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江苏省宿迁市沭阳县市区2023-2024学年九年级下学期3月第六次月考联考数学试题（原卷版+解析版）
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（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1. -2的倒数是（ ）
A. -2B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解．
【详解】解：-2的倒数是-，
故选：B．
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握．
2. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. 0B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项．
【详解】∵，
∴最小的数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
3. 某地铁自开通以来，发展速度不断加快，现已成为市民主要出行方式之一．2023年某市区地铁安全运输乘客约381亿乘次，用科学记数法表示381亿为（ ）
A. 38.1×109B. 3.81×1010C. 3.81×1011D. 381×108
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：381亿
故选：B
4. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设绳索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程．
【详解】设绳索尺，杆子为()尺，
根据题意得：()．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
5. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【详解】连接OB，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
6. 若方程组的解是，则的值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法．根据方程组将已知解代入即可得到答案．
【详解】解：将代入得，
解方程组得，
即，，
∴，
故选：C．
7. 已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由反比例函数的图象确定k的范围，再利用二次函数的性质进行判断即可.
【详解】解：根据题意，反比例函数的图象在二、四象限，所以k<0，
∴2k<0，∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，
抛物线与y轴的交点为（0，），在y轴的正半轴上；
观察各选项，只有D符合.
故选D.
【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象和性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键.
8. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A. ②③B. ②④C. ①②③D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．
【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故①错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴﹣a＞c，
∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有2个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，
即关于a的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
正确的有②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．
二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）
9. 函数 y=中自变量x的取值范围是__________．
【答案】x＞2
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】根据二次根式的意义以及分式的意义可知：x﹣2＞0，所以，x＞2．
故答案为x＞2．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i为，物体从地面沿着该斜坡前进了15米，那么物体离地面的高度为____米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．作地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．
【详解】解：作地面于点C，
设米，
∵传送带和地面所成斜坡的坡度i为，
∴米，
由勾股定理得，，
即，
解得， (负值舍去)，
即米，
故答案为：．
11. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与判别式△的关系，结合一元二次方程的定义解答即可.
【详解】由题意可得，1−k≠0，△＝4+4(1−k)＞0，
∴k＜2且k≠1.
故答案为k＜2且k≠1.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解题中要注意不要漏掉对二次项系数1-k≠0的考虑．
12. 如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为____________．
【答案】1：4.
【解析】
【详解】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，
∴AB：DE=OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
考点：位似变换．
13. 关于x的分式方程的解是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．需注意的是，分式方程的解一定要进行检验．方程两边同乘以化成整式方程，再利用因式分解法解一元二次方程可得的值，然后进行检验即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
因式分解，得，
解得或，
经检验，不是原分式方程的解，是原分式方程的解，
故答案为：．
14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】2π
【解析】
【分析】先在△ABC中利用勾股定理求出BC＝，再根据旋转的性质得出△ABC≌△A′B′C，然后根据阴影部分的面积＝（扇形CBB'的面积−△CA'B'的面积）＋（△ABC的面积−扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝，
∵把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′C B′＝45°，A′C＝AC＝4，A′B′＝AB＝4，∠C A′B′＝∠CAB＝90°，
∴阴影部分的面积＝− ×4×4＋×4×4−＝2π，
故答案为2π．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理以及扇形面积公式的应用．
15. 将抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线的解析式为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称性质以及二次函数的平移性质，先根据平移性质得出抛物线的顶点坐标，根据关于x轴对称，得出抛物线的顶点坐标，即可作答．
【详解】解：依题意，
∵抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线，
∴
此时抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线与抛物线关于x轴对称，
∴抛物线的顶点坐标，
∴开口方向向下，开口大小不变，
则抛物线的解析式为，
故答案为：．
16. 如图，已知正方形的边长为4，E在边上运动，的中点为G，绕E顺时针旋转得，当A、C、F在一条直线上，的值为____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，过点F作的垂线，交延长线于N，证明得到，再证明是等腰直角三角形，推出，即可得到．
【详解】解：如图，过点F作的垂线，交延长线于N，
的中点为，
∴，
由旋转的性质可得，
由正方形的性质可得，
∴，
，
，
，
，
当、、在一条直线上时，，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
17. 将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图像如图所示．当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，运用数形结合思想求解是解答的关键．先求得原二次函数与x轴的交点坐标，求得直线过临界点A、B时的b值，再求得翻折后的二次函数的图像与直线相切时的b值，利用图像即可得出b的取值范围．
【详解】解：如图，令，由得，，
∴，，
将点A代入得，
将点B代入得，
将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后的表达式为，
由得，
由得，
根据图像，当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是或，
故答案为：或．
18. 如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】通过作垂线构造直角三角形，根据直角三角形的两锐角的平分线的夹角为，求出，在中根据特殊锐角三角函数值可求出、，在中，根据勾股定理求出，再根据，得出，进而求出，最后根据反比例函数系数的几何意义求出结果即可．
【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，过点作，垂足为，
平分，平分，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
在和中，
，，，
，
，，
，，
，
，
又，
，
负值舍去，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，三角形全等以及解直角三角形，求出的面积是解决问题的前提．
三、解答题（共有10小题，共96分．）
19. （1）计算：
（2）解不等式组
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据整数指数幂，绝对值的化简，最简二次根式，特殊角三角函数，即可求解，
（2）分别解两个不等式，取公共部分，即可求解，
本题考查了，实数的混合运算，特殊角三角函数，解一元一次不等式组，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：（1）
，
（2）
解①得：，
解②的：，
∴不等式组的解集为：．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，求特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，先对分式进行化简，然后代入数据求值即可．
【详解】解：
，
，
原式
．
21. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分），按得分划分为、、、四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中 ；
（2）扇形统计图中， 等级所占的百分比是 ；、等级对应的扇形圆心角为 度；
（3）若全校共有3000名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩80分及以上的学生共有多少人？
【答案】（1）20 （2）；42
（3）成绩80分及以上的学生共有1750人
【解析】
【分析】（1）由等级对应的圆心角度数，即可求解，
（2）由等级除以抽取的人数，乘以，即可求解，
（3）确定，成绩80分及以上的为、等级，由、等级所占抽取人数的比例，即可求解，
本题考查了，求扇形统计图的圆心角，由样本的频率区间求整体的数量，由样本所在的百分比估计整体的数量，解题的关键是：明确相关定义及求法．
【小问1详解】
解：抽取的学生人数为，（人），
∴（人），
故答案：20，
【小问2详解】
解：等级所占的百分比为：，
等级对应的扇形圆心角为：，
故答案为：；42，
【小问3详解】
解：成绩80分及以上的为、等级，
估计成绩为、等级的学生共有：（人），
答：成绩80分及以上的学生共有1750人．
22. 某校举办校级篮球赛，进入决赛的队伍有，从中选出两队打一场比赛．
（1）若已确定打第一场，再从其余三队中随机选取一队，求恰好选中队的概率是 ．
（2）请用画树状图或列表法，求恰好选中两队进行比赛概率．
【答案】（1）
（2）恰好选中两队进行比赛的概率
【解析】
【分析】本题主要考查画树状图或列表法求随机事件的概率，掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．
（1）根据概率的公式计算即可求解；
（2）运用画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式即可即可．
【小问1详解】
解：从其余三队中随机选取一队，即从种等可能结果中选一个，
∴恰好选中队概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有中等可能事件，符合条件的有种，
∴(恰好选中两队) ，
答：恰好选中两队进行比赛的概率．
23. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．
【答案】（1）见解析;
（2）5
【解析】
【分析】（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1＝∠P，根据可以确定∠C＝∠P，又知∠1＝∠C，即可得∠1＝∠P；
（2）根据题意可知∠P＝∠CAB，则sin∠CAB＝，即，所以可以求得圆的直径．
【详解】解：（1）证明：∵∠C=∠P，∠1=∠C，
∴∠1=∠P.∴CB∥PD.
（2）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°.
又∵CD⊥AB，∴.∴∠P=∠CAB.
∴sin∠CAB=sin∠P =，即.
又∵BC=3，∴AB=5.
∴⊙O的直径为5.
24. 如图，为了测量某山的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为，然后沿坡角为的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为，求山的高度．（参考数据：）
【答案】山的高度为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰俯角问题，勾股定理，含角的直角三角形特征，，易证是等腰直角三角形，直角中已知边和，则三角形的三边的长度可以得到，的长度，则和即可用含x的代数式表示出来，在直角中，利用三角函数即可得到一个关于x的方程，即可求得x的值．
【详解】解：过D作于E，作于F，设（米），
在中，（米），
（米），
（米），
在中，，
（米），
则（米），
（米） ，
在中，，，
，
解得：，
则山的高度为米．
25. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
（1）在图①中以线段为边画一个格点三角形，使它与相似．
（2）在图②中画一个格点三角形，使它与相似（不全等）．
（3）在图③中的线段上画一个点P，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）取格点，连接，则，由相似三角形的判定方法可知．
（2）取格点，，，连接，，，使，，即可．
（3）取格点，，连接，交于点，此时，由，可得．
【小问1详解】
解：如图①，即为所求．
【小问2详解】
解：如图②，即所求．
【小问3详解】
解：如图③，点即为所求．
26. 某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额）当销售单价x为何值时，年获利最大?最大值是多少?
（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元?
【答案】（1）；（2）当x=85元时，年获利最大值为80万元；（3）销售单价定为70元
【解析】
【分析】（1）根据函数图像，可得两点坐标，利用待定系数法求得y关于x的函数解析式；
（2）依据题意，年利润=单件利润×销量－年总开支，将y用x表示，可得出w与x的二次函数关系，再利用配方法得到最值；
（3）令二次函数的w的值大于等于57.5，求得x的取值范围，根据要使销量最大，确定最终x的值．
【详解】（1）根据函数图像，有点(70，5)和(90，3)
设函数解析式为：y=kx+b
则5=70x+b，3=90x+b
解得：k=，b=12
∴y=
（2）根据题意：w=(x-40)
化简得：w=
变形得：w=
∴当x=85时，可取得最大值，最大值为：80
（3）根据题意，则w≥57.5
化简得：≥0
(－x+70)(x－100)≥0
70≤x≤100
∵要使销量最多，∴x=70
【点睛】本题考查二次函数在销售问题中的运用，解题关键是根据题意，得出w关于x的函数关系式．
27. 在平面直角坐标系中，已知，点C在第一象限内，点D与点A关于y轴对称，且四边形是平行四边形．
（1）点C的坐标是 ，点D的坐标是 ；
（2）在图1中，用尺规作图确定C点位置（不写做法，保留作图痕迹）
（3）如图2，现有半径为1的，若其圆心P从点A出发，沿着以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时的半径以每秒0.5个单位长度的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时：
①t为何值，与y轴相切？
②在整个运动过程中，与y轴有公共点的时间共有 秒．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）①当t取或或2或时，与y轴相切；②
【解析】
【分析】（1）根据轴对称得到点坐标，根据平行四边形的性质得到点坐标，即可解答；
（2）以点A为圆心，为半径画弧，与x轴交点即为点D；以点D为圆心，为半径画弧，以点B为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为点C．
（3）①分点P在上四种情况讨论，然后在直角三角形中运用特殊角的三角函数值建立方程，解决问题即可；
②求出三个临界位置（点P分别在上，且与y轴相切）对应的t的值，求解即可．
【小问1详解】
解：∵，点D与点A关于y轴对称，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∵四边形为平行四边形，
∴轴，且，
∴；
故答案为：，
【小问2详解】
由（1）可知：四边形为菱形，如图所示：点即为所求；
【小问3详解】
①当点P在上时，如图所示：
设时间为t，则，此时与y轴相切，
则，
∵，
∴，
∴ ；
当点P在上时，如图所示：
设时间为t，则，此时与y轴相切，
，
∴，
∴ ，
当点P在上时，作，如图所示：
设时间为，则，此时与y轴相切，
由，
∵ ，，
∴，
∵ ，
∴
∴；
当点P在上时，如图所示：
设时间为t，则，此时与y轴相切，
∴
∴；
∴当t取或或2或时，与y轴相切；
②当圆P在上与y轴相切至圆P在上与y轴相切时，圆与y轴有交点，则时间为： ，
当圆P在上与y轴相切至圆P在上与y轴相切时，圆与y轴有交点，则时间为：，所以总时间为．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
28. 抛物线 （）交x轴的负半轴于A、B两点（点A在点B的右边），交y轴负半轴于点C．
（1）连接，的面积是3时，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若点E为点B左侧抛物线上的动点，使，求出E点横坐标的取值范围；
（3）如图，若点E为点B左侧抛物线上的动点，直线分别交y轴于点F、G，判断的值是否为定值，并说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）点的E横坐标：
（3）的值是定值，其值为，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线解析式为，且，可求得，，，确定，根据，计算即可．
（2）作，交抛物线于点E，则,满足，过点A作于点M，交于点Q，则，过点M作轴于点P, 轴于点N, 证明，确定直线的解析式，联立方程组解答即可．
（3）设 ,设直线的解析式为，故直线的解析式为，得到；设直线的解析式为，故直线的解析式为，，计算即可．本题考查了待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
∵抛物线解析式为，且，
∴，，
解得，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为．
【小问2详解】
如图，∵抛物线的解析式为，
∴，，，
∴，，
∴，
作，交抛物线于点E，
则,满足，
过点A作于点M，交于点Q，
则，
过点M作轴于点P, 轴于点N,
则四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式，
故，
解得，
∴，
∴，
解得，(舍去)，
故点．
∵
∴．
【小问3详解】
的值是定值，其值为，理由如下：
理由: ∵抛物线解析式为，且，
∴，，
解得，，
∴，，，
点E在抛物线解析式为上，
设 ,
设直线的解析式为，
∴
解得，
故直线的解析式为，
∴；
∴；
设直线的解析式为，
∴
解得，
故直线的解析式为，
∴；
∴；
∵，
∴是定值，其值为．等级
成绩
人数
A
15
B
C
18
D
7
（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1. -2的倒数是（ ）
A. -2B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解．
【详解】解：-2的倒数是-，
故选：B．
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握．
2. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. 0B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项．
【详解】∵，
∴最小的数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
3. 某地铁自开通以来，发展速度不断加快，现已成为市民主要出行方式之一．2023年某市区地铁安全运输乘客约381亿乘次，用科学记数法表示381亿为（ ）
A. 38.1×109B. 3.81×1010C. 3.81×1011D. 381×108
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：381亿
故选：B
4. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设绳索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程．
【详解】设绳索尺，杆子为()尺，
根据题意得：()．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
5. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【详解】连接OB，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
6. 若方程组的解是，则的值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法．根据方程组将已知解代入即可得到答案．
【详解】解：将代入得，
解方程组得，
即，，
∴，
故选：C．
7. 已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由反比例函数的图象确定k的范围，再利用二次函数的性质进行判断即可.
【详解】解：根据题意，反比例函数的图象在二、四象限，所以k<0，
∴2k<0，∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，
抛物线与y轴的交点为（0，），在y轴的正半轴上；
观察各选项，只有D符合.
故选D.
【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象和性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键.
8. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A. ②③B. ②④C. ①②③D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．
【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故①错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴﹣a＞c，
∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有2个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，
即关于a的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
正确的有②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．
二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）
9. 函数 y=中自变量x的取值范围是__________．
【答案】x＞2
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】根据二次根式的意义以及分式的意义可知：x﹣2＞0，所以，x＞2．
故答案为x＞2．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i为，物体从地面沿着该斜坡前进了15米，那么物体离地面的高度为____米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．作地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．
【详解】解：作地面于点C，
设米，
∵传送带和地面所成斜坡的坡度i为，
∴米，
由勾股定理得，，
即，
解得， (负值舍去)，
即米，
故答案为：．
11. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与判别式△的关系，结合一元二次方程的定义解答即可.
【详解】由题意可得，1−k≠0，△＝4+4(1−k)＞0，
∴k＜2且k≠1.
故答案为k＜2且k≠1.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解题中要注意不要漏掉对二次项系数1-k≠0的考虑．
12. 如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为____________．
【答案】1：4.
【解析】
【详解】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，
∴AB：DE=OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
考点：位似变换．
13. 关于x的分式方程的解是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．需注意的是，分式方程的解一定要进行检验．方程两边同乘以化成整式方程，再利用因式分解法解一元二次方程可得的值，然后进行检验即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
因式分解，得，
解得或，
经检验，不是原分式方程的解，是原分式方程的解，
故答案为：．
14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】2π
【解析】
【分析】先在△ABC中利用勾股定理求出BC＝，再根据旋转的性质得出△ABC≌△A′B′C，然后根据阴影部分的面积＝（扇形CBB'的面积−△CA'B'的面积）＋（△ABC的面积−扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝，
∵把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′C B′＝45°，A′C＝AC＝4，A′B′＝AB＝4，∠C A′B′＝∠CAB＝90°，
∴阴影部分的面积＝− ×4×4＋×4×4−＝2π，
故答案为2π．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理以及扇形面积公式的应用．
15. 将抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线的解析式为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称性质以及二次函数的平移性质，先根据平移性质得出抛物线的顶点坐标，根据关于x轴对称，得出抛物线的顶点坐标，即可作答．
【详解】解：依题意，
∵抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线，
∴
此时抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线与抛物线关于x轴对称，
∴抛物线的顶点坐标，
∴开口方向向下，开口大小不变，
则抛物线的解析式为，
故答案为：．
16. 如图，已知正方形的边长为4，E在边上运动，的中点为G，绕E顺时针旋转得，当A、C、F在一条直线上，的值为____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，过点F作的垂线，交延长线于N，证明得到，再证明是等腰直角三角形，推出，即可得到．
【详解】解：如图，过点F作的垂线，交延长线于N，
的中点为，
∴，
由旋转的性质可得，
由正方形的性质可得，
∴，
，
，
，
，
当、、在一条直线上时，，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
17. 将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图像如图所示．当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，运用数形结合思想求解是解答的关键．先求得原二次函数与x轴的交点坐标，求得直线过临界点A、B时的b值，再求得翻折后的二次函数的图像与直线相切时的b值，利用图像即可得出b的取值范围．
【详解】解：如图，令，由得，，
∴，，
将点A代入得，
将点B代入得，
将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后的表达式为，
由得，
由得，
根据图像，当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是或，
故答案为：或．
18. 如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】通过作垂线构造直角三角形，根据直角三角形的两锐角的平分线的夹角为，求出，在中根据特殊锐角三角函数值可求出、，在中，根据勾股定理求出，再根据，得出，进而求出，最后根据反比例函数系数的几何意义求出结果即可．
【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，过点作，垂足为，
平分，平分，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
在和中，
，，，
，
，，
，，
，
，
又，
，
负值舍去，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，三角形全等以及解直角三角形，求出的面积是解决问题的前提．
三、解答题（共有10小题，共96分．）
19. （1）计算：
（2）解不等式组
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据整数指数幂，绝对值的化简，最简二次根式，特殊角三角函数，即可求解，
（2）分别解两个不等式，取公共部分，即可求解，
本题考查了，实数的混合运算，特殊角三角函数，解一元一次不等式组，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：（1）
，
（2）
解①得：，
解②的：，
∴不等式组的解集为：．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，求特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，先对分式进行化简，然后代入数据求值即可．
【详解】解：
，
，
原式
．
21. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分），按得分划分为、、、四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中 ；
（2）扇形统计图中， 等级所占的百分比是 ；、等级对应的扇形圆心角为 度；
（3）若全校共有3000名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩80分及以上的学生共有多少人？
【答案】（1）20 （2）；42
（3）成绩80分及以上的学生共有1750人
【解析】
【分析】（1）由等级对应的圆心角度数，即可求解，
（2）由等级除以抽取的人数，乘以，即可求解，
（3）确定，成绩80分及以上的为、等级，由、等级所占抽取人数的比例，即可求解，
本题考查了，求扇形统计图的圆心角，由样本的频率区间求整体的数量，由样本所在的百分比估计整体的数量，解题的关键是：明确相关定义及求法．
【小问1详解】
解：抽取的学生人数为，（人），
∴（人），
故答案：20，
【小问2详解】
解：等级所占的百分比为：，
等级对应的扇形圆心角为：，
故答案为：；42，
【小问3详解】
解：成绩80分及以上的为、等级，
估计成绩为、等级的学生共有：（人），
答：成绩80分及以上的学生共有1750人．
22. 某校举办校级篮球赛，进入决赛的队伍有，从中选出两队打一场比赛．
（1）若已确定打第一场，再从其余三队中随机选取一队，求恰好选中队的概率是 ．
（2）请用画树状图或列表法，求恰好选中两队进行比赛概率．
【答案】（1）
（2）恰好选中两队进行比赛的概率
【解析】
【分析】本题主要考查画树状图或列表法求随机事件的概率，掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．
（1）根据概率的公式计算即可求解；
（2）运用画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式即可即可．
【小问1详解】
解：从其余三队中随机选取一队，即从种等可能结果中选一个，
∴恰好选中队概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有中等可能事件，符合条件的有种，
∴(恰好选中两队) ，
答：恰好选中两队进行比赛的概率．
23. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．
【答案】（1）见解析;
（2）5
【解析】
【分析】（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1＝∠P，根据可以确定∠C＝∠P，又知∠1＝∠C，即可得∠1＝∠P；
（2）根据题意可知∠P＝∠CAB，则sin∠CAB＝，即，所以可以求得圆的直径．
【详解】解：（1）证明：∵∠C=∠P，∠1=∠C，
∴∠1=∠P.∴CB∥PD.
（2）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°.
又∵CD⊥AB，∴.∴∠P=∠CAB.
∴sin∠CAB=sin∠P =，即.
又∵BC=3，∴AB=5.
∴⊙O的直径为5.
24. 如图，为了测量某山的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为，然后沿坡角为的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为，求山的高度．（参考数据：）
【答案】山的高度为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰俯角问题，勾股定理，含角的直角三角形特征，，易证是等腰直角三角形，直角中已知边和，则三角形的三边的长度可以得到，的长度，则和即可用含x的代数式表示出来，在直角中，利用三角函数即可得到一个关于x的方程，即可求得x的值．
【详解】解：过D作于E，作于F，设（米），
在中，（米），
（米），
（米），
在中，，
（米），
则（米），
（米） ，
在中，，，
，
解得：，
则山的高度为米．
25. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
（1）在图①中以线段为边画一个格点三角形，使它与相似．
（2）在图②中画一个格点三角形，使它与相似（不全等）．
（3）在图③中的线段上画一个点P，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）取格点，连接，则，由相似三角形的判定方法可知．
（2）取格点，，，连接，，，使，，即可．
（3）取格点，，连接，交于点，此时，由，可得．
【小问1详解】
解：如图①，即为所求．
【小问2详解】
解：如图②，即所求．
【小问3详解】
解：如图③，点即为所求．
26. 某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额）当销售单价x为何值时，年获利最大?最大值是多少?
（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元?
【答案】（1）；（2）当x=85元时，年获利最大值为80万元；（3）销售单价定为70元
【解析】
【分析】（1）根据函数图像，可得两点坐标，利用待定系数法求得y关于x的函数解析式；
（2）依据题意，年利润=单件利润×销量－年总开支，将y用x表示，可得出w与x的二次函数关系，再利用配方法得到最值；
（3）令二次函数的w的值大于等于57.5，求得x的取值范围，根据要使销量最大，确定最终x的值．
【详解】（1）根据函数图像，有点(70，5)和(90，3)
设函数解析式为：y=kx+b
则5=70x+b，3=90x+b
解得：k=，b=12
∴y=
（2）根据题意：w=(x-40)
化简得：w=
变形得：w=
∴当x=85时，可取得最大值，最大值为：80
（3）根据题意，则w≥57.5
化简得：≥0
(－x+70)(x－100)≥0
70≤x≤100
∵要使销量最多，∴x=70
【点睛】本题考查二次函数在销售问题中的运用，解题关键是根据题意，得出w关于x的函数关系式．
27. 在平面直角坐标系中，已知，点C在第一象限内，点D与点A关于y轴对称，且四边形是平行四边形．
（1）点C的坐标是 ，点D的坐标是 ；
（2）在图1中，用尺规作图确定C点位置（不写做法，保留作图痕迹）
（3）如图2，现有半径为1的，若其圆心P从点A出发，沿着以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时的半径以每秒0.5个单位长度的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时：
①t为何值，与y轴相切？
②在整个运动过程中，与y轴有公共点的时间共有 秒．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）①当t取或或2或时，与y轴相切；②
【解析】
【分析】（1）根据轴对称得到点坐标，根据平行四边形的性质得到点坐标，即可解答；
（2）以点A为圆心，为半径画弧，与x轴交点即为点D；以点D为圆心，为半径画弧，以点B为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为点C．
（3）①分点P在上四种情况讨论，然后在直角三角形中运用特殊角的三角函数值建立方程，解决问题即可；
②求出三个临界位置（点P分别在上，且与y轴相切）对应的t的值，求解即可．
【小问1详解】
解：∵，点D与点A关于y轴对称，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∵四边形为平行四边形，
∴轴，且，
∴；
故答案为：，
【小问2详解】
由（1）可知：四边形为菱形，如图所示：点即为所求；
【小问3详解】
①当点P在上时，如图所示：
设时间为t，则，此时与y轴相切，
则，
∵，
∴，
∴ ；
当点P在上时，如图所示：
设时间为t，则，此时与y轴相切，
，
∴，
∴ ，
当点P在上时，作，如图所示：
设时间为，则，此时与y轴相切，
由，
∵ ，，
∴，
∵ ，
∴
∴；
当点P在上时，如图所示：
设时间为t，则，此时与y轴相切，
∴
∴；
∴当t取或或2或时，与y轴相切；
②当圆P在上与y轴相切至圆P在上与y轴相切时，圆与y轴有交点，则时间为： ，
当圆P在上与y轴相切至圆P在上与y轴相切时，圆与y轴有交点，则时间为：，所以总时间为．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
28. 抛物线 （）交x轴的负半轴于A、B两点（点A在点B的右边），交y轴负半轴于点C．
（1）连接，的面积是3时，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若点E为点B左侧抛物线上的动点，使，求出E点横坐标的取值范围；
（3）如图，若点E为点B左侧抛物线上的动点，直线分别交y轴于点F、G，判断的值是否为定值，并说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）点的E横坐标：
（3）的值是定值，其值为，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线解析式为，且，可求得，，，确定，根据，计算即可．
（2）作，交抛物线于点E，则,满足，过点A作于点M，交于点Q，则，过点M作轴于点P, 轴于点N, 证明，确定直线的解析式，联立方程组解答即可．
（3）设 ,设直线的解析式为，故直线的解析式为，得到；设直线的解析式为，故直线的解析式为，，计算即可．本题考查了待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
∵抛物线解析式为，且，
∴，，
解得，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为．
【小问2详解】
如图，∵抛物线的解析式为，
∴，，，
∴，，
∴，
作，交抛物线于点E，
则,满足，
过点A作于点M，交于点Q，
则，
过点M作轴于点P, 轴于点N,
则四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式，
故，
解得，
∴，
∴，
解得，(舍去)，
故点．
∵
∴．
【小问3详解】
的值是定值，其值为，理由如下：
理由: ∵抛物线解析式为，且，
∴，，
解得，，
∴，，，
点E在抛物线解析式为上，
设 ,
设直线的解析式为，
∴
解得，
故直线的解析式为，
∴；
∴；
设直线的解析式为，
∴
解得，
故直线的解析式为，
∴；
∴；
∵，
∴是定值，其值为．等级
成绩
人数
A
15
B
C
18
D
7
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