江苏省南通市区+通州区2023-2024学年高一下学期3月质量监测数学试卷（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接由两角和的正弦公式即可求解.
【详解】.
故选：B.
2. 若向量，，则（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用向量的坐标运算得出，再利用数量积的坐标运算，即可求出结果.
【详解】因为，，所以，
所以，
故选：A.
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平方关系得的值，进一步由两角差的余弦公式即可求解.
【详解】因为，，所以，
所以.
故选：A.
4. 已知，若，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设所求为，根据向量的线性运算以及列方程组即可求解.
【详解】设，则，
若，从而，解得，则.
故选：D.
5. 在平行四边形中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算即可结合选项逐一求解.
【详解】连接相交于，
对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D错误；
故选：C
6. （ ）
A. 1B. C. -1D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二倍角公式以及诱导公式即可运算求解.
详解】
.
故选：D.
7. 已知非零向量，满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意设，对平方并展开得，结合向量夹角的余弦值的公式即可求解.
【详解】由题意设，则，
解得，所以与的夹角的余弦值为.
故选：B.
8. 设，为直线l上的两个不同的点，则，我们把与向量垂直的非零向量称为直线l的法向量．如果直线l经过点P（1，2），且它的一个法向量是（3，-1），则点A（3，2）到直线l的距离为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得和直线的一个法向量为，结合距离公式，即可求解.
【详解】由点和，可得，
又由直线的一个法向量为，
所以点到直线的距离为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】首先分析题意，利用平面向量的模，数量积等知识逐个进行求解即可.
【详解】对于A: 弱，但和不一定共线，故不一定成立，故A错误，
对于B: 若则，故B正确.
对于C:显然的夹角为，若，得出，
故，而，
得，，
得，必有.故C正确.
对于D: 若，当时，不一定等于，故D错误.
故选：BC
10. 下列等式中，成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据二倍角公式即可判断AB，根据和差角公式即可求解CD.
【详解】对于A，，A正确，
对于B，，B错误，
对于C，，C正确，
对于D，，D正确，
故选：ACD
11. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（ ）．
A. 当船的航行时间最短时，B. 当船的航行距离最短时，
C. 当时，船的航行时间为12分钟D. 当时，船的航行距离为
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，首先，从而要船的航行时间最短时，则只需最大，由此即可判断；对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可验算；对于C，由公式即可验算；对于D，由题意，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算.
【详解】对于A，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大，也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故A正确；
对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故B正确；
对于C，当时，船的航行时间为小时，也就是6分钟，故C错误；
对于D，由题意设位移分量为，位移为，
则，其中（小时），
又因为，，和的夹角为，
从而，故D错误.
故选：AB.
关键点点睛：判断B选项的关键是当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可顺利得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 写出一个与向量垂直的单位向量________．
【答案】（或，答案不唯一）
【解析】
【分析】由题意设所求向量为，从而，由此解方程组即可得解.
【详解】设与向量垂直的单位向量为，
则，解得或.
故答案为：（或，答案不唯一）.
13. 已知向量，是平面内的一组基底，，，．若B，C，D三点共线，则λ＝________
【答案】4
【解析】
【分析】根据向量共线即可求解.
【详解】,
,
由于B，C，D三点共线，所以与共线，
因此,
故答案为：4
14. 设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为________，此时________．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，确定点的轨迹方程，设的坐标，分别求出向量，的坐标，结合三角函数性质即可求解．
【详解】以为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
因为，，与的夹角为，,
由于,故，
所以，
因为为的中点，，所以在以为圆心，半径为1的圆上，
设,，
则，，
，
所以当，即时，最大，最大值为，
此时,，则．
故答案为：；．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知平面内的三个向量，，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的坐标运算，得到，，再利用共线的坐标运算，即可求出结果；
（2）根据条件，利用垂直的坐标运算，即可求出结果.
【小问1详解】
因为，，，
所以，，
因为，所以，解得．
【小问2详解】
由（1）知，又，
因为，所以，得到，
解得．
16. 已知，，．
（1）求；
（2）求向量与的夹角．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）由条件结合数量积的运算律求，再结合关系求；
（2）根据向量的夹角余弦公式求向量与的夹角余弦，再求其夹角.
【小问1详解】
因为，，
所以，
解得，．
所以，
所以．
【小问2详解】
．
设向量与的夹角为，则
．
因为，所以．
17. 已知，，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：根据二倍角公式，同角关系将转化为含的表达式，代入条件可得结论；
方法二：由二倍角正切公式求，再结合同角关系求；
（2）由两角和的正切公式求，由两角差的周期公式求，结合条件确定的范围，由此可得结论.
【小问1详解】
方法1：
．
方法2：
．
由得
消去，得，
解得，．
因为，，
所以，所以，
所以．
所以．
【小问2详解】
．
因为，
又，所以．
由（1）方法2，可知，
所以．
因为，所以．
18. 如图，在中，已知，，，，点N为边的中点，相交于点P．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先分解向量得，进一步结合已知，以及模的计算公式即可求解；
（2）分解向量得，结合数量积的运算律即可求解；
（3）首先由数量积的运算律求得的值，进一步由模的计算公式可得，结合以及向量夹角公式即可求解.
【小问1详解】
因为N为的中点，所以．
因为，且，，
所以．
小问2详解】
由得，，
．
所以．
【小问3详解】
．
又，
且，
所以，
即．
19. 在等腰梯形ABCD中，，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上（不包含端点），AE和BD交于点M，且，．
（1）用向量，表示向量，；
（2）求的取值范围；
（3）是否存在点E，使得．若存在，求λ；若不存在，说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解，
（2）根据向量模长公式，结合二次函数的性质即可求解，
（3）根据线性运算以及平面向量基本定理即可列方程求解.
【小问1详解】
因为，
所以．
又．
【小问2详解】
，
因为，，，
所以
．
因为动点E，F分别在线段BC和DC上且不包含端点，所以，
所以，，
所以的取值范围是．
【小问3详解】
设，，其中，则
，
因为，
由平面向量基本定理，得
解得，
由，得，故，
所以，解得，或．
因为，所以．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据向量数量的运算律和基底法得到的表达式，再根据二次函数的性质即可求出其范围.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.