北京市首都师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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2024.03
一.选择题（每题3分）
1. 设集合，，则、的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用列举法表示出集合、，即可判断、的关系.
【详解】因为，
，
所以，.
故选：D
2. 已知点则与同方向的单位向量为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.
考点：向量运算及相关概念.
3. 已知角的终边过点，则的值是（ ）
A. B. C. D. 与的取值有关
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，，，根据任意角三角函数的定义求出和 的值，即可求得的值．
【详解】解：由角的终边过点，，
可得，，，
故，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4. 如图，用向量，表示向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由图可知，，所以向量，故选C.
5. 下列函数中，是偶函数，最小正周期为且在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦、余弦、正切函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：为最小正周期为的奇函数，故A错误；
对于B：为最小正周期为的偶函数，
当时，所以在区间上单调递增，故B正确；
对于C：令，则，，
所以为偶函数，
又的图象是由的图象将轴下方部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变，
的最小正周期为，且在上单调递减且函数值为正，
所以的最小正周期为，且在上单调递减，故C错误；
对于D：为最小正周期为的奇函数，故D错误.
故选：B
6. 在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件中的面积可求出弧长，再利用弧度制的概念即可求出弧度数．
【详解】由扇形的面积公式，由题意，则，
所以圆心角的弧度数.
故选：B.
【点睛】本题考查扇形的面积公式、弧长公式，考查学生的计算能力，属于基础题.
7. 对函数的图像分别作以下变换：
①向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)；
②向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)
③将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再向左平移个单位
④将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再向左平移个单位
其中能得到函数的图像的是（ ）
A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】根据由函数图象变为函数的图象有两种路径,逐一核对四个命题得答案.
【详解】由函数y=sinx的图象变为函数的图象有两种路径：
(1)先平移后改变周期:把的图象向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，即为①；
(2)先改变周期后平移:把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移个单位即为④.
故选：C
8. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用同角公式计算即得.
详解】由，，得，
则，
所以.
故选：B
9. 在平面直角坐标系中，角、角的终边关于直线对称，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知，点在角的终边上，由此可求得的值.
【详解】由三角函数的定义可知，点在角的终边上，
由于角、角的终边关于直线对称，则点在角的终边上，
所以，.
故选：D.
10. 已知角终边上有一点，则为（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数值的符号判断点所在象限即可.
【详解】依题意，，则，即，
所以点在第一象限，即为第一象限角.
故选：A
二.填空题（每题4分）
11. 计算____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式计算可得.
【详解】
.
故答案为：
12. 在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__.
【答案】(－1，)
【解析】
【分析】由已知∠AOx＝30°，则∠BOx＝120°，又OB=2，结合三角函数定义求点B的坐标.
【详解】依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cs 120°＝－1，y＝2sin 120°＝，即B(－1，).
故答案为：(－1，).
13. 如图所示，点C在线段BD上，且BC=3CD，用表示，则=____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算求解即可.
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：
14. 设，则a，b，c的大小关系为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用同角公式及三角函数值的符号法则比较大小即可.
【详解】依题意，，，，
于是，，则，
所以a，b，c的大小关系为.
故答案为：
15. 已知函数的图象如图所示，则的值为____________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据给定的图象，由求出，由结合周期大小求出.
【详解】观察图象，得，即，而，解得，
由，得，解得或，
即或，显然函数的周期，有，
因此，解得，所以.
故答案为：
16. 已知函数在区间上单调，且对任意实数x均有成立，则φ=___________
【答案】
【解析】
【分析】由不等式恒成立得函数最大值和最小值，结合单调性得函数周期，从而可得，则最大值（或最小值）点可求得．
【详解】因为对任意实数x均有成立，所以是最小值，是最大值，
又函数在区间上单调，所以，，
所以，又，所以．
故答案为：．
三.解答题
17. 已知函数f（x）=2sin（2ωx+）+1（其中0＜ω＜1），若点（﹣，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，
（1）试求ω的值；
（2）先列表，再作出函数f（x）在区间x∈[﹣π，π]上的图象．
【答案】（1）k=0，
（2）见解析
【解析】
【详解】f(x)=
(1)∵点是函数f(x)图象的一个对称中心,
∴
∴
∵0＜ω＜1
∴k=0,…
(2)由(1)知x∈[﹣π,π]
列表如下：
…(注意一定要列表)
则函数f(x)在区间x∈[﹣π,π]上的图象如图所示
18. （1）已知向量，，与平行，求实数的值.
（2）已知向量与不共线，如果，求证，，三点共线；
（3）试确定实数，使和平行.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）首先确定与的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得；
（2）首先表示出，再根据平面向量基本定理及共线定理证明即可；
（3）对向量与分类讨论，结合平面向量基本定理及共线定理计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以，，
因为与平行，
所以，解得；
（2）因为，
所以，
又，
所以，则，所以，，三点共线；
（3）当，时，则，，
所以对任意的实数，均有和平行；
当，时，则，，
所以对任意的实数，均有和平行；
当，时，则，，
所以对任意的实数，均有和平行；
当，但是，即，
则，，
所以对任意的实数，均有和平行；
当，且向量与不共线，
若和平行，则，
所以，解得或.
19. （1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积;
（2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值?
【答案】（1）；（2）扇形半径，扇形圆心角为，扇形面积最大值.
【解析】
【分析】（1）要怕给定条件，求出劣弧所对的圆心角，再求出扇形面积及三角形面积即得.
（2）设出扇形的半径，结合已知建立函数关系，借助二次函数求解即得.
【详解】（1）如图，在圆中，弦，则是正三角形，，边上的高为，
因此，而扇形面积为，
所以弦和劣弧所组成的弓形的面积是.
（2）设扇形的半径为，则扇形弧长，
扇形面积，当且仅当时取等号，
所以扇形半径，扇形的圆心角为时，扇形面积取得最大值.
20. 已知函数，将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的变换规则得到的解析式，再由正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得，令，则，，再利用诱导公式计算可得.
【小问1详解】
将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象,
所以，
由，，解得，，
所以的单调递增区间是，.
【小问2详解】
因为，即，令，则，，
所以，
，
因此.
21. 已知是三角形的内角，且
（1）求的值;
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式求解即可.
（2）利用（1）中信息，代入计算即得.
【小问1详解】
由是三角形的内角，得，由，两边平方得，
则，有，，
因此，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，所以.x+
﹣
﹣
0
π
x
﹣π
﹣
﹣
π
y
0
﹣1
1
3
1
0