江苏省南京市秦淮区2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】直接运用同底数幂相乘的运算法则计算即可．
【详解】解：=．
故选A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘的运算法则，灵活运用“同底数幂相乘、底数不变、指数相加”成为解答本题的关键．
2. 如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中可判定，故此选项不合题意；
B中可判定，故此选项不合题意；
C中可判定，故此选项符合题意；
D中是错误的描述，不能判定直线平行，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
3. 若多项式是完全平方式，则常数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查完全平方式，先根据两个平方项确定出这两个数，再根据即可确定k的值．
【详解】解：是完全平方式，
，
常数的值为，
故选C．
4. 如图，，，则点到的距离是线段（ ）的长度．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点到直线的距离的概念判断即可．
【详解】解：，
点到的距离是线段的长度，
故选：B．
【点睛】本题考查的是点到直线的距离，解题的关键是熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
5. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”属于假命题的反例是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】∵当a＝-1，b＝−2时，（−2）2＞（−1）2，但是−2＜-1，
∴，是假命题的反例．
故选：C．
【点睛】此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
6. 已知，则a，b，c的关系为①，②，③，④，其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据根据同底数幂乘法，利用等式的性质将进行适当的变形可得答案．
【详解】解：∵，
，
即，
，
，故①正确；
，
即，
∴，
∴，故②正确；
，
即，
∴，故③正确；
，
即，
，故④正确．
综上分析可知，正确的有4个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，利用等式的性质等知识，根据同底数幂的乘法和等式的性质将原式进行适当的变形是得出答案的前提．
7. 下列命题中的真命题是（ ）
A. 相等的角是对顶角
B. 内错角相等
C. 如果a3＝b3，那么a2＝b2
D. 两个角的两边分别平行，则这两个角相等
【答案】C
【解析】
【分析】对每一个命题进行判断，找出其中假命题即可得出答案．
【详解】选项A，相等的角是对顶角是假命题，例如两个直角三角板中的两个直角相等，但这两个直角不是对顶角；
选项B，内错角相等是假命题，只有当两直线平行时，内错角相等；
选项C， 如果a3＝b3，那么a2＝b2是真命题；
选项D， 两个角的两边分别平行，则这两个角相等是假命题，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，在解题时要能根据真命题和假命题的定义对每一项进行正确判断，找出其中的假命题是本题的关键．
8. 如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为10，则△ABC的面积为（ ）
A. 12B. 16C. 18D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到结论．
【详解】设，
∵AF为△ADE的中线．
∴
∵E分别为△ABC的边AC的中点，
∴
∵D分别为△ABC的边BC的中点，
∴
∴四边形ABDF的面积=
解得
∴
故选：B
【点睛】本题考查了三角形的面积，熟练三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
9. 定义a※b＝（a﹣1）b，例如4※3＝（4﹣1）×3＝9．计算x※（x+1）＝_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据新定义运算法则直接计算即可．
【详解】解：∵a※b=（a-1）b，
∴x※（x+1）=（x-1）（x+1）=x2-1，
故答案为：x2-1．
【点睛】本题考查新定义运算，解题的关键是读懂题意，掌握平方差公式进行运算．
10. 熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为__________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法指的是将一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），即可求出答案．
【详解】解：题中，其中a=1.56，n=-4，满足科学记数法要求，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，要清楚地知道科学记数法是将一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），其中a、n必须要满足上述条件．
11. 如图，，如果，那么的度数是 __．

【答案】##115度
【解析】
【分析】根据求出，根据求出即可．
【详解】解：∵，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了余角和补角，主要考查学生的计算能力．
12. 若多项式是一个完全平方式，其中a为正整数，则a的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征：常数项为一次项系数一半的平方，计算即可求出a的值．
【详解】∵多项式是一个完全平方式，而，
∴a=，
∵a为正整数，
∴a=3，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
13. 如图，是的中线，M是边上的中点，连接，若的面积为，则的面积为：_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
【详解】解：∵是的中线，的面积为，
∴，
∵M是边上的中点，
∴，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
14. 已知在直角三角形中，，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置（如图所示），其中点落在边的中点处，此时边与边相交于点D，如果，，那么四边形的面积=______cm2．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移的性质和点是的中点求出，，再由求出，利用即可求出四边形的面积．
【详解】解：由平移的性质可知，，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形的面积＝，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
15. 如图a是长方形纸带，∠DEF=28°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是______°．

【答案】96
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE=∠DEF，再根据翻折变换的性质，折叠后重叠了3层，然后根据平角的定义列式进行计算即可得解．
【详解】∵AD∥BC，∠DEF=28°
∴∠BFE=∠DEF=28°，
∴∠EFC=152°，
∴∠BFC=152°-28°=124°，
∴∠CFE=124°-28°=96°．
故答案为96．
三．解答题（共9小题）
16. 计算
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先运用负指数、零指数和绝对值计算，然后运算加减解题；
（2）先用用幂的运算法则计算，然后合并解题即可．
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
原式
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算和幂的有关运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
17. 运用适当的公式计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式计算，即可求解；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
18. 把下列各式因式分解:
（1）;
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先提取公因式2y，再用完全平方公式二次分解；
（2）先提取公因式，再用平方差公式二次分解.
【详解】（1）解：

;
（2）解：


.
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
19. 如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．
（1）分别画出中边上的高、中线．
（2）画出先将向右平移6格，再向上平移3格后的．
（3）画一个锐角（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍．
（4）的面积为多少？
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）3
【解析】
【分析】本题主要考查作图-基本作图及平移变换，解题的关键是掌握三角形的高、中线的定义和平移变换的定义与性质．
（1）根据三角形的高和中线的定义结合网格作图可得；
（2）根据平移变换的定义和性质作图可得；
（3）由的面积为3知所作三角形的面积为6，据此结合网格作图可得
（4）根据三角形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，、即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求；
【小问3详解】
由图可知：
则锐角的面积，
如图所示，即为所求；
【小问4详解】
由图可知：．
20. 下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：；
解：原式
（1）计算：
①；
②；
（2）若，请求出的值．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果；
（2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到的值．
【小问1详解】
解：①
；
②
．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键．
21. 直线与直线垂直相交于O，点A在直线上运动，点B在直线上运动．
（1）如图1，已知、分别是和角的平分线，点A、B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小．
（2）如图2，已知不平行，、分别是和的角平分线，又、分别是和的角平分线，点A、B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
【答案】（1）不变，
（2）不变，
【解析】
【分析】（1）根据题意，先求，然后证明，在中即可得到结果．
（2）延长、交于点F，先求，然后证明，接着证明，在中
即可得到结果．
【小问1详解】
不发生变化
如图1
直线与直线垂直
、分别是和角的平分线
，
不受A、B运动的影响
不发生变化
在中
．
【小问2详解】
不发生变化
如图2，延长、交于点F
直线与直线垂直相交于O
、分别是和的角平分线
，
°

、分别是和的角平分线
不受A、B运动的影响
不发生变化
在中
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理等知识，掌握以上知识点是解题的关键．
22. 阅读材料：已知a+b=8，ab=15，求a2+b2的值．
解：a2+b2=（a+b）2-2ab=64-30=34．
参考上面的方法求解下列问题：
（1）已知x满足（x-2）（3-x）=-1，求（x-2）2+（3-x）2的值．
（2）如图①，已知长方形ABCD的周长为12，分别以AD、AB为边，向外作正方形ADEF、ABGH，且正方形ADEF、ABGH的面积和为20．
① 求长方形ABCD的面积；
②如图②，连接HF、CF、CH，求△CFH的面积．
【答案】（1）3 （2）①8；②14
【解析】
【分析】（1）设a=x-2，b=3-x，可得a+b=1，ab=(x-2)(3-x)=1，由(a+b)²=a²+b²+2ab代入求出 的值即可；
（2）①设AB=a，BC=b，则2a+2b=12，即a+b=6，由正方形ADEF、ABGH的面积和为20，得到a²+b²=20，根据(a+b)²=a²+b²+2ab代入求出ab即可；
② ，变形为，整体代入计算即可．
【小问1详解】
解：设a=x-2，b=3-x，则a+b=1，ab=(x-2)(3-x)=-1，
由(a+b)²=a²+b²+2ab得，
1=a²+b²-2，
∴a²+b²=3，
即(x-2)²+(3-x)²的值为3；
【小问2详解】
解：①设AB=a，BC=b，则2a+2b=12，即a+b=6，
由于正方形ADEF、ABGH的面积和为20，即a²+b²=20，
由(a+b)²=a²+b²+2ab得，
36=20+2ab，
∴ab=8，
即长方形ABCD的面积为8；
②

=
=
=
=14
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
23. 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数.
例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此.
（1）的商是______，余式是______.
（2）利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值.
（3）已知一个长为，宽为长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长.
【答案】（1），．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算．
（2）根据多项式除以多项式的法则计算．
（2）通过面积关系求长方形边长．
【小问1详解】
解：用竖式计算如下，
的商是，余式是．
∴答案为：，．
【小问2详解】
多项式能被整除，则
∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0．
∴a=-6，b=2．
∴ab=（-6）2=36．
【小问3详解】
长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x．
长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12．
∵长方形B的周长是A周长的2倍．
∴4x+2a+12=8x．
∴a=2x-6．
∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8）
=3x2+16x-64．
∴长方形C的面积为：3x2+16x-140．
∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14．
∴长方形C的另一边长为：3x-14．
【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键．
24. （1）感知发现：在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图，当∥时，可以得到结论：在学习逆命题时，发现原命理是真命题，逆命题不一定是真命题，于是兴趣小组想尝试证明：如图，，求证：∥，请写出证明过程．
利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题：
（2）综合与实践:在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图已知两直线，且∥和直角三角形，，，创新小组的同学发现，说明理由．
（3）实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出答案．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】过点作，想办法证明，可得结论；
利用中结论，解决问题即可；
利用三角形内角和定理解决问题即可．
【详解】证明：过点作，

，
，
，，
，
，
；
证明：

由可知，，
，
，
；
解：结论：．

理由：平分，
，
，
，
，
由可知，，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．