甘肃省武威市凉州区凉州区第九中学2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(共30分)
1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据形如 的式子叫做二次根式判断即．
【详解】解：A、，不是二次根式，不符合题意；
B、当时，不是二次根式，不符合题意；
C、，是二次根式，符合题意；
D、根指数是3，不是二次根式，不符合题意．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握其性质是解决问题的关键．
2. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2B. x＜2C. x≤2D. x≥2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵3x﹣6≥0，
∴x≥2，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，逐个进行计算，即可进行解答．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序以及将二次根式化为最简二次根式的方法．注意．
4. 已知，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：由，得
，
解得．
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故选：A．
5. 在二次根式，，，，中与是同类二次根式的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】将二次根式进行化简，然后根据同类二次根式的概念进行判断．
【详解】解：∵，
，
，
，
∴，与是同类二次根式，共2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
6. 三边长a，b，c满足，则是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了非负性、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0是解题的关键．由等式可分别得到关于a、b、c的等式，然后得到a、b、c的值，再根据勾股定理逆定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵，且，
∴为等腰直角三角形．
故选：A．
7. 以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）
A. 6B. 36C. 64D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】∵两个正方形的面积分别为8和14，
且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方，
∴正方形A的面积=14-8=6．
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股树问题：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
8. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．连结，并延长交于点N．若，，则的长为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由全等三角形的性质可设 结合正方形的性质可得 解方程可得 如图，过作于 则 求解 由，解得：，可得 再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：由题意可得：正方形，正方形，
∴

∵四个全等的直角三角形，
∴设

整理得：
解得：（负根不合题意，舍去）

如图，过作于
则

由，
可得：
解得：，


故选C
【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，二次根式的化简，等面积法的应用，一元二次方程的解法，熟练的利用正方形的性质解决问题是关键．
9. 如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）
A. 3cm2B. 4cm2C. 5cm2D. 6cm2
【答案】C
【解析】
【详解】由勾股定理得：=5cm，
∴S阴影=5×1=5cm2，
故选C
10. 赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为（ ）
A. 2，1B. 1，C. 2，D. 2，
【答案】A
【解析】
【分析】设出直角三角形边长，列出正方形面积方程，即可求解．
【详解】解：设直角三角形短直角边为，长直角边，斜边长．
由题可列大正方形面积
小正方形面积
解得，．
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理相关知识点，利用三角形边长表示正方形面积是关键．
二、填空题(共24分)
11. 计算：=______．
【答案】．
【解析】
【详解】解：=；故答案为．
点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键．
12. 若与最简二次根式可以合并，则____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，先计算，再根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：，
依题意得：，
解得：，
故答案为：3．
13. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．
14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则值为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义求出即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
=3，
∴a=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出a=3是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
15. 如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC=10，BE=2，则AB2－AC2的值为 ______．
【答案】20
【解析】
【分析】根据折叠的性质得到AE=AC，DE=CD，AD⊥BC，由勾股定理得到AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，两式相减，通过整式的化简即可得到结论．
【详解】∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，∴AE=AC，DE=CD，AD⊥BC，∴AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，∴AB2﹣AC2=AD2+BD2﹣AD2﹣CD2=BD2﹣CD2=（BD+CD）（BD﹣CD）=BC•BE．
∵BC=10，BE=2，∴AB2﹣AC2=10×2=20．
故答案为20．
【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理，整式的化简，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16. 如图所示，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，则的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得，，再根据翻折变换的性质可得，，利用勾股定理列式求出，再求出，设，表示出，然后利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
由翻折变换的性质得，，，
在中，根据勾股定理得，，
∴
设，则，
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，
所以，的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等，此类题目，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
17. 已知直角三角形的两条直角边是3和5，则第三条边是_________；
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，第三条边==，
故答案为．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
18. 如图，正方形中，点分别在线段上运动，且满足，分别与相交于点，下列说法中：①；②点到线段的距离一定等于正方形的边长；③若，则；④若，，则．其中结论正确的是___________；（将正确的序号填写在横线上）
【答案】①②③④
【解析】
【分析】如图，根据旋转的性质得到BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，∠AEB=∠AEF，于是得到BE+BH=BE+DF=EF，故①正确；过A作AG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到AB=AG，于是得到点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；根据三角函数的定义设BE=m，AB=2m，求得CE=m，设DF=x，则CF=2m-x，EF=BE+DF=m+x，根据勾股定理得到x=m，于是得到tan∠DAF= ；故③正确；求得EF=BE+DF=5，设BC=CD=n，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEH中
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF，
∴∠AEB=∠AEF，
∴BE+BH=BE+DF=EF，
故①正确；
过A作AG⊥EF于G，
∴∠AGE=∠ABE=90°，
在△ABE与△AGE中
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴AB=AG，
∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；
∵tan∠BAE==，
∴设BE=m，AB=2m，
∴CE=m，
设DF=x，则CF=2m-x，EF=BE+DF=m+x，
∵CF2+CE2=EF2，
∴（2m-x）2+m2=（m+x）2，
∴x=m，
∴tan∠DAF=；故③正确；
∵BE=2，DF=3，
∴EF=BE+DF=5，
设BC=CD=n，
∴CE=n-2，CF=n-3，
∴EF2=CE2+CF2，
∴25=（n-2）2+（n-3）2，
∴n=6（负值舍去），
∴AG=6，
∴S△AEF=×6×5=15．故④正确，
故答案为①②③④．
【点睛】题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积，勾股定理及锐角三角函数的定义，熟练全等三角形的判定定理是解决此类题的关键．
三、计算题(共8分)
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算二次根式的乘除运算，再进行化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据零次幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式的性质进行化简，然后进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，一般情况下先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
四、作图题(共3分)
20. 在4×4的方格中（每个小方格的边长都为1）画出一个三条边长分别为、、的三角形，使它的顶点都在格点上。
【答案】见解析
【解析】
【分析】先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图，根据勾股定理作图即可.
【详解】解：如图：即为所求的三角形，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了作图−应用于设计作图，勾股定理以及二次根式的性质的综合运用．
五、解答题(共55分)
21. 已知, 求的值．
【答案】-15
【解析】
【分析】根据非负数的性质列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，2x-5≥0且5-2x≥0，
解得且，
所以，，
y=-3，
所以，，
故答案为-15．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
22. 先化简再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23. 已知直角三角形的两条直角边长分别为，，求斜边及斜边上的高．
【答案】斜边的长是，斜边上的高为
【解析】
【分析】根据勾股定理求出斜边，然后根据三角形的面积公式，列出算式进行计算即可．
【详解】由勾股定理得：
斜边=，
则斜边上的高是，
答：斜边的长是，斜边上的高为．
【点睛】本题考查了二次根式的应用和勾股定理，关键是利用三角形的面积公式列出算式，用到的知识点是二次根式的乘法、平方差公式．
24. 如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，求的长
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，首先由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：直角三角形中，，，
由勾股定理可知：，
由折叠的性质可知：，，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
∴．
25. 某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？

【答案】学校需要投入元买草皮
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得出，最后利用三角形的面积得出答案．
【详解】解：连接，

，，，，
∴，
∴，
在中
又，
，
是直角三角形，
四边形的面积，
学校要投入资金为：元；
答：学校需要投入元买草皮．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出是直角三角形是解题关键.
26. 如图，是等腰三角形，，点是边上的一点，连接．
（1）若的周长是，，点是的中点，求的长；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理；
（1）根据等腰三角形的性质得，，进而勾股定理，即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：因为点是的中点，，
所以．
因为的周长是，，所以．
因为是等腰三角形，，点是的中点，所以．
在中，，，所以．
【小问2详解】
因为，，，
所以，即，所以．
因为，所以，
所以
所以．
27. 如图，在中，于点D，，求：
（1）的长；
（2）的长．
【答案】（1）12 （2）16
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据勾股定理求出，再根据等面积法列式，得，再化简代入数值，即可作答．
（2）根据勾股定理列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵
∴在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴
【小问2详解】
解：在中，由勾股定理得，
,
∴
28. 如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）若P为BC上的中点，求证：；
（2）若P为线段BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先连接AP，由于AB=AC，P是BC中点，利用等腰三角形三线合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB2=BP2+AP2，即AB2-AP2=BP2，而BP=CP，易得BP•CP=BP2，那么此题得证；
（2）成立．连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，在等腰三角形ABC中利用三线合一定理，可知BD=CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB2=AD2+BD2，同理有AP2=AD2+DP2，易求AB2-AP2的差，而BP=BD+DP，CP=CD-CP=BD-DP，易求BP•CP，从而可证AB2-AP2=BP•CP；
（3）AP2-AB2=BP•CP．连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，在△ABC中，利用等腰三角形三线合一定理可知BC=CD，在Rt△ABC中和Rt△ADP中，利用勾股定理分别表示AP2、AB2，而BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，易求BP•CP的值，从而可证AP2-AB2=BP•CP．
【小问1详解】
证明：连接AP，
∵AB＝AC，P是BC中点，
∴AP⊥BC，BP＝CP，
在Rt△ABP中，；
【小问2详解】
解：成立．
如图，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，，
同理，，
∴
又∵BP＝BD＋DP，CP＝CD－DP＝BD－DP，
∴BP•CP＝（BD＋DP）（BD－DP）＝，
∴；
【小问3详解】
解：．
如图，PBC延长线任一点，连接AP，并作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ADP中，，
∴
又∵BP＝BD＋DP，CP＝DP－CD＝DP－BD，
∴BP•CP＝（BD＋DP）（DP－BD）＝，
∴．
【点睛】题考查了等腰三角形的性质、勾股定理．解题的关键是用BD、DP的和差来表示BP和CP．