山东省淄博市临淄区（五四制）2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题

这是一份山东省淄博市临淄区（五四制）2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x＞3C．x≤3D．x≠3
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．跳水是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”．为了方便研究，跳水运动员在开始下落至入水前可近似看作自由落体运动，其下落高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）满足h＝gt2的关系，g（单位：m/s2）为重力加速度，计算时取10，若运动员从10m高的跳台，不做动作，直接跳入水中，则他在空中运动的时间是（ ）
A．1sB．sC．sD．2s
4．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（ ）
A．x＝3B．x1＝x2＝3
C．，D．x1＝3，x2＝﹣3
5．下列说法正确的是（ ）
A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7
B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0
C．当a＝3且b≠﹣1且c≠0时，方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程
D．当m取所有实数时，关于x的方程 （m2+1）x2﹣mx﹣3＝0 为一元二次方程
6．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A，D，F和点B，C，E，如果AD＝6，DF＝3，BC＝5，那么BE的值为（ ）
A．7.5B．8.5C．9D．11
7．2022年卡塔尔世界杯足球赛掀起校园足球热，某市青少年校园足球联赛采用单循环赛，每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛，整个单循环比赛共计进行28场，则参加校园足球联赛的队伍共有（ ）支．
A．7B．8C．9D．10
8．若方程x2+4x+a＝0无实根，化简等于（ ）
A．4﹣aB．a﹣4C．﹣（a+4）D．无法确定
9．十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，n的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．已知A＝x2+6x+n2，B＝2x2+4x+2n2+3，下列结论正确的个数为（ ）
①若A＝x2+6x+n2是完全平方式，则n＝±3；
②B﹣A的最小值是2；
③若n是A+B＝0的一个根，则12n2+20n＝﹣3；
④若（2023﹣A）（A﹣2020）＝2，则（2023﹣A）2+（A﹣2020）2＝4．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题。（每小题4分，共20分）
11．已知＝＝＝2，且b+d+f≠0，则＝ ．
12．最简二次根式与3是同类二次根式，则a＝ ．
13．某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，现连续两次降价处理，共降价64元后出售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ．
14．如图，△ABC中，AD：DC＝1：4，AE＝EF，则BF：FC＝ ．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的实数根x1，x2满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 ．
三、解答题。（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分：满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（10分）计算：
（1）；
（2）；
（3）解方程：（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．
17．（10分）阅读材料：古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S＝ （海伦公式）．中国古代数学家秦九韶也得出了类似的公式，称之为“三斜求积术”，三角形面积为S＝（秦九韶公式）．故由三角形三边求面积的公式又被称为“海伦一一秦九韶公式”．请完成下列问题：
（1）一个三角形的三边长依次为7，8，9，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
（2）一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
18．（10分）如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB和BC的长．
19．（10分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）证明：无论m为何值，原方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根．
20．（12分）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图③，在△ABC中，AD是角平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm．求BD的长．
21．（12分）知识回顾：
（1）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式为 ，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为x1，x2，则满足：①x1+x2＝ ；②x1x2＝ ．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理；
知识应用：
（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
22．（13分）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
23．（13分）如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB＝300km．
（1）如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？
（2）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由；
（3）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
（4）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？
山东省淄博市临淄区（五四制）2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题。（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，评价评卷人只有一个是正确的，请把正确的选项填在下面的表中，每小题4分，满分40分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分。）
1．若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x＞3C．x≤3D．x≠3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B．被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
3．跳水是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”．为了方便研究，跳水运动员在开始下落至入水前可近似看作自由落体运动，其下落高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）满足h＝gt2的关系，g（单位：m/s2）为重力加速度，计算时取10，若运动员从10m高的跳台，不做动作，直接跳入水中，则他在空中运动的时间是（ ）
A．1sB．sC．sD．2s
【分析】根据下落高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）满足h＝gt2的关系，结合跳台的高度为10m，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得×10t2＝10，
解得：t1＝，t2＝﹣（不符合题意，舍去），
∴他在空中运动的时间是s．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（ ）
A．x＝3B．x1＝x2＝3
C．，D．x1＝3，x2＝﹣3
【分析】利用直接开平方法解出方程．
【解答】解：x2﹣9＝0，
则x2＝9，
∴x＝±3，
∴x1＝3，x2＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7
B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0
C．当a＝3且b≠﹣1且c≠0时，方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程
D．当m取所有实数时，关于x的方程 （m2+1）x2﹣mx﹣3＝0 为一元二次方程
【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义对A选项进行判断；根据一元二次方程的定义对B、C、D选项进行判断．
【解答】解：A、方程 8x2﹣7＝0 的一次项系数为0，所以A选项不符合题意；
B、一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c＝0（a≠0），所以B选项不符合题意；
C、当 a＝3 且 b≠﹣1，c≠0 时，方程 （a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0 可化为 （b+1）x+c＝0 为一元一次方程，所以C选项不符合题意；
D、当 m 取所有实数时，关于 x 的方程 （m2+1）x2﹣mx﹣3＝0 为一元二次方程，所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．也考查了一元二次方程的定义．
6．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A，D，F和点B，C，E，如果AD＝6，DF＝3，BC＝5，那么BE的值为（ ）
A．7.5B．8.5C．9D．11
【分析】由AD，DF的长，可求出AF的长，由AB∥CD∥EF，再利用“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”，即可求出BE的长．
【解答】解：∵AD＝6，DF＝3，
∴AF＝AD+DF＝6+3＝9．
∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
∴BE＝7.5．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
7．2022年卡塔尔世界杯足球赛掀起校园足球热，某市青少年校园足球联赛采用单循环赛，每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛，整个单循环比赛共计进行28场，则参加校园足球联赛的队伍共有（ ）支．
A．7B．8C．9D．10
【分析】设共有x支队伍，根据单循环比赛规则，每支队伍需比赛场，由此列一元二次方程，即可求解．
【解答】解：设共有x支队伍，由题意知：
，
解得：x＝8或x＝﹣7（舍去），
即参加校园足球联赛的队伍共有8支．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环比赛规则列出一元二次方程是解题的关键．
8．若方程x2+4x+a＝0无实根，化简等于（ ）
A．4﹣aB．a﹣4C．﹣（a+4）D．无法确定
【分析】先根据方程无实根判断出a的取值范围，再代入原代数式计算即可．
【解答】解：∵方程x2+4x+a＝0无实根，∴Δ＝42﹣4a＜0，∴a＞4．
＝＝|a﹣4|，
∵a＞4，∴|a﹣4|＝a﹣4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根据二次根式的意义化简．
二次根式规律总结：当a≥0时，＝a；当a≤0时，＝﹣a．
9．十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，n的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据题意，可以得到1×n2+4×n1+3×n0＝120，然后求解即可．
【解答】解：由题意可得，
1×n2+4×n1+3×n0＝120，
解得n1＝9，n2＝﹣11（不合题意，舍去），
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
10．已知A＝x2+6x+n2，B＝2x2+4x+2n2+3，下列结论正确的个数为（ ）
①若A＝x2+6x+n2是完全平方式，则n＝±3；
②B﹣A的最小值是2；
③若n是A+B＝0的一个根，则12n2+20n＝﹣3；
④若（2023﹣A）（A﹣2020）＝2，则（2023﹣A）2+（A﹣2020）2＝4．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①利用完全平方公式即可求出n的值；
②先利用整式的加减求出B﹣A，再利用配方法即可求出B﹣A的最小值；
③先利用整式的加减求出A+B，根据n是A+B＝0的一个根，代入方程后即可求出答案；
④先设M＝2023﹣A，N＝A﹣2020，求出M+N＝3，再利用完全平方式求出M2+N2＝5即可判断．
【解答】解：①∵A＝x2+6x+n2是完全平方式，
∴n2＝9，即n＝±3，故①正确；
②∵B﹣A＝2x2+4x+2n2+3﹣（x2+6x+n2）
＝x2﹣2x+n2+3
＝（x﹣1）2+n2+2，
∵（x﹣1）2+n2≥0，
∴B﹣A≥2，
∴B﹣A的最小值是2，故②正确；
③根据题意知，A+B＝x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3＝3x2+10x+3n2+3，
∵n是A+B＝0的一个根，
∴把x＝n代入3x2+10x+3n2+3＝0可得：3n2+10n+3n2+3＝0，即6n2+10n+3＝0，
∴6n2+10n＝﹣3，故③错误；
④令M＝2023﹣A，N＝A﹣2020，
则MN＝2，M+N＝3，
∴（M+N）2＝9，即M2+2MN+N2＝9，
∴M2+N2＝5，即（2023﹣A）2+（A﹣2020）2＝5，故④错误；
综上所述，正确的个数有2个；
故答案选：B．
【点评】本题主要考查了完全平方公式和配方法的应用，解题关键：熟练掌握完全平方公式以及公式的应用．
二、填空题。（每小题4分，共20分）
11．已知＝＝＝2，且b+d+f≠0，则＝ 2 ．
【分析】根据已知条件得出a＝2b，c＝2d，e＝2f，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝＝＝2，
∴a＝2b，c＝2d，e＝2f，
∴＝＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12．最简二次根式与3是同类二次根式，则a＝ 3 ．
【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
【解答】解：∵最简二次根式与3是同类二次根式，
∴a+2＝5，
解得a＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
13．某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，现连续两次降价处理，共降价64元后出售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 40% ．
【分析】设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1﹣x）（1﹣x），即100（1﹣x）2元，从而列出方程，求出答案．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1﹣x）2元，根据题意，得
100（1﹣x）2＝100﹣64
即（1﹣x）2＝0.36
解之，得x1＝1.6，x2＝0.4．
因x＝1.6不合题意，故舍去，所以x＝0.4．
即每次降价的百分率为0.4，即40%．
故答案为：40%．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般．
14．如图，△ABC中，AD：DC＝1：4，AE＝EF，则BF：FC＝ ．
【分析】过点F作FH∥BD交AC于H，根据平行线分线段成比例定理得到AD＝DH，求出＝，根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：过点F作FH∥BD交AC于H，
则＝＝1，
∴AD＝DH，
∵AD：DC＝1：4，
∴＝，
∵FH∥BD，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的实数根x1，x2满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 2＜m≤4 ．
【分析】根据题意可知：Δ≥0且3x1x2﹣（x1+x2）＞2，然后根据根与系数的关系和Δ≥0，可以列出关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围．
【解答】解：依题意得，
，
解得2＜m≤4，
故答案为：2＜m≤4．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；②当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
三、解答题。（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分：满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（10分）计算：
（1）；
（2）；
（3）解方程：（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再合并同类二次根式即可得出答案；
（3）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝2+3+3﹣4
＝5﹣；
（2）原式＝+﹣2
＝﹣2；
（3）∵（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0，
∴（x﹣3﹣2）（x﹣3﹣4）＝0，即（x﹣5）（x﹣7）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣7＝0，
则x1＝5，x2＝7．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
17．（10分）阅读材料：古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S＝ （海伦公式）．中国古代数学家秦九韶也得出了类似的公式，称之为“三斜求积术”，三角形面积为S＝（秦九韶公式）．故由三角形三边求面积的公式又被称为“海伦一一秦九韶公式”．请完成下列问题：
（1）一个三角形的三边长依次为7，8，9，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
（2）一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
【分析】（1）运用三角形的面积：S＝ （海伦公式）计算即可；
（2）运用三角形面积：S＝（秦九韶公式），计算即可．
【解答】解：（1）∵一个三角形的三边长依次为7，8，9，
∴＝＝12，
∴海伦公式：
S＝
＝
＝720；
（2）∵a＝，b＝，c＝，
∴a2＝3，b2＝5，c2＝6，
∴秦九韶公式：
S＝
＝
＝．
【点评】本题考查的是二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质与方法是解题的关键．
18．（10分）如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB和BC的长．
【分析】设AB为x米，然后表示出BC的长为（36﹣3x）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
【解答】解：设AB为x米，则BC为（36﹣3x）米，
x（36﹣3x）＝96，
解得：x1＝4，x2＝8，
当x＝4时，
36﹣3x＝24＞22（不合题意，舍去），
当x＝8时，
36﹣3x＝12．
答：AB的长为8米，BC的长为12米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长是解题的关键．
19．（10分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）证明：无论m为何值，原方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根．
【分析】（1）只要证明Δ＞0恒成立即可；
（2）可将该方程的已知根1代入方程，求出m的值，即可求出方程的另一根
【解答】（1）证明：Δ＝（m﹣3）2﹣4（﹣m）
＝m2﹣6m+9+4m
＝m2﹣2m+9
＝（m﹣1）2+8，
∵（m﹣1）2＞0，
∴（m﹣1）2+8＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根；
（2）解：∵x＝1是方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0的一个根，
∴1﹣（m﹣3）﹣m＝0，
解得：m＝2，
则方程为：x2+x﹣2＝0
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴方程的另一根为﹣2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解决此类题目时要认真审题，根据根的判别式列出式子．
20．（12分）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图③，在△ABC中，AD是角平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm．求BD的长．
【分析】（1）过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E，由CE∥DA，可求证，∠CAD＝∠ACE，∠BAD＝∠E，可得AE＝AC，即可求解；
（2）根据（1）中的结论即可求解．
【解答】（1）证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E，
∵CE∥DA，
∴，∠CAD＝∠ACE，∠BAD＝∠E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴；
（2）解：∵AD是角平分线，
∴，
∵AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm，
∴，
解得BD＝cm．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
21．（12分）知识回顾：
（1）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式为 x＝ ，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为x1，x2，则满足：①x1+x2＝ ﹣ ；②x1x2＝ ．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理；
知识应用：
（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式和根与系数的关系求解；
（2）先利用根与系数的关系得m+n＝，mn＝﹣，再把m2n+mn2变形为mn（m+n），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式为x＝，
若方程的两个根为x1，x2，则满足①x1+x2＝﹣；②x1x2＝．
证明如下：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），
当b2﹣4ac≥0时，x＝，
∴x1＝，x2＝，
∴x1+x2＝+＝＝﹣，
x1x2＝•＝＝＝；
故答案为：x＝，﹣，；
（2）根据根与系数的关系得m+n＝，mn＝﹣，
所以m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×（﹣）＝．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了公式法解一元二次方程．
22．（13分）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润＝单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000，
整理，得：x2﹣130x+4000＝0，
解得：x1＝50，x2＝80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x＝50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（13分）如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB＝300km．
（1）如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？
（2）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由；
（3）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
（4）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？
【分析】（1）直接利用勾股定理得出AC的长，进而利用勾股定理求出10小时后轮船与台风中心距离，即可得解；
（2）如图易知AB′＝300﹣10t，AC′＝400﹣30t，当B′C′＝200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：（300﹣10t）2+（400﹣30t）2＝2002，整理得到：t2﹣30t+210＝0，解得t＝15±，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
（3）利用（2）中结论即可解决问题；
（4）利用（2）中的数据即可解决问题．
【解答】解：（1）∵CB＝500km，AB＝300km，
∴AC＝＝＝400（km），
如图1，
设经过10小时，轮船到达点C′，且航行了30×10＝300（km），台风中心到达B′，且BB′＝10×10＝100（km），
∴AC′＝400﹣300＝100（km），AB′＝300﹣＝100＝200（km），
∴B′C′＝＝100（km），
∵100＞200，
∴轮船与台风中心相距100km，它此时不受到台风影响；
（2）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；理由如下：
如图2，
设经过t小时进行台风区域，则AB′＝300﹣10t，AC′＝400﹣30t，
当B′C′＝200时，将受到台风影响，
根据勾股定理可得：（300﹣10t）2+（400﹣30t）2＝2002，
整理得到：t2﹣30t+210＝0，
解得t＝15±，
由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．
（3）由（1）可知经过15﹣h就会进入台风影响区；
（4）由（1）可知受到台风影响的时间为15+﹣（15﹣）＝2（小时）．
【点评】本题考查勾股定理的应用、解题的关键是理解题意，学会于转化的思想思考问题，属于中考常考题型．