2022-2023学年新疆乌鲁木齐市兵团一中八年级（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐市兵团一中八年级（下）期中数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.以下各数是最简二次根式的是( )
A. 3B. 4C. 13D. 0.4
2.下列各组线段长度能构成直角三角形的一组是( )
A. 5，12，13B. 6，7，8C. 3，4，6D. 7，12，15
3.下列计算正确的是( )
A. 2+4 3=6 3B. 5− 3= 2C. 2× 3= 6D. 14÷ 7=2
4.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角相等B. 对角线相等C. 对边相等D. 对角线互相平分
5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=5，尺规作图画出AM平分∠DAB交CD于点E，则CE的长为( )
A. 2B. 3C. 5D. 6.5
6.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点B(2,3)，则AC的长为( )
A. 13
B. 7
C. 4
D. 5
7.对于任意不相等的两个实数a，b，新定义一种运算a⊗b= a2−b2ab，则3⊗ 6的运算结果为( )
A. 23B. 26C. 13D. 1
8.如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为( )
A. 12
B. 20
C. 16
D. 40
9.如图，在等腰Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，且AD=2 2，以边AD、AC、CD为直径画半圆，其中所得两个月形图案AGCE和DHCF(图中阴影部分)的面积之和等于( )
A. 8B. 4 2C. 4D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.二次根式 x−1中字母x的取值范围是______．
11.在▱ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A=______．
12.如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为______．
13.计算( 3+2)2022( 3−2)2023的结果是______．
14.如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠CAB=30°，以AC为斜边作Rt△ADC.使∠ADC=90°，∠CAD=∠CAB，E、F分别是BC、AC的中点，连接EF、DE、DF，则DE的长为______．
15.如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点(不含端点)，∠MAN=45°，下列四个结论：①当MN= 2MC时，则∠BAM=22.5°；②∠AMN+∠MNC=90°：③△MNC的周长不变；④若DN=2，AB=6，则△ABM的面积为9.其中正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)(−2)2+|− 3|− 25+(3− 3)0：
(2)( 5−1)2+( 5+2)( 5−2)．
17.(本小题5分)
先化简，再求值：(1−1a+1)⋅a2+2a+1a，其中a= 3−1．
18.(本小题5分)
在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AC=4，CD=3，AD=5，AB=4 5．
(1)求证：∠C=90°；
(2)求BD的长．
20.(本小题6分)
已知：x= 6+ 5,y= 6− 5．
①x+y= ______，x−y= ______；
②求x2−y2的值．
21.(本小题6分)
某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=120m，BC=50m，线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为130元/m，问：当水渠的造价最低时，CD长为多少米？最低造价是多少元？
22.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF/​/AC交OE的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：△AOE≌△DFE；
(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．
23.(本小题9分)
已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC与点E，F，垂足为O．
(1)如图1，连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
(2)如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中．
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
②若点P，Q的运动路程分别为a，b(单位：cm，ab≠0)，已知A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A． 3是最简二次根式，故本选项符合题意；
B. 4的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C. 13的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D. 0.4的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
2.【答案】A
【解析】解：A、52+122=132，故选项A符合题意；
B、62+72≠82，故选项B不符合题意；
C、32+42≠62，故选项C不符合题意；
D、72+122≠152，故选项D不符合题意．
故选：A．
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】C
【解析】解：A.2与4 3不能合并，所以A选项不符合题意；
B. 5与 3不能合并，所以B选项不符合题意；
C.原式= 2×3= 6，所以C选项符合题意；
D.原式= 14÷7= 2，所以D选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：B．
利用矩形与菱形的性质即可解答本题．
本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
5.【答案】B
【解析】解：根据作图的方法得：AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC/​/AB，AD=BC=5，
∴∠DEA=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE=5，
∴CE=DC−DE=8−5=3；
故选：B．
根据作图过程可得AE平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAE=∠DEA，证出AD=DE=5，即可得出CE的长．
此题考查了作图−基本作图，平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AD=DE是解决问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图，连接OB，
∵点B(2,3)，
∴OB= 22+32= 13，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB= 13．
故选：A．
如图，连接OB，首先利用已知条件求出OB，然后利用矩形的性质即可求解．
此题主要考查了坐标与图形性质，同时也利用了矩形的性质，比较简单．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得：
3⊗ 6
= 32−( 6)23 6
= 9−63 6
= 33 6
= 26，
故选：B．
根据新定义运算可得3⊗ 6= 32−( 6)23 6，然后进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，理解新定义运算是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
BC=D′A，∠D′=∠B=90°，
在△AD′F和△CBF中，
∠AFD′=∠CFB∠AD′F=∠CBFAD′=CB，
∴△AD′F≌△CBF(AAS)，
∴D′F=BF，
设AF=x，则D′F=BF=16−x，
∵BC=D′A=8，∠AD′F=90°，
∴x2=82+(16−x)2，
解得x=10，
∴AF=10，
∴重叠部分△AFC的面积=12×AF⋅BC=12×10×8=40，
故选：D．
利用AAS证明△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设AF=x，则D′F=BF=16−x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，可得AF=AB−BF，因为BC为AF边上的高，所以可求△AFC的面积．
本题考查了翻折变换−折叠问题，勾股定理的正确运用、矩形的性质、三角形面积，求出AF的长是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：在等腰Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，AD=2 2，
∴AC2+DC2=AD2=8，
∴AC=CD=2，
∴S△ACD=12AC⋅DC=2，
∴S阴影=π(AC2)2+S△ACD−12π(AD2)2
=π+2−π
=2，
故选：D．
由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC=CD=2，进而可求得S△ACD=2，再利用阴影部分的面积=以AC为直径的圆的面积+△ACD的面积−以AD为直径的半圆的面积计算可求解．
本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，理清阴影部分的面积=以AC为直径的圆的面积+△ACD的面积−以AD为直径的半圆的面积是解题的关键．
10.【答案】x≥1
【解析】解：根据题意得：x−1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
11.【答案】80°
【解析】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B+∠D=200°，
∴∠B=∠D=100°，
∴∠A=180°−∠B=180°−100°=80°．
故答案为：80°．
根据平行四边形的对角相等、邻角互补即可得出∠A的度数．
本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质；解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
12.【答案】8
【解析】解：根据平行四边形的性质，
∴AO=OC，
∵OE⊥AC，
∴OE为AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴△CDE的周长为：CD+AD=5+3=8，
故答案为：8．
根据平行四边形的性质，得知AO=OC，由于OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可知AE=EC，则△CDE的周长为CD与AD之和，即可得解．
本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟记各性质与定理是解题的关键．
13.【答案】 3−2
【解析】解：( 3+2)2022( 3−2)2023
=[( 3+2)( 3−2)]2022( 3−2)
=(−1)2022( 3−2)
= 3−2．
故答案为： 3−2．
根据积的乘方的逆运算和平方差公式进行计算即可．
本题主要考查了积的乘方的逆运算和平方差公式，熟练掌握相关内容是解题的关键．
14.【答案】2 2
【解析】解：∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF=12AB=2，EF/​/AB，
∴∠EFC=∠CAB=30°，
在Rt△ADC中，F为AC的中点，
∴DF=12AC=AF=2，
∴∠FDA=∠FAD=30°，
∴∠DFC=∠FDA+∠FAD=60°，
∴∠EFD=30°+60°=90°，
∴DE= EF2+DF2=2 2，
故答案为：2 2．
根据三角形中位线定理求出EF=2，根据平行线的性质得到∠EFC=30°，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】①③④
【解析】解：①∵正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=∠C=90°，
∴MN2=MC2+NC2，
当MN= 2MC时，
MN2=2MC2，
∴MC2=NC2，
∴MC=NC，
∴BM=DN，
∴△ABM≌△ADN(SAS)，
∴∠BAM=∠DAN，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM=22.5°，故①正确；
②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，
则∠EAN=∠EAM−∠MAN=90°−45°=45°，
则在△EAN和△MAN中，
AE=AM∠EAN=∠MANAN=AN，
∴△EAN≌△MAN(SAS)，
∴∠AMN=∠AED，
∵∠AMB=∠AED，
∴2∠AMN+∠NMC=180°，
∴∠AMN+12∠NMC=90°，
若∠AMN+∠MNC=90°，
∴∠MNC=12∠NMC，
∴∠NMC=60°，∠MNC=30°，
显然不可能，故②错误；
故②正确；
③：∵△EAN≌△MAN，
∴MN=EN=DE+DN=BM+DN，
∴△MNC的周长为：
MC+NC+MN=(MC+BM)+(NC+DN)=DC+BC，
∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．故③正确；
④由②可知，MN=BN=DN+BM=5，
设AB=BC=x，则52=(a−3)2+(a−2)2，
解得a=6或−1(舍弃)，
∴△ABM的面积=12×3×6=9．
故④正确．
综上①③④正确．
故答案为：①③④．
①先用勾股定理求得MC=NC，则易得△ABM≌△ADN(SAS)，再结合∠MAN=45°，可得答案；
②将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，证明△EAN≌△MAN(SAS)，假设结论成立，推出∠NMC=60°，与条件矛盾，可证得结论；
③由△EAN≌△MAN，可得MN=BM+DN，从而将△MNC的三边相加即可得答案；
④利用②中结论，设AB=BC=x，构建方程求出x，可得结论．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识点，本题具有一定的综合性，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
16.【答案】解：(1)原式=4+ 3−5+1
=4+1−5+ 3
= 3；
(2)原式=( 5)2+12−2× 5×1+( 5)2−22
=5+1−2 5+5−4
=5+1+5−4−2 5
=7−2 5．
【解析】(1)根据乘方的意义、零指数幂的性质和二次根式的性质先算乘方和开方，再根据绝对值的性质化简，最后算加减即可；
(2)根据完全平方公式和平方差公式计算乘方和乘法，再算加减即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义、零指数幂的性质、完全平方公式、平方差公式和二次根式的性质．
17.【答案】解：原式=a+1−1a+1⋅a2+2a+1a
=aa+1⋅(a+1)2a
=a+1，
当a= 3−1时，
原式= 3−1+1
= 3．
【解析】先通分算括号内的，再分解因式约分，化简后将a的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键掌握分式的基本性质，将分式化简．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=BE=12AB，DF=12CD，
∴BE=DF．
∴四边形EBFD是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得出AB=CD，AB/​/CD，证出BE=DF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵AC2+CD2=42+32=25，AD2=52=25，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠C=90°；
(2)解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC= AB2−AC2= (4 5)2−42=8，
∴BD=BC−CD=8−3=5．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理可证∠C=90°；
(2)在Rt△ACB中，先根据勾股定理得到BC的长，再根据线段的和差关系可求BD的长．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，注意熟练掌握勾股定理的逆定理和勾股定理是解题的关键．
20.【答案】2 6 2 5
【解析】解：∵x= 6+ 5,y= 6− 5．
①x+y= 6+ 5+ 6− 5=2 6，
x−y= 6+ 5− 6+ 5=2 5；
故答案为：2 6，2 5；
②x2−y2
=(x+y)(x−y)
=2 6×2 5
=4 30．
①根据x、y的值计算x+y、x−y即可；
②利用平方差公式进行化简求值即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算顺序和运算法则及平方差公式．
21.【答案】解：当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，
∵∠ACB=90°，AC=120米，BC=50米，
∴AB= AC2+BC2= 1202+502=130(米)，
∵CD⋅AB=AC⋅BC，即130CD=120×50，
∴CD=60013米，
∴在Rt△ACD中，AC=120，CD=60013，
所以，CD长为60013米，水渠的造价最低，其最低造价为60013×130=6000(元)．
【解析】当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，根据已知条件可将CD的长求出，在Rt△ACD中运用勾股定理可将AD边求出．
此题考查勾股定理的应用，本题的关键是确定D点的位置，在运算过程中多次用到勾股定理．
22.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵DF//AC，
∴∠OAD=∠ADF，
在△AOE和△DFE中，
∠AEO=∠DEFAE=DE∠OAE=∠FDE,
∴△AOE≌△DFE(ASA)．
(2)解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO=DF，
∵DF//AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD=90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
【解析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
(1)利用全等三角形的判定定理即可．
(2)先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论．
23.【答案】解：(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=(8−x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm．
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，即QA=12−4t，
∴5t=12−4t，
解得t=43，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=43秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；
ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；
iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0)．

【解析】(1)先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
(2)①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
本题考查的是四边形综合题型，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质．解答时分析清楚动点在不同的位置所构成的图形的形状是解答本题的关键．