山东省滨州市博兴县2022-2023学年九年级下学期期中考试数学试题

这是一份山东省滨州市博兴县2022-2023学年九年级下学期期中考试数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．实数﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．﹣
2．如图所示的几何体是由几个相同的小正方体组合而成的，其左视图为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，直线l1∥l2且分别与直线l交于C、D两点．把一块含30°角的三角板按如图所示的位置摆放．当∠2＝105°时，∠1的大小为（ ）
A．75°B．65°C．55°D．45°
4．若把方程x2﹣6x﹣1＝0的左边配成完全平方的形式，则下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝9B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣3）2＝5D．（x﹣3）2＝7
5．下列计算正确的是（ ）
A．x2+x＝x3
B．（﹣3x）2＝6x2
C．8x4÷2x2＝4x2
D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
6．下列一元二次方程：①x2﹣2x﹣3＝0，②x2+3x+2＝0，③x2﹣2x+1＝0，④x2+2x+3＝0，其中无实数根的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．某校“课外阅读”兴趣小组20名学生，每日课外阅读文章篇数及其对应人数如表所示：
这些学生每日课外阅读文章篇数的中位数、平均数分别是（ ）
A．3，4B．3.5，3.7C．4，3.7D．3.5，5
8．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）顺时针旋转180°后得到△A'B'C'，则点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（3，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（2，﹣2）
9．如图，若y关于x的一次函数y＝kx+b的图象过点（0，1）、（2，0），则关于x的不等式kx+b≥1的解集为（ ）
A．x≤0B．x≥0C．x≤﹣4D．x≥﹣4
10．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠FDE的值为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝∠ABC，∠COB＝3∠AOB，连接AC交OB于点E．若⊙O的半径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.
13．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB的值为 ．
14．（4分）若实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B在x轴上，AO＝AB＝5，OB＝6．若点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值为 ．
16．（4分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外其他完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 ．
17．（4分）在高速公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲、乙两车分别从A、B两地出发，沿这条公路匀速行驶同时至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，当甲车出发 h时，两车相距280km．
18．（4分）如图，点E为矩形ABCD边AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接AF，过点F作FH⊥BC于H，若AB＝5，FH＝3，则AF的长度为 ．
三、解答题：本大题共6个小题，满分60分.解答时请写出必要的演推过程.
19．（8分）先化简，再求值：，其中a2﹣4a+2＝0
20．（9分）已知y关于x的一次函数y＝ax+b的图象经过B（﹣1，5）、C（5，﹣1）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△OBC的面积．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．
22．（10分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
23．（10分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，求证：EF＝BE+FD．
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一个动点．
（1）求该抛物线的解析式：
（2）若S△PAB＝2S△ABC，请求出点P的坐标；
（3）连接AC，直线AC上有一动点F，点M为坐标平面上一个动点，若以A、P、M、F四点为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点P的坐标．
山东省滨州市博兴县2022-2023学年九年级下学期期中考试数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分，满分36分.
1．实数﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．﹣
【分析】利用绝对值的意义求解．
【解答】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；
所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：A．
【点评】本题考查绝对值的含义．即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2．如图所示的几何体是由几个相同的小正方体组合而成的，其左视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的左视图即可．
【解答】解：这个组合体的左视图如下：
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
3．如图，直线l1∥l2且分别与直线l交于C、D两点．把一块含30°角的三角板按如图所示的位置摆放．当∠2＝105°时，∠1的大小为（ ）
A．75°B．65°C．55°D．45°
【分析】先利用平角定义可得∠4＝45°，然后利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠3＝30°，∠2＝105°，
∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝45°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠4＝45°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
4．若把方程x2﹣6x﹣1＝0的左边配成完全平方的形式，则下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝9B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣3）2＝5D．（x﹣3）2＝7
【分析】利用完全平方公式变形得到（x﹣3）2＝10．
【解答】解：x2﹣6x+9＝1+9，
（x﹣3）2＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5．下列计算正确的是（ ）
A．x2+x＝x3
B．（﹣3x）2＝6x2
C．8x4÷2x2＝4x2
D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：x2+x不能合并，故选项A错误；
（﹣3x）2＝9x2，故选项B错误；
8x4÷2x2＝4x2，故选项C正确；
（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
6．下列一元二次方程：①x2﹣2x﹣3＝0，②x2+3x+2＝0，③x2﹣2x+1＝0，④x2+2x+3＝0，其中无实数根的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断各方程根的情况．
【解答】解：①x2﹣2x﹣3＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，此方程有两个不相等的实数根；
②x2+3x+2＝0，Δ＝32﹣4×1×2＝1＞0，此方程有两个不相等的实数根；
③x2﹣2x+1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根；
④x2+2x+3＝0，Δ＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，此方程没有实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．某校“课外阅读”兴趣小组20名学生，每日课外阅读文章篇数及其对应人数如表所示：
这些学生每日课外阅读文章篇数的中位数、平均数分别是（ ）
A．3，4B．3.5，3.7C．4，3.7D．3.5，5
【分析】根据中位数的定义解答即可；利用加权平均数的计算方法解答即可．
【解答】解：本次抽查的学生阅读文章篇数的中位数＝，
平均数＝（2×3+3×6+4×6+5×4+6×1）＝3.7，
故选：C．
【点评】本题考查了加权平均数、中位数，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，
8．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）顺时针旋转180°后得到△A'B'C'，则点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（3，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（2，﹣2）
【分析】由旋转可知，点B和点B′关于点C对称，据此可解决问题．
【解答】解：∵△A'B'C'由△ABC绕点C（0，﹣1）顺时针旋转180°后得到，
∴点B和点B'关于点C对称．
∵点B坐标为（﹣3，1），点C坐标为（0，﹣1），
∴，
则xB′＝3，yB′＝﹣3．
∴点B′的坐标为（3，﹣3）．
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
9．如图，若y关于x的一次函数y＝kx+b的图象过点（0，1）、（2，0），则关于x的不等式kx+b≥1的解集为（ ）
A．x≤0B．x≥0C．x≤﹣4D．x≥﹣4
【分析】直接根据函数的图象与y轴的交点为（0，1）进行解答即可．
【解答】解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数，
∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（0，1），
∴当x≤0时，关于x的不等式kx+b≥1．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠FDE的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据矩形得到AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC，AB＝DC，即可得到△ADF∽△BEF，结合中点可得，证明△ABE≌△DCE（SAS），得到AE＝DE，结合勾股定理即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC，AB＝DC，
∴△ADF∽△BEF，
∵点E是边BC的中点，
∴，BE＝CE，
在与中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE＝DE，
∴，
∵AE⊥BD，
∴∠DFE＝90°，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据相似等到线段比例关系．
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝∠ABC，∠COB＝3∠AOB，连接AC交OB于点E．若⊙O的半径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题中给出的角度关系可求出∠AOC及∠EOC的度数，再过点O作AC的垂线，将阴影部分的面积转化为扇形OBC与△OEC的面积之差即可解决问题．
【解答】解：令∠AOB的度数为x，
则∠BOC＝3x，∠ABC＝∠AOC＝x+3x＝4x．
∵圆的内接四边形对角互补，
∴∠ADC＝180°﹣4x，
又∵∠AOC＝2∠ADC，
∴4x＝2（180°﹣4x），
则x＝30°．
过点O作AC的垂线，垂足为M，
在Rt△OMC中，
sin∠OCM＝，
∴，
∴OM＝．
在Rt△EOC中，
cs∠OCE＝，
∴，
∴CE＝，
则．
又∵，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查扇形面积的计算，能够将图中不规则的阴影部分面积转化为扇形和三角形的面积之差是解题的关键．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b的关系．
【解答】解：①∵由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴b＜0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0；
故错误；
②对称轴为直线x＝﹣＜1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，
故错误；
③如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，
故正确；
④∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0．
故正确．
综上所述，有2个结论正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.
13．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB的值为 ．
【分析】根据勾股定理、三角函数的定义解决此题．
【解答】解：如图．
∵∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝．
设BC＝4x，则AB＝5x．
∴＝3x．
∴sinB＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义、勾股定理是解决本题的关键．
14．（4分）若实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ﹣2a﹣2b ．
【分析】首先由实数a、b在数轴上的位置，可得a＜0＜b，|a|＞|b|，再根据二次根式的性质化简，即可求解．
【解答】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
∴
＝|a|﹣|b|+|a+b|
＝﹣a﹣b﹣（a+b）
＝﹣a﹣b﹣a﹣b
＝﹣2a﹣2b
故答案为：﹣2a﹣2b．
【点评】本题考查了根据实数在数轴数轴上的位置，化简二次根式，去绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B在x轴上，AO＝AB＝5，OB＝6．若点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值为 ﹣12 ．
【分析】过A点作AC⊥OB，利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题．
【解答】解：过A点作AC⊥OB，
∵AO＝AB，AC⊥OB，OB＝6，
∴OC＝BC＝3，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∵AC＝＝＝4，
∴A（﹣3，4），
把A（﹣3，4）代入y＝，可得k＝﹣12，
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．（4分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外其他完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 ．
【分析】用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“两球颜色相同”的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中“两球颜色相同”的有4种，
∴P（两球颜色相同）＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（4分）在高速公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲、乙两车分别从A、B两地出发，沿这条公路匀速行驶同时至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，当甲车出发 h时，两车相距280km．
【分析】根据图象，可得A与C的距离等于B与C的距离，根据行驶路程与时间的关系，可得相应的速度，根据甲、乙的路程，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由题意，得，
AC＝BC＝360km，
甲的速度360÷4＝90km/h，乙的速度360÷3＝120（km/h）．
设甲出发x小时甲乙相距280km，由题意得，
90x+120（x﹣1）+280＝360×2，
解得x＝，
答：甲车出发 h时，两车相距280km，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，利用题意找出等量关系是解题关键．
18．（4分）如图，点E为矩形ABCD边AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接AF，过点F作FH⊥BC于H，若AB＝5，FH＝3，则AF的长度为 ．
【分析】设AF与BH交于G，由折叠的性质得到BF＝AB＝5，根据勾股定理得到BH＝4，根据相似三角形的性质得到BG＝，GH＝，求得AG＝，GF＝，根据线段的和差得到结论．
【解答】解：设AF与BH交于G，如图：
∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，
∴BF＝AB＝5，
∵FH⊥BC，
∴BH＝＝＝4，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AB∥FH，
∴△ABG∽△FHG，
∴＝＝＝，
∴BG＝GH，AG＝GF，
∴BG＝，GH＝，
∴AG＝＝＝，
∴GF＝，
∴AF＝AG+GF＝4，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识；熟练掌握翻折变换和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题：本大题共6个小题，满分60分.解答时请写出必要的演推过程.
19．（8分）先化简，再求值：，其中a2﹣4a+2＝0
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a2﹣4a+2＝0，即可求得所求式子的值．
【解答】解：
＝[]
＝
＝
＝
＝
＝，
∵a2﹣4a+2＝0，
∴a2﹣4a＝﹣2，
∴原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（9分）已知y关于x的一次函数y＝ax+b的图象经过B（﹣1，5）、C（5，﹣1）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△OBC的面积．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）画出一次函数的图象，结合一次函数图象即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
将B，C两点坐标代入函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为y＝﹣x+4．
（2）一次函数y＝﹣x+4的图象如图所示，
将x＝0代入y＝﹣x+4得，
y＝4，
所以点M的坐标为（0，4）．
则．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD＝，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO＝tan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长＝．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
22．（10分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；
（2）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，
∴当m＝70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．
23．（10分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，求证：EF＝BE+FD．
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS证△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS证△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可得出结论．
【解答】（1）证明：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝60°，∠BAD＝120°，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝60°＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；理由如下：
延长FD到点G，使DG＝BE，连接AC，如图2，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
【点评】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一个动点．
（1）求该抛物线的解析式：
（2）若S△PAB＝2S△ABC，请求出点P的坐标；
（3）连接AC，直线AC上有一动点F，点M为坐标平面上一个动点，若以A、P、M、F四点为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据题意可得×AB×|y|＝2××AB×OC，则|y|＝6，再求P点坐标即可；
（3）当AF为正方形对角线时，此时点P与C重合P（0，﹣3）；当AF为正方形的边时，过点A作AC的垂线，可得直线y＝x+3，直线y＝x+3与抛物线的交点为P；当P点与B点重合时，AF＝BF，此时P（1，0）．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）分别代入 y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设点P的纵坐标为y，
∵S△PAB＝2S△ABC，
∴×AB×|y|＝2××AB×OC，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴OC＝3，
∴|y|＝6，
①当y＝6时，则 x2+2x﹣3＝6，解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴点P的坐标为 或 ；
②当y＝﹣6时，则 x2+2x﹣3＝﹣6，方程无实数根．
综上所述：点P的坐标为 或 ；
（3）∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴OA＝OC＝3，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
当AF为正方形对角线时，即AF为等腰直角三角形的斜边时，此时点P与C重合P（0，﹣3）；
当AF为正方形的边时，过点A作AC的垂线，可得直线y＝x+3，
当x+3＝x2+2x﹣3时，解得x＝2或x＝﹣3，
∴P（2，5）；
当P点与B点重合时，AF＝BF，此时P（1，0）；
综上所述：点P的坐标为（1，0）或（2，5）或（0，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，分类讨论是解题的关键．
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