2024年广西壮族自治区南宁市银海三雅学校九年级数学中考模拟试卷（二）

这是一份2024年广西壮族自治区南宁市银海三雅学校九年级数学中考模拟试卷（二），共22页。
A．2023B．﹣2023C．D．0
2．（3分）在一些美术字种，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．爱B．国C．敬D．业
3．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝50°，下列说法正确的是（ ）
A．∠2＝50°B．∠2＝80°C．∠2＝130°D．∠2＝150°
4．（3分）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．2.15×107B．0.215×108C．2.15×106D．21.5×106
5．（3分）一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（ ）
A．3B．6C．8D．12
6．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
C．一组数据的方差越小，它的波动越小
D．样本中个体的数目称为样本容量
8．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3B．8a2﹣5a2＝3a2
C．a8÷a2＝a4D．（﹣3a2）3＝﹣9a6
9．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
10．（3分）被誉为“中国画里乡村”的黄山宏村，村头有一座美丽的圆弧形石拱桥（如图），已知桥拱的顶部C距水面的距离CD为2.7m，桥弧所在的圆的半径OC为1.5m，则水面AB的宽度是（ ）
A．1.8mB．1.6mC．1.2mD．0.9m
11．（3分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧B进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对
12．（3分）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．
有如下四个结论：
①勒洛三角形是中心对称图形；
②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；
③图2中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为2π；
④图3中，在△ABC中随机取一点，则该点取自勒洛三角形DEF部分的概率为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②④C．②③D．③④
二、填空题（本题共计6小题，每题2分，共计12分）
13．（2分）请写出一个比小的整数 ．
14．（2分）因式分解：a2﹣25＝ ．
15．（2分）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）在第 象限．
16．（2分）有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，﹣0.5，π，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是 ．
17．（2分）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．
18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接AE，作点B关于直线AE的对称点B′，连接DB′并延长交BC于点F．当BF最大时，点B′到BC的距离是 ．
三.解答题（本大题共8个小题，共72分）
19．（6分）计算+2﹣1＝ ．
20．（6分）解方程：．
21．（10分）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．
22．（10分）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足b＝2a．
请根据所给信息，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表
（1）a＝ ；b＝ ．
（2）小明计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；
（3）由扇形图可知，乙组中获得70分的人数在20人中的占比为，获得80和90分的人数在20人中的占比均为；请算出乙组竞赛成绩的平均分，并依据平均成绩确定成绩较好的是哪个组．
23．（10分）寓言故事：青年用木柴烧水时，由于木柴不足，水没有烧开，重新找木柴的时间水已变凉，而新找的木柴也不够将水重新烧开，很是气馁．路过的智者提醒他，木柴不够，可以将水倒掉一部分．青年听后，茅塞顿开，把水烧开了．智者的话蕴含一定道理，根据物理学公式Q＝cmΔt （Q表示寓言故事中水吸收的总热量，c表示水的比热容为常数，m表示水的质量，Δt表示水的温差），得．智者的话可解释为：当木柴质量确定时，提供给水吸收的总热量Q随之确定，为定值，水上升的温度Δt（单位：℃）与水的质量m（单位：kg）成反比例．
（1）若现有木柴可以将3kg温度为25℃的水加热到75℃，请求出这种情形下的值及Δt关于m的反比例函数的表达式；
（2）在（1）的情形下，现有的木柴可将多少千克温度为25℃的水加热到 100℃．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
25．（10分）阅读与思考：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式x2+2x﹣4的最小值．
x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣5＝（x+1）2﹣5，可知当x＝﹣1时，x2+2x﹣4有最小值，最小值是﹣5．
再例如：求代数式﹣3x2+6x﹣4的最大值．
﹣3x2+6x﹣4＝﹣3（x2﹣2x+1）﹣4+3＝﹣3（x﹣1）2﹣1．可知当x＝1时，﹣3x2+6x﹣4有最大值．最大值是﹣1．
【直接应用】
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
（2）代数式x2+8x+11的最小值为 ；
【类比应用】
（3）试判断代数式a2+2b2+11与2ab+2a+4b的大小，并说明理由；
【知识迁移】
（4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积．
26．（10分）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（1），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，则△OBC的面积为 ；
（2）性质探究：如图（2），已知△ABC的重心为点O，对于任意形状的△ABC，是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由；
（3）性质应用：如图（3），在任意矩形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M，的值是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由；
（4）思维拓展：如图（4），∠MON＝30°，N点的坐标为（2，0），M点的坐标为（3，），点Q在线段OM上以每秒1个单位的速度由O向M点移动，当Q运动到M点就停止运动，连接NQ，将△MON分为△OQN和△MQN两个三角形，当其中一个三角形与原△MON相似时，求点Q运动的时间t．
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．0
【分析】根据负数的定义即可求得答案．
【解答】解：2023，，0都不是负数，
﹣2023是负数，
故选：B．
【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）在一些美术字种，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．爱B．国C．敬D．业
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的美术字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝50°，下列说法正确的是（ ）
A．∠2＝50°B．∠2＝80°C．∠2＝130°D．∠2＝150°
【分析】由平行线的性质推出∠3＝∠1＝50°，由邻补角的性质即可求出∠2＝180°﹣50°＝130°．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3＝∠1．
4．（3分）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．2.15×107B．0.215×108C．2.15×106D．21.5×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将21500000用科学记数法表示为：2.15×107．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（ ）
A．3B．6C．8D．12
【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．
【解答】解：∵正多边形的中心角和为360°，正多边形的中心角是30°，
∴这个正多边形的边数＝＝12．
故选：D．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x＜1，
由②得，x≥﹣2，
在数轴上表示为：
．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
C．一组数据的方差越小，它的波动越小
D．样本中个体的数目称为样本容量
【分析】根据随机事件的定义，抽样调查和全面调查的特点，方差的特点，样本容量的定义解答即可．
【解答】解：A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件，故A选项不符合题意；
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查调查，故B选项符合题意；
C．一组数据的方差越小，它的波动越小，故C选项不符合题意；
D．样本中个体的数目称为样本容量，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了随机事件，抽样调查和全面调查，方差，样本容量，熟练掌握相关的定义和特点是解答本题的关键．
8．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3B．8a2﹣5a2＝3a2
C．a8÷a2＝a4D．（﹣3a2）3＝﹣9a6
【分析】根据同类项、合并同类项法则以及同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
【解答】解：A．a3•a3＝a3+3＝a6，因此选项A不符合题意；
B．8a2﹣5a2＝3a2，因此选项B符合题意；
C．a8÷a2＝a8﹣2＝a6，因此选项C不符合题意；
D．（﹣3a2）3＝﹣27a6，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的前提．
9．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
10．（3分）被誉为“中国画里乡村”的黄山宏村，村头有一座美丽的圆弧形石拱桥（如图），已知桥拱的顶部C距水面的距离CD为2.7m，桥弧所在的圆的半径OC为1.5m，则水面AB的宽度是（ ）
A．1.8mB．1.6mC．1.2mD．0.9m
【分析】连接OA，在RT△AOD中，利用勾股定理求出AD即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，
在Rt△AOD中，OA＝1.5m，OD＝CD﹣OC＝1.2m，∠ODA＝90°，
∴AD＝＝0.9m，
∵OD⊥AB，
∴AB＝2AD＝1.8m．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，连接OA是解题的关键，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．（3分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧B进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x，则，即可求解．
【解答】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x，
∴，
∴（20﹣x）2＝20x，
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
12．（3分）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．
有如下四个结论：
①勒洛三角形是中心对称图形；
②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；
③图2中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为2π；
④图3中，在△ABC中随机取一点，则该点取自勒洛三角形DEF部分的概率为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②④C．②③D．③④
【分析】根据轴对称的性质，等边三角形的性质，求出勒洛三角形的面积，由测度比是面积比逐一判断即可﹒
【解答】解：①勒洛三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故①错误；
②夹在平行线之间的勒洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故②正确；
③∵等边三角形DEF的边长为2，
∴勒洛三角形的周长＝3×＝2π，故③正确；
④如图，设△ABC的边长为2，则正三角形DEF的边长为1，
以D为圆心的扇形面积是＝，
△DEF的面积是×1×1×＝，
∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为3×（﹣）+＝，△ABC的面积为，
∴所求概率为＝，故④错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查概率等基础知识，考查运算求解能力、应用意识和创新意识，解题的关键是掌握平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质．
二、填空题（本题共计6小题，每题2分，共计12分）
13．（2分）请写出一个比小的整数 4（答案不唯一） ．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵42＝16，52＝25，而16＜23＜25，
∴4＜＜5，
∴比小的整数有4（答案不唯一），
故答案为：4（答案不唯一）．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
14．（2分）因式分解：a2﹣25＝ （a﹣5）（a+5） ．
【分析】根据平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a2﹣52＝（a+5）（a﹣5）．
故答案为：（a+5）（a﹣5）．
【点评】此题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．（2分）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）在第 一 象限．
【分析】因为在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，所以k＞0，所以点P（3，k）在第一象限．
【解答】解：∵在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴点P（3，k）在第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
16．（2分）有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，﹣0.5，π，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是 ．
【分析】根据题目中的数据，可以写出其中的无理数，然后即可计算出取出的卡片正面的数字是无理数的概率．
【解答】解：数据，，﹣0.5，π，0中无理数有：，π，
则取出的卡片正面的数字是无理数的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式、无理数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
17．（2分）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 9 里．
【分析】由AB切圆于D，BC切圆于C，连接OD，得到OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，由勾股定理求出AC＝＝12，由tanA＝＝，求出OD＝4.5（里），即可得到答案．
【解答】解：如图，⊙O表示圆形城堡，
由题意知：AB切圆于D，BC切圆于C，连接OD，
∴OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，
∵AD＝6里，
∴AB＝AD+BD＝15里，
∴AC＝＝12，
∵tanA＝＝，
∴＝，
∴OD＝4.5（里）．
∴城堡的外围直径为2OD＝9（里）．
故答案为：9．
【点评】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，由锐角的正切得到＝，求出OD长即可．
18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接AE，作点B关于直线AE的对称点B′，连接DB′并延长交BC于点F．当BF最大时，点B′到BC的距离是 ．
【分析】当DF⊥AB'时，BF有最大值，即点E与点F重合，由勾股定理可求CE的长，可求BE＝B'E＝4，通过证明△EB'H∽△EDC，即可求解．
【解答】解：如图，过点B'作BH⊥BC于H，
∵点B关于直线AE的对称点B′，
∴AB＝AB'，BE＝B'E，∠AEB＝∠AEB'，∠ABE＝∠AB'E，
当DF⊥AB'时，BF有最大值，
∴∠AB'F＝∠AB'E＝90°，
∴点E与点F重合，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝∠AEB'，
∴AD＝DE＝10，
∴CE＝＝＝6，
∴BE＝4＝B'E，
∵B'H⊥BC，DC⊥BC，
∴B'H∥CD，
∴△EB'H∽△EDC，
∴，
∴，
∴HB'＝，
∴点B′到BC的距离是，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，确定点F的位置是解题的关键．
三.解答题（本大题共8个小题，共72分）
19．（6分）计算+2﹣1＝ 3 ．
【分析】根据算术平方根、零指数幂以及有理数的加减运算法则运算即可．
【解答】解：原式＝3﹣1+2﹣1
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了算术平方根、零指数幂以及有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（6分）解方程：．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：3＝5（x﹣4）﹣2，
整理得：3＝5x﹣22，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣4≠0，
故原方程的解为x＝5．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
21．（10分）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．
【分析】（1）找到点A、B、C关于y轴的对称点A1（﹣1，2）、B1（﹣2，3）、C1（﹣4，1），连接点A1、B1、C1得到△A1B1C1即可；
（2）分别连接AO、BO、CO，并分别向AO、BO、CO方向延长两倍，得到点A2、B2、C2，连接点A2、B2、C2得到△A2B2C2，根据图象得出点B2的坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所要求作的图形
（2）如图，△A2B2C2即为所要求作的图形．
由图可知点B2的坐标为（﹣4，﹣6）．
【点评】本题考查了轴对称变化、位似变化，熟练掌握轴对称变化、位似变化的作图是解题的关键．
22．（10分）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足b＝2a．
请根据所给信息，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表
（1）a＝ 4 ；b＝ 8 ．
（2）小明计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；
（3）由扇形图可知，乙组中获得70分的人数在20人中的占比为，获得80和90分的人数在20人中的占比均为；请算出乙组竞赛成绩的平均分，并依据平均成绩确定成绩较好的是哪个组．
【分析】（1）根据每组学生均为20名求出a，b的和，由b＝2a即可求解；
（2）小明的计算不正确，根据加权平均数的计算方法可以解答本题；
（3）计算乙组20名学生竞赛成绩的平均分，比较即可得出答案．
【解答】解：（1）∵每组学生均为20名，
∴a+b＝20﹣3﹣5＝12（名），
∵b＝2a，
∴a＝4，b＝8；
故答案为：4；8；
（2）小明的计算不正确，
正确的计算为：＝87.5（分）；
（3）竞赛成绩较好的是甲组，
理由：乙组20名学生竞赛成绩的平均分：100×+90×+80×+70×＝10+22.5+20+28＝80.5（分），
80.5＜87.5，
∴竞赛成绩较好的是甲组．
【点评】本题考查的是统计表和扇形统计图的运用．读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．本题也考查了平均数的认识．
23．（10分）寓言故事：青年用木柴烧水时，由于木柴不足，水没有烧开，重新找木柴的时间水已变凉，而新找的木柴也不够将水重新烧开，很是气馁．路过的智者提醒他，木柴不够，可以将水倒掉一部分．青年听后，茅塞顿开，把水烧开了．智者的话蕴含一定道理，根据物理学公式Q＝cmΔt （Q表示寓言故事中水吸收的总热量，c表示水的比热容为常数，m表示水的质量，Δt表示水的温差），得．智者的话可解释为：当木柴质量确定时，提供给水吸收的总热量Q随之确定，为定值，水上升的温度Δt（单位：℃）与水的质量m（单位：kg）成反比例．
（1）若现有木柴可以将3kg温度为25℃的水加热到75℃，请求出这种情形下的值及Δt关于m的反比例函数的表达式；
（2）在（1）的情形下，现有的木柴可将多少千克温度为25℃的水加热到 100℃．
【分析】（1）根据50＝，可得＝150即得Δt＝；
（2）由25℃的水加热到 100℃，得75＝，即可解得答案．
【解答】解：（1）根据题意，Δt＝，
∵将3kg温度为25℃的水加热到75（℃），
∴m＝3kg，Δt＝75﹣25＝50°C，
∴50＝，
∴＝150；
∴Δt＝；
∴的值为150，Δt关于m的反比例函数的表达式为Δt＝；
（2）∵25℃的水加热到 100℃，
∴Δt＝100﹣25＝75（°C），
∴75＝，
解得m＝2，
∴现有的木柴可将2千克温度为25℃的水加热到 100℃．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
【分析】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD＝∠A，即可得出∠OCD＝90°，即CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°．
∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠A＝∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4，
∴OD＝＝5，
∴BD＝OD﹣OB＝5﹣3＝2．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠OCD＝90°；（2）根据勾股定理求出OD的长度．
25．（10分）阅读与思考：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式x2+2x﹣4的最小值．
x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣5＝（x+1）2﹣5，可知当x＝﹣1时，x2+2x﹣4有最小值，最小值是﹣5．
再例如：求代数式﹣3x2+6x﹣4的最大值．
﹣3x2+6x﹣4＝﹣3（x2﹣2x+1）﹣4+3＝﹣3（x﹣1）2﹣1．可知当x＝1时，﹣3x2+6x﹣4有最大值．最大值是﹣1．
【直接应用】
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ 4 ；
（2）代数式x2+8x+11的最小值为 ﹣5 ；
【类比应用】
（3）试判断代数式a2+2b2+11与2ab+2a+4b的大小，并说明理由；
【知识迁移】
（4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积．
【分析】（1）依据题意，由配方法的意义得，a2+4a+4是完全平方式，进而判断可以得解；
（2）依据题意，由x2+8x+11＝（x+4）2﹣5，再由平方数是非负数进而可以判断得解；
（3）依据题意，将a2+2b2+11与2ab+2a+4b相减，然后判断差的大小，进而可以得解；
（4）依据题意，设AB＝x，从而表示出BC，然后再表示出四边形ABCD的面积，结合x的取值范围进而可得围成的生物园的最大面积．
【解答】解：（1）由题意得，a2+4a+4是完全平方式．
故答案为：4．
（2）由题意，∵x2+8x+11＝（x+4）2﹣5，
又对于任意的x都有（x+4）2≥0，
∴x2+8x+11＝（x+4）2﹣5≥﹣5．
∴代数式x2+8x+11的最小值为﹣5．
故答案为：﹣5．
（3）a2+2b2+11＞2ab+2a+4b．理由如下：
∵（a2+2b2+11）﹣（2ab+2a+4b）
＝a2+2b2+11﹣2ab﹣2a﹣4b
＝[（a2﹣2ab+b2）+（﹣2a﹣2b）+1]+（b2﹣6b+9）+1
＝[（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1]+（b﹣3）2+1
＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+1＞0，
∴a2+2b2+11＞2ab+2a+4b．
（4）设AB＝x，
∴BC＝16﹣2x．
∴0＜x＜8，生物园的面积y＝x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x．
又y＝﹣2x2+16x
＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为32．
答：当x＝4时，面积最大为32 m2．
【点评】本题主要考查配方法的实际应用能力，根据题意列出关系式是基础，配方是关键．
26．（10分）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（1），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，则△OBC的面积为 ；
（2）性质探究：如图（2），已知△ABC的重心为点O，对于任意形状的△ABC，是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由；
（3）性质应用：如图（3），在任意矩形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M，的值是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由；
（4）思维拓展：如图（4），∠MON＝30°，N点的坐标为（2，0），M点的坐标为（3，），点Q在线段OM上以每秒1个单位的速度由O向M点移动，当Q运动到M点就停止运动，连接NQ，将△MON分为△OQN和△MQN两个三角形，当其中一个三角形与原△MON相似时，求点Q运动的时间t．
【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明＝，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；
（2）根据（1）的证明可求解；
（3）由△ABM∽△CEM得到S△ABM＝2S△BCM＝4S△CEM，即可求得答案；
（4）过点M作x轴的垂线段交于点P，分△ONQ与△MON相似和△MNQ与△MON相似两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）连接DE，如图一，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD，BE是BC，AC边上的中线，
∴D，E为BC，AC边上的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴＝＝，
∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，
∴AD＝，OD＝，
∴S△OBC＝＝＝；
故答案为；
（2）由（1）同理可得，＝，是定值；
（3）∵矩形ABCD，点E是CD的中点，
∴△ABM∽△CEM，
∴＝＝，
∴S△ABM＝2S△BCM＝4S△CEM，
∴S△ABC＝6S△CEM，
∴S▱ABCD＝12S△CEM，
∴定值为12；
（4）如图（4），过点M作x轴的垂线段交于点P，
∵N点的坐标为（2，0），M点的坐标为（3，），
∴ON＝2，OP＝3，PN＝1，MP＝，OM＝2，
∴MN＝＝2，
∴∠MNP＝60°，∠OMP＝∠MPO﹣∠MON＝60°，
∴ON＝MN，
当△ONQ与△MON相似时，
∴，OQ＝＝＝，
∴t＝÷1＝秒；
当△MNQ与△MON相似时，
∴，QM＝＝＝，
∴OQ＝OM﹣QM＝2﹣＝，
∴t＝÷1＝秒；
综上所述，点Q运动的时间为秒或秒．
【点评】本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
成绩（分）
70
80
90
100
人数
3
a
b
5
成绩（分）
70
80
90
100
人数
3
a
b
5