2024年甘肃省武威市凉州区武威第九中学教研联片中考一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各组数中，成比例的是（ ）．
A. 1，，，B. 1，4，2，
C. 5，6，2，3D. ，，1，
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例的定义，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了比例的定义，如果四个数 满足，则这四个数成比例．
2. 如图，在菱形中，于点，，，则菱形的周长是（ ）
A. 10B. 20C. 40D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】由，设AE=4x，AB=5x，利用勾股定理可得BE=3x，再根据菱形的性质得AB=BC，建立方程求出x，即可求周长．
【详解】∵
∴在Rt△ABE中，
设AE=4x，AB=5x，则BE=3x，
∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC
∴5x=3x+4
解得x=2
∴AB=5x=10
则菱形的周长=4×10=40
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，利用正弦值求边长，根据比值设未知数，并利用菱形的性质建立方程是解题的关键．
3. 如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣3），则k的值为（ ）
A. 1 B. ﹣5 C. 4 D. 1或﹣5
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：
根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+1=6，再解出k的值即可．
解：如图：
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，
∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，
∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD=S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，
∴S四边形CEOF=S四边形HAGO=2×3=6，
∴xy=k2+4k+1=6，
解得，k=1或k=﹣5．
故选D．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
点评：本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，关键是判断出S四边形CEOF=S四边形HAGO．
4. 如图的几何体，从左面看的平面图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从左面看得到的图形（是左视图），可得答案．
【详解】解：从左面看第一层是两个小正方形，第二层右边是一个小正方形，左边没有，
故选D．
【点睛】本题考查了三视图，熟记三视图的定义是解题关键．
5. 如图是的高，，，，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由含30度角的直角三角形的性质可求出，结合勾股定理可求出．再根据正切的定义得出，即可求出，最后计算即可．
【详解】∵是的高，，
∴，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
解得：，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为（ ）
A. 3.B. 4C. 3D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】作辅助线构造相似三角形，进而找到P在何时会使得AP+BP有最小值，进而得到答案．
【详解】解：如图，连接CP，作PE交AC于点E，使
∵
∴∽
∴
∵
∴
∴，当B、P、E三点共线，即P运动时有最小值EB
∵
∴
∴
∴的最小值为
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
7. 如图，是的直径，于点E，连接并延长，交弦于点F．若，，则的长度是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形判定与性质、垂径定理、勾股定理，过O作交于H，先根据垂径定理和已知求得，再证明和，分别求得，即可，添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．
【详解】解：过O作交于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：C．
8. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，，则下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可以先求出的值，即可判断③；根据题意求出即可判断②；根据②中的结论可以得到，然后即可得到和的关系，从而可以判断①；根据相似三角形的判定方法可以判断④．
【详解】解：设正方形的边长为，
E是的中点，
，
，
，故③错误；
AE⊥EF，
，
而，
，
又∠B=∠C=90°，
∴，
，
，
又BE=CE，
，故②正确；
，
，故①错误；
在中，，
在中，，
，，
，
而，
，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
9. 的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接用特殊的锐角三角函数值代入求值即可；
【详解】∵ sin45°= ，cs45°=，
∴sin45°+ cs45°=+= ，
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊的锐角三角函数值，正确记忆锐角三角函数值是解题的关键 ．
10. 如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，即可求解．
【详解】解：如图，取格点D，连接，

根据题意得：，，，
∴，
∴，
∴．
故选：D
二、填空题（共24分）
11. 已知，则的值为 _____．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可．
【详解】解：设，
∴，，
∴=，
故答案为：．
【点睛】本题考查比例性质、分式基本性质，熟练掌握比例性质是解答的关键．
12. 如图，在中，，D是边上一点且满足，，E是边上一点且满足，连接交于点F，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，延长至，使，连接，过点作交于，过点作于点，设，则，再设，，再根据相似三角形的判定与性质即可．
【详解】解：延长至，使，连接，过点作交于，过点作于点，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
设，，
，在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
13. 如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．先求得每个小正方形的边长，再求得与，利用相似三角形的性质结合勾股定理求得点的坐标，据此求解即可．
【详解】解：作轴于点，
∵，，且，
∴，即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：24．
14. 如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理求出AO、BO的长，再由=AB×2=AO⋅BC，得出BC，sin∠AOB可得答案．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
过点B作BC⊥OA于点C．
由勾股定理，得AO=，BO=，
∵=AB×OE=AO×BC，
∴BC= =，
∴sin∠AOB= =．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的意义、勾股定理的应用及三角形的面积求法是解题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点A逆时针旋转，则点B的对应点C的横坐标是________________．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，过点A作交于点D，过点C作轴，交x轴于点F，过点A作，交于点E．先利用勾股定理求出、的长，再令点C坐标为，根据勾股定理列出方程组求解即可．
【详解】如图所示，连接，过点A作交于点D，过点C作轴，交x轴于点F，过点A作，交于点E．
根据题意有、、、
∴
∵
∴为等腰三角形
∵
∴为角平分线，也为边中线
∴
∴
∴
令点C坐标为
∴、、、
在中，根据勾股定理有
∴
在中，根据勾股定理有
∴
即
得
将代入中
解得或（舍去）
∴点C的横坐标
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理、解一元二次方程、等腰三角形的判定及性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
16. 如图，在扇形中，，，点在上，，点为的中点，点为弧上的动点，与的交点为，的最小值为__
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、勾股定理，延长至点，使，连接，证得，可知，，当点、、在同一条直线上，可以取得最小值．
【详解】如图所示，延长至点，使，连接．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴当点、、在同一条直线上，可以取得最小值，最小值为线段的长度．
∵，
∴可以取得最小值．
故答案为：
17. 如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为__．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查正多边形与圆，设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得．
【详解】解：如图，过O作与G，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：2．
18. 反比例函数图象与正比例函数y＝kx图象交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为 _____．
【答案】-14
【解析】
【分析】反比例函数y=图象与正比例函数y=kx图象的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=-x2，y1=-y2，依此关系即可求解．
【详解】∵反比例函数y＝图象与正比例函数y＝kx图象交于A（x1，y1），B（x2，y2），关于原点对称，
∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，x1y1＝7，
∴x1y2+x2y1＝﹣x1y1﹣x1y1＝﹣2x1y1＝﹣2×7＝﹣14．
故答案为：-14．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，知道正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称是解题的关键．
三、计算题（共8分）
19. （1）计算：
（2）解不等式组
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由特殊角的三角函数值、二次根式的乘法、零指数幂、负整数指数幂，进行化简，然后进行计算，即可得到答案；
（2）先求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到不等式组的解集；
【详解】解：（1）
=
=；
（2）
解不等式①，得；
解不等式②，得；
∴不等式组的解集是；
【点睛】本题考查了实数混合运算，特殊角的三角函数值，解不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．
四、作图题（共3分）
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）将绕点顺时针旋转得到，请画出，并求出点经过的路径长；
（2）以为位似中心，将放大2倍得到，请直接写出的坐标．
【答案】（1）作图见解析；；（2）（4，1）．
【解析】
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，即可得到，然后求出OC，再利用弧长公式即可求出点经过的路径长；
（2）直接利用位似图形的性质作出，即可得出的坐标．
【详解】解：（1）如图所示：
由勾股定理得：，
则点经过的路径长为：；
（2）如图所示，则的坐标为：（4，1）．
【点睛】此题主要考查了旋转变换、位似变换、勾股定理以及弧长公式的应用，正确得出对应点位置是解题关键．
五、解答题（共55分）
21. 某果农计划在一片向阳的坡地上种植棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，但他发现多种棵桃树，则每亩地多种4棵．
（1）求果农原计划每亩地种多少棵桃树？
（2）果农经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是个桃子，若多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子，而且多种的桃树不能超过棵，如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树．
【答案】（1）果农原计划每亩地种棵桃树；
（2）应多种棵桃树．
【解析】
【分析】（1）设原计划每亩地种x棵桃树，根据地的数量不变列方程即可得到答案；
（2）设应多种y棵桃树，根据产量增加列方程求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设原计划每亩地种x棵桃树，由题意可得；
，
解得：，
答：果农原计划每亩地种棵桃树；
【小问2详解】
解：设应多种y棵桃树，由题意可得，
，
解得：，，
∵多种的桃树不能超过棵，
∴，
答：应多种棵桃树．
【点睛】本题考查分式方程解应用题与一元二次方程解决实际应用题，解题的关键是找到等量关系式．
22. 诗词从来不是曲高和寡的阳春白雪，而是无数中国人“日用而不知”的精神滋养之所在．某学校组织九年级学生参加“黔城读书月诗词大赛”区级选拔赛．为了解该年级学生参赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：
：；：；：；：，并绘制出如下统计图．
解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有多少人？请补全条形统计图；
（2）学校将从组最优秀的名学生甲、乙、丙、丁中随机选取人参加下一轮比赛，利用画树状图或列表得方法，求刚好抽到甲和丁参赛的概率．
【答案】（1）共有人，图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，画树状图或列表法求概率，解题的关键是数形结合．
（1）由扇形统计图可得组的百分比，再结合条形统计图中组的人数可求出本次调查的学生人数，然后求出组的人数，最后补全条形统计图即可；
（2）列表得到所有等可能的结果数，以及刚好抽到甲和丁参赛的结果数，再利用概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：本次调查的学生人数：（人），
组的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
列表如下：
由表可知，一共有可能的结果数，其中刚好抽到甲和丁参赛的有种，
刚好抽到甲和丁参赛的概率为．
23. 如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，连结交于点，连结．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）由题意得，，证明即可；
（）设的半径为，由可得，再由勾股定理即可求解；
此题考查了切线的判定，三角函数，全等三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点在上，
∴与相切；
【小问2详解】
设的半径为，由（）得：，
又∵，
∴，即，
∵，，
∴，解得（负值舍去），
∴的半径为．
24. 如图，在，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，等腰三角形的性质和勾股定理．
（1）先证明为的切线，则根据切线长定理得到平分，则，再利用得到，然后根据三角形内角和定理可得到的度数；
（2）设的半径为r，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后在中利用勾股定理得到，于是解方程可得到的半径．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴为的切线，
∵为的切线，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
∴；
【小问2详解】
如图，
设的半径为r，
由（1）知，
在中，∵，
∴
在中，，
解得，
即的半径为．
25. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）若点，求该一次函数和反比例函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围
【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求出该一次函数和反比例函数的解析式；
（2）解方程组求出一次函数和反比例函数图象的交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象过点和点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
∵反比例函数的图象过点，
，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：∵一次函数的图象过点，
，.
解方程组，得，，
由题意得，，
解得，
则k的取值范围是．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了利用待定系数法求函数的解析式以及不等式的解法．
26. 如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若．
（1）求的长；
（2）求的正切值．
【答案】（1）7 （2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质：
（1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到的长，再由，可得，即可求解；
（2）过点A作于点F，根据，可得，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
，
∴．
【小问2详解】
解：过点A作于点F，如图所示．
∵是边上中线，
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∴，
∴．
∴．
27. 小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度．如图，旗杆立在水平的升旗台上，两人测得旗杆底端B到升旗台边沿C的距离，升旗台的台阶所在的斜坡，坡角（）为30°，在太阳光下，小明测得旗杆的影子落在水平地面上的影长长为6，同一时刻，小亮测得长1.6的标杆直立于水平地面时的影子长为1.2．请你帮小明和小亮求出旗杆的高度．（结果保留根号）
【答案】旗杆的高度约为
【解析】
【分析】延长交于H，过C作于G，根据矩形的性质得到，，解直角三角形得到，根据同一时刻，物高和影长成正比，列方程即可得到结论．
【详解】延长交于H，过C作于G，
则四边形是矩形，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵同一时刻，物高和影长成正比，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：旗杆的高度约为.
【点睛】本题考查了解直角三角形-坡度坡角问题，平行投影，熟练掌握同一时刻，物高和影长成正比是解题的关键．
28. 如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）（2，4） （3）（5，）或（-3，）或（3，）
【解析】
【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）要求E到直线BC的最大距离，即要求△BCE面积的最大值，由此转换成求△BCE的面积最大值时点E的坐标即可；
（3）分BC为对角线和边两种情况利用平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点C的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
∴，
∴，
∴抛物线解析式；
【小问2详解】
解：如图所示，过点E作EF⊥x轴于F，交直线BC于G，设点E的坐标为（m，），则点G的坐标为（m，-m+4），
∴，
∴

，
∴当时，△BEC的面积有最大值，
设点E到BC的距离为h，
∴，
∵BC是定值，
∴当△BEC面积最大时，h有最大值，
∴当点E到直线BC的距离最大时，点E的坐标为（2，4）；
【小问3详解】
解：设点P的横坐标为（n，），
如图1所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCPQ的边时，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴（平行四边形对角线中点坐标相同），
∴n=5，
∴点P的坐标为（5，）；
同理如图2所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCQP的边时，
∴，
∴n=-3，
∴点P的坐标为（-3，）；
如图3所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BPCQ的对角线时，
∴，
∴n=3，
∴点P的坐标为（3，）；
∴综上所述，点P的坐标为（5，）或（-3，）或（3，）
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）