广东省深圳市科学高中2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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科目：高二数学 考试时长：120分钟 卷面总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A B. C. D.
2. 若角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
3. 若数列满足，，且，则（ ）
A 3B. 2C. D.
4. 若向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 在的展开式中，的系数为（ ）
A 20B. 25C. 30D. 35
6. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）
A. B. C. D.
7. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A. 0或2B. 0或C. 2D.
8. 已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，为左支上一点，与的右支交于点中点为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A. B. 是图像的一条对称轴
C. 在区间上单调递增D. 在区间上的最小值为
10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 四点共面
B.
C. 直线与所成角余弦值为
D. 点到直线的距离为1
11. 已知数列的首项为，且，数列、数列数列的前项和分别为，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知点，抛物线的焦点为为抛物线上的点，则周长的最小值为______．
13. 甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，每天有且仅有一人值班，若甲不值周一，乙不值周六，则可排出不同的值班表数为______．
14. 若函数有两个零点，则正整数的最小值为_______．（其中是自然对数的底数，参考数据：，）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的各项均为正数，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的通项公式及其前项和.
16. 已知的内角的对边分别为，角的平分线交于点，且．
（1）求角；
（2）若的周长为15，求的长．
17. 如图所示，在三棱锥中，，，．

（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．
19. 用数学眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为
（1）已知函数，
①求函数在点处的曲率的平方；
②求函数的曲率的最大值．
（2）函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数的取值范围．