D. 10137
10.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则AB的长为( )
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：−x2y⋅2xy3=______．
12.已知a2=2，则a6的值为______．
13.如图，一航班沿北偏东60°方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西45°方向，则其改变航向时∠α的度数为______．
14.老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×2x=4x2−6xy+2x，则所指的多项式为______．
15.如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
4+| 3−2|+(12)−2−(2020−π)0．
17.(本小题7分)
先化简，再求值：
(2x+1)2−x(x+4)+(x−2)(x+2)，其中x=−1．
18.(本小题8分)
如图，AB，CD为两条射线，AB/​/CD，连接AC．
(1)尺规作图：在CD上找一点E，使得AE平分∠BAC，交CD于点E.(不写作法，保留作图痕迹)．
(2)在题(1)所作的图形中，若∠C=120°，求∠CEA的度数．
19.(本小题8分)
自行车骑行爱好者小轩为备战中国国际自行车公开赛，积极训练.以下图象是他最近一次在深圳湾体育公园骑车训练，离家的距离s(km)与所用时间t(h)之间的关系.请根据图象回答下列问题：
(1)途中小轩共休息了______小时；
(2)小轩第一次休息后，骑行速度恢复到第1小时的速度，请求出目的地离家的距离a是多少km？
(3)小轩第二次休息后返回家时，速度和到达目的地前的最快车速相同，则全程最快车速是______km/h；
(4)已知小轩是早上7点离开家的，请通过计算，求出小轩到家的时间．
20.(本小题8分)
(1)如图，已知EF//CD，∠1=∠3，求证：AC/​/DE．
证明：∵EF/​/CD，
∴∠______=∠______.(两直线平行，______)
又∵∠1=∠3，
∴∠______=∠______，
∴______/​/______.(______，两直线平行)
(2)如图，已知AC/​/DE，∠1=∠3，求证：EF//CD．
21.(本小题9分)
【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y(x>y)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到(x−y)2、(x+y)2、xy三者之间的等量关系式：______；
【知识迁移】如图2所示的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：______；
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
(1)已知x>y，x+y=3，xy=54，求x−y的值；
(2)已知|a+b−4|+(ab−2)2=0，则a3+b3=______．
22.(本小题9分)
【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理.如图1，可以表述为：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
【新知应用】已知：在△ABC中，AB=AC，若∠A=110°，则∠B= ______；若∠B=70°，则∠A= ______．

【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，若连接CA，则CA平分∠BCD．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE=BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明.请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠B+∠AED=180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(−2)0=1；
故选：A．
根据零指数幂的法则，即可得出结果．
本题考查零指数幂．熟练掌握零指数幂的法则：a0=1(a≠0)，是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：0.000016=1.6×10−5；
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】B
【解析】解：根据对顶角的定义可知：只有B选项中的∠1与∠2是对顶角，其它都不是．
故选：B．
根据定义判断即可：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．
本题考查了对顶角的定义．掌握定义是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：由题意，
2a2+a2=3a2，故A选项错误，不符合题意．
a6÷a3=a3，故B选项错误，不符合题意．
(−2a)3=−8a3，故C选项正确，符合题意．
(2a−1)2=4a2−4a+1，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
依据题意，根据整式的运算法则逐项分析即可得解．
本题主要考查了整式的运算法则，解题时要能熟练运用公式进行运算是关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、不存在互为相反数的项，故本选项错误；
B、不存在互为相反数的项，故本选项错误；
C、(−a+b)(a−b)=−(a−b)(a−b)，不符合平方差公式的特点；
D、存在相同的项，又有互为相反数的项，故本选项符合题意．
故选：D．
根据平方差公式的特点，两个数的和乘以这两个数的差，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A.x与y都是变量，说法正确，故A不符合题意；
B.弹簧不挂重物时的长度为10cm，原说法错误，故B符合题意；
C.物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，说法正确，故C不符合题意；
D.当所挂物体质量为7kg时，弹簧的长度为13.5cm，说法正确，故D不符合题意；
故选：B．
根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案．
本题考查的是函数的表示方法，理解一次函数的表示方法是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵a/​/b，a/​/c，
∴b/​/c，
∴这说明了如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，
故选：A．
根据平行线的判定条件进行求解即可．
本题主要考查了平行线的判定，熟知如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：在△BDF和△CED中，
BF=CD∠B=∠CBD=CE，
∴△BDF≌△CED(SAS)，
∴∠BFD=∠CDE，
∵∠FDE+∠FDC=∠B+∠BFD，
∴∠B=∠FDE=64°，
∴∠C=∠B=64°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=180°−64°−64°=52°，
故选：B．
由“SAS”证△BFD≌△CDE，得∠BFD=∠CDE，再由三角形的外角性质得∠B=∠FDE=64°=∠C，然后由三角形内角和定理即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：x3−9xy2=x(x2−9y2)=x(x+3y)(x−3y)，
当x=10，y=1时，x=10，x+3y=10+3=13，x−3y=10−3=7，
∴上述方法生成的密码可以是10137．
故选：D．
首先对多项式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算，即可确定出密码．
本题考查了因式分解的应用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出产生密码的方法是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意可知：
△ADE的最大面积是6 3(cm2)，
此时点D与点C重合，
如图，
在Rt△ADE中，∠A=30°，
设DE=x，则AE= 3x，
∴S△ADE=12AE⋅DE
=12× 3x⋅x
= 32x2，
∴ 32x2=6 3，
解得x=2 3(负值舍去)，
∴DE=2 3，
∴AD=AC=2DE=4 3，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴cs30°=ACAB= 32，
∴4 3AB= 32，
∴AB=8cm．
故选：C．
根据题意可得，△ADE的最大面积是6 3(cm2)，此时点D与点C重合，根据三角形ADE的面积即可求出DE=2 3，再根据30度特殊角即可求出AB的长．
本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
11.【答案】−2x3y4
【解析】解：−x2y⋅2xy3=−2x3y4，
故答案为：−2x3y4．
根据单项式与单项式相乘的运算法则计算即可．
本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
12.【答案】8
【解析】解：a6=(a2)3=23=8，
故答案为：8．
根据幂的乘方的逆运算求解即可．
本题主要考查幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
13.【答案】75°
【解析】解：如图，由题意得∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE/​/BF，
∴∠AFB=∠EAC=60°，
∵∠α+∠CBF+∠CFB=180°，
∴∠α=180°−(∠CBF+∠CFB)
=180°−(60°+45°)
=180°−105°
=75°，
故答案为：75°．
先运用平行线的性质求得∠AFB=60°，再运用三角形内角和定理求得∠α的度数．
此题考查了运用平行线的性质及三角形内角和定理解决方位角问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地推理、计算．
14.【答案】2x−3y+1
【解析】由题意可得，所捂多项式是：(4x2−6xy+2x)÷2x
=4x2÷2x−6xy÷2x+2x÷2x
=2x−3y+1，
故答案为：2x−3y+1．
直接利用多项式除以单项式的运算法则计算得出答案．
本题主要考查了多项式除以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15.【答案】102°
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG−∠EFG=180°−2∠BFE−∠EFG=180°−3×26°=102°，
故答案为：102°．
先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°−2∠BFE，∠CFE=∠CFG−∠EFG即可．
本题考查了翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
16.【答案】解：原式=2+2− 3+4−1
=7− 3．
【解析】原式利用算术平方根性质，绝对值的代数意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：(2x+1)2−x(x+4)+(x−2)(x+2)
=4x2+4x+1−x2−4x+x2−4
=4x2−3，
当x=−1时，原式=4×(−1)2−3=4−3=1．
【解析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18.【答案】解：(1)如图，射线AE即为所求．
(2)∵AB/​/CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠C=120°，
∴∠CAB=60°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=12∠CAB=30°，
∴∠AEC=∠BAE=30°．
【解析】(1)利用尺规作∠CAB的角平分线即可．
(2)利用平行线的性质求出∠CAB，再利用角平分线的定义求出∠BAE即可．
本题考查作图−复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.【答案】0.5 20
【解析】解：(1)途中小轩共休息了：1.5−1=0.5(小时)．
故答案为：0.5；
(2)25+15×(3−2)=40(km)，
答：目的地离家的距离a是40km；
(3)全程最快车速是：(25−15)÷(2−1.5)=20(km/h)，
故答案为：20；
(4)4+40÷20=6(分钟)，
∴轩到家的时间是早上七点零六分．
(1)根据图象可以直接看出纵坐标表示离家的距离，从横坐标中找到时间点，即可得出答案；
(2)根据“速度=路程÷时间”可得第1小时的速度，进而得出目的地离家的距离a；
(3)根据“速度=路程÷时间”解答即可；
(4)根据返回时所走路程和返回时的平均速度可得b的值，进而得出小轩到家的时间．
此题主要考查了看函数图象，解决本题的关键是读懂图意，然后根据图象信息找到所需要的数量关系，利用数量关系即可解决问题．
20.【答案】(1)2；3；内错角相等；1；2；AC；DE；内错角相等
(2)证明：∵AC/​/DE，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴EF/​/CD．
【解析】(1)证明：∵EF/​/CD，
∴∠2=∠2.(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC//DE.(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：2，3，内错角相等；1，2，AC，DE，内错角相等；
(2)见答案
(1)根据图形和题目中已写出的推理过程，可以将剩余的补充完整，其中用到的依据是平行线的性质和判定；
(2)仿照(1)中的证明，可以写出(2)的证明过程，其中用到的依据是平行线的性质和判定，
本题考查平行线的判定和性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
21.【答案】(a−b)2=(a+b)2−4ab. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. 40
【解析】解：知识生成：图1中阴影部分面积可以表示为：(a−b)2，还可以表示为：(a+b)2−4ab．
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab．
知识迁移：图2中几何体的体积为：(a+b)3，还可以表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3．
成果应用：(1)∵(x−y)2=(x+y)2−4xy=9−5=4．
∴x−y=±2．
∵x>y，
∴x−y=2．
(2)∵|a+b−4|+(ab−2)2=0，
∴a+b−4=0，ab−2=0．
∴a+b=4，ab=2．
∴a3+b3=(a+b)3−3a2b−3ab2
=(a+b)3−3ab(a+b)
=64−3×2×4
=40．
故答案为：40．
知识生成：用两种方法表示同一个图形面积即可．
知识迁移：用两种方法表示同一个几何体体积即可．
成果应用：利用前面得到的关系变形计算．
本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，用两种方法表示同一个图形面积或体积是求解本题的关键．
22.【答案】35° 40°
【解析】【新知应用】解：在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=110°，
∴∠B=∠C=12(180°−110°)=35°，
若∠B=70°，
则∠A=180°−2×70°)=40°，
故答案为：35°，40°；
【尝试探究】证明：如图2，延长CD到点E，使得DE=BC，连接AE，
∴∠ADC+∠ADE=180°，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=∠AED，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠B=∠AEDBC=ED，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACB=∠D，AC=AD，
∴∠ACD=∠D，
∴∠ACD=∠ACB，
∴CA平分∠BCD；
【拓展应用】解：CA平分∠BCD，理由如下：
如图3，延长DE到点F，使得EF=BC，连接AF，
∴∠AED+∠AEF=180°，
∵∠B+∠AED=180°，
∴∠B=∠AEF，
∵AB=AE，
∴△ABC≌△AEF(SAS)，
∴AC=AF，∠ACB=∠F，
∵BC+DE=CD，BC=EF，
∴CD=FD，
在△ACD和△AFD中，
AC=AFAD=ADCD=FD，
∴△ACD≌△AFD(SSS)，
∴∠ACD=∠F，
∴∠ACD=∠ACB，
∴AC平分∠BCD．
【新知应用】根据等腰三角形的性质即可解答；
【尝试探究】证明△ABC≌△ADE(SAS)，得∠ACB=∠D，AC=AD，利用等腰三角形的性质可以证明结论；
【拓展应用】如图3，延长DE到点F，使得EF=BC，连接AF，证明△ABC≌△AEF(SAS)，再证明△ACD≌△AFD(SSS)，得∠ACD=∠F，进而可以得结论．
本题属于四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△ADE．x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5