广东省广州市西关外国语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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第I卷（选择题）
一、单选题（8*5=40分）
1. 设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A. 和B. 与
C. 与D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】判断出哪个选项的两个向量共线即可.
【详解】对于C，共线，不能作为基底，
对于ABD，两组向量都不共线，
故选：C.
2. 若单位向量的夹角为，则（ ）
A. B. C. 3D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】直接由模长公式以及数量积的运算即可求解.
【详解】由．
故选：A．
3. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理整理等式，利用差角公式，结合三角形内角的性质，可得答案.
【详解】由得：，即，
即，且，所以.
故选：B．
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】由两边平方得：，而，，则，
因此，
所以.
故选：D
5. 已知向量，满足，则向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平面向量运算律根据模长可得，再由数量积定义可得夹角为.
【详解】根据题意由可得，
又，可得，
设向量的夹角为，所以，
可得，即.
故选：B
6. 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由的部分图象可求得其解析式为，再根据平移规则可求得.
【详解】根据图象可知，
由，可得，
又，可得；
由可知，可得；
将函数图象上所有的点向左平移个单位长度可得.
故选：C
7. 已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（ ）
A. 重心，外心，垂心B. 重心，外心，内心
C. 外心，重心，垂心D. 外心，重心，内心
【答案】C
【解析】
【分析】根据各点所满足的表达式，利用平面向量运算律并结合几何关系的向量表示可分别求得点依次是的外心，重心，垂心.
【详解】因为，所以点O到三个顶点的距离相等，
所以O为的外心；
如下图所示：
记BC的中点为D，因为，
所以，所以P，A，D三点共线，
故点P在中线AD上，
同理点P也在的另外两条中线上，即点P为中线的交点，即为重心；
作，因为，
所以，
所以，所以点N在BE上，
同理点N在的另外两条高上，即为高的交点，所以N为的垂心.
故选：C
8. 在中，在上，且在上，且．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的基本定理和平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】因为，
所以，则．
因为，所以，则．
故选：C
二、多选题（3*6=18分）
9. 如图在中，AD､BE､CF分别是边BC､CA､AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由条件可知为的重心，由重心的性质逐一判定即可.
【详解】由条件可知为的重心，
对于A，由重心的性质可得，所以，故A错误；
对于B，由重心的性质可得，所以，故B正确；
对于D，故D错误；
对于C，，，
，故C正确.
故选：BC.
10. 已知向量，设的夹角为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】，根据向量的运算及性质分别计算判断即可
【详解】根据题意，，则，
对于A，，则成立，A正确；
对于B，，则，即，B正确；
对于C，不成立，C错误；
对于D，，则，，则，，则，D正确；
故选：ABD.
11. 在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C.
D. 若，且，则△为等边三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；D若，，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△的形状.
【详解】A：由，根据等比的性质有，正确；
B：当时，有，错误；
C：，而，即，由正弦定理易得，正确；
D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为， 易知△为等边三角形，正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.
第II卷（非选择题）
三、填空题（3*5=15分）
12. 设向量、满足，，且，则向量在向量方向上投影向量是_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的公式，即可求解.
【详解】向量、满足，，且，
则向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
13. 一条河宽400 m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________．
【答案】## 1.5 min
【解析】
【分析】求出合速度的大小，根据时间的计算公式求得答案.
【详解】合速度（km/h） （m/min），
∴（min）,
故答案为：1.5min
14. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答.
【详解】因向量，，且与的夹角为锐角，于是得，且与不共线，
因此，且，解得且，
所以实数取值范围是且.
故答案为：且
四、解答题（13 15 15 17 17=77分）
15. （1）已知，，且//，求的坐标.
（2）已知，求与垂直的单位向量的坐标.
【答案】（1）或；
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用平面向量平行坐标表示结合模的定义求解即可.
（2）利用平面向量垂直的坐标表示结合模的定义求解即可.
【详解】（1）设，由得，，由//得，，
解得，，或，，
则或，
即的坐标是或.
（2）设该单位向量，显然，
由题意得，，则，
解得，或，，
则的坐标是或.
16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求角A；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而得解；
（2）由余弦定理求得，再利用三角形面积公式即可得解．
【小问1详解】
因为，
由正弦定理，又，
，即，由，得.
【小问2详解】
由余弦定理知，
即，则，解得（负值舍去），
.
17. 已知向量，记函数，若函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）当时，试求的值域；
（3）求在上的单调递增区间.
【答案】（1）
（2）
（3），.
【解析】
【分析】（1）由向量的数量积的运算公式，结合三角恒等变换公式，得到，根据正弦型函数的性质，得到，即可求解；
（2）由，得到，求得，即可求解；
（3）根据三角函数的性质求得函数的单调递增区间，进而求得函数在区间上的单调递增区间，得到答案.
【小问1详解】
由向量，
可得
，
因为函数的最小正周期为，即，解得.
【小问2详解】
由函数，
因为，可得，则，
所以函数的值域为.
【小问3详解】
由函数，
令，解得，
因为，所以或，
所以函数在上的单调递增区间为，.
18. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．
（1）求角的大小；
（2）若时，求面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得.
（2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解.
【小问1详解】
在中，，而，即，
，由余弦定理得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，，而，于是，
即，当且仅当时取等，
因此的面积，
所以当时，面积取得最大值.
19. 如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点.
（1）求的余弦值.
（2）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在或者
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，运用向量法求解夹角即可.
（2）分类讨论点的位置，依据条件求解即可.
【小问1详解】
如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系.
则.
由于就是的夹角.
∴.
∴的余弦值为.
【小问2详解】
设.
.
∴.由题得.
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
∴舍去；
③当点在上时，设，
∴舍去；
④当点在上时，设，
∴.
综上，存或者.