2024年山东省威海市经济技术开发区皇冠中学中考一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2. 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A. B.
C. 是一个12位数D. 是一个13位数
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式进行计算，即可得出结论．
【详解】解：A、，选项计算正确，符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
4. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题时要注意是放回试验还是不放回试验；概率等于所求情况数与总情况数之比．用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
5. “争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）．

A. 文B. 明C. 典D. 范
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，以此来找相对面．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“城”字对面的字是“明”，
故选：B.
【点睛】本题考查了正方体相对面上的字，熟练掌握正方体的平面展开图特点是解题的关键．
6. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上进行表示即可．
【详解】解：由，得：；
由，得：，
∴不等式组的解集为：；
数轴上表示如图：

故选C．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．正确的求出不等式组的解集，是解题的关键．
7. 春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，已知甲种树苗每颗45元，乙种树苗每颗38元，则至少可以购买乙种树苗（ ）
A. 42颗B. 43颗C. 57颗D. 58颗
【答案】B
【解析】
【分析】设购买乙种树苗棵，根据用不超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，列出不等式求解即可．
【详解】解：设购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
最小取43，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到不等量关系．
8. 已知二次函数，下列说法正确的是( )
A. 点在该函数的图象上
B. 当且时，
C. 该函数的图象与x轴一定有交点
D. 当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
当时：，
∵，
∴，
即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；
当时，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∴当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
∴，故B选项错误；
∵，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当时，抛物线的对称轴为：，
∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
9. 如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）

A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质可得，，，再判断出点四点共圆，在以为直径的圆上，连接，根据圆周角定理可得，，然后根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
点四点共圆，在以为直径的圆上，
如图，连接，

由圆周角定理得：，，
，
，
，
和中，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出点四点共圆，在以为直径的圆上是解题关键．
10. 如图，已知抛物线，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折构成的图形记作，将和构成的图形记作．关于图形，给出的下列四个结论，不正确的是（ ）
A. 图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B. 图形上任意一点到原点的最大距离是1
C. 图形周长大于
D. 图形所围成区域的面积大于2且小于
【答案】C
【解析】
【分析】画出图象C3，以及以O为圆心，以1为半径的圆，再作出⊙O内接正方形，根据图象即可判断．
【详解】解：如图所示，
A、图形C3恰好经过（1，0）、（-1，0）、（0，1）、（0，-1）4个整点，故正确，不符合题意；
B、由图象可知，图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1，故正确，不符合题意；
C、图形C3的周长小于⊙O的周长，所以图形C3的周长小于2π，故错误，符合题意；
D、图形C3所围成的区域的面积小于⊙O的面积，大于⊙O内接正方形的面积，所以图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π，故正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）
11. 如图，是我们生活中经常接触的小刀，由刀片和刀柄组成，在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EFGH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是___________．
【答案】90°##90度
【解析】
【分析】过点B作BPEF，则∠1=∠ABP．依据平行线的性质，即可得到∠ABP+∠PBC=∠1+∠2=90°．
【详解】解：∠1与∠2的度数和是一个定值，∠1+∠2=90°．
如图，过点B作BPEF，则∠1=∠ABP．
∵EFGH，
∴BPGH，
∴∠2=∠PBC，
∵∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故答案为：90°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
12. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为_____．
【答案】
【解析】
【分析】设木条长尺，绳子长尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于的二元一次方程组，此题得解．
【详解】设木条长尺，绳子长尺，
依题意，得： ，
故答案为．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13. 如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为___________．

【答案】1
【解析】
【分析】首先利用垂直平分线的性质得到，利用角平分线，求出，再在中用勾股定理求出，最后利用角平分线的性质求解即可．
【详解】如图所示，

由尺规作图痕迹可得，是的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由尺规作图痕迹可得，是的平分线，
∴点到的距离等于点P到的距离，即的长度，
∴点到的距离为1．
故答案为：1 ．
【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键．
14. 如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为__________．

【答案】
【解析】
【分析】证明，可得，结合，证明，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是________．
【答案】2
【解析】
【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答．
【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，

故答案为：2．
【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16. 已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点在对称轴的右侧，则，解得，
∴
∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵，
∴
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．
【答案】，当时，式子的值为（当时，式子的值为）．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择适当的的值，代入计算即可得．
【详解】解：，
，
，
，
不等式中的整数有，，，，
又且，
且，
则当时，上式．
当时，上式．
18. 某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【解析】
【分析】设乙同学骑自行车速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．
19. 如图，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得到点的距离为点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（精确到）．参考数据：，．

【答案】无人机从点到点的上升高度约为米
【解析】
【分析】解，求得，，在中，求得，根据，即可求解．
【详解】解：依题意，，，，
在中，，
∴，，
在中，，
∴
（米）
答：无人机从点到点的上升高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
20. 在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，___________，___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
【答案】（1），详见图示；
（2），，；
（3）；
【解析】
【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用总人数减去其它四项的人数可得到D的人数，然后补图即可；
（2）根据总数与各项人数比值可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘即可得出圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求解．
【小问1详解】
本次调查的学生总数：（人），
D、书法社团的人数为：(人)，如图所示

故答案为：50；
【小问2详解】
由图知，，
∴，参加剪纸的圆心角度数为
故答案为：20，10，
【小问3详解】
用表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下：

共20种等可能情况，有2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛，
故恰好选中小鹏和小兵的概率为．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法与画树状图法求概率的方法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率．
21. 如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．

（1）求证：是的切线．
（2）若，求的长．
（3）求证：．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）见详解
【解析】
【分析】（1）连接，先根据直角三角形的性质，证明，再证明即可；
（2）由（1）中结论，得，先根据三角函数及勾股定理求出的长，再证明即可；
（3）证明即可得出结论．
【小问1详解】
证明：连接，

在中，，
是的直径，
即，
在中，点是的中点，
，
又，
，
，
在上
是的切线．
【小问2详解】
解：由（1）中结论，得，
在中，，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
证明：，
，
，
，
，
，
由（1）中结论，得，
，
，
即．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出是解本题的关键．
22. ．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中E点为抛物线的拱顶且高，，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
解决下列问题：
（1）如图，求抛物线的解析式；
（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图，在某一时刻，太阳光线（太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到的坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据正方形性质得到，求出时，对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）设直线的解析式为，根据题意求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【小问1详解】
解：由题知，E点为抛物线顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
四边形为矩形，为的中垂线， ，
，，
，
，
将其代入中，
有，
，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：四边形和为正方形，，
，
延长交于点，延长交于点，易知四边形和为矩形，
，，
，
，
当时，，解得，
，，
，
；
【小问3详解】
解：为的中垂线， ，
，
，，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
太阳光为平行线，
设过点且平行于直线的解析式为，
由题意得与抛物线相切，即只有一个交点，
联立，
整理得，
则，解得，
，
当时，，
，
，
．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，坐标与图形，中垂线性质，待定系数法求出函数解析式，正方形的性质，矩形的性质和判定．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
23. 已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；
（2）若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值；
（3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值．
【答案】（1）；（2）或4；（3）4．
【解析】
【分析】（1）将点代入二次函数的解析式可得的值，根据二次函数的对称轴可得的值，由此即可得；
（2）先求出二次函数的对称轴为，再分，和三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得；
（3）先根据可得，令，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得．
【详解】解：（1）将点代入得：，
二次函数的对称轴为，
，解得，
则此二次函数的表达式为；
（2），即，
，
则此二次函数的对称轴为，
由题意，分以下三种情况：
①当，即时，
在内，随的增大而减小，
则当时，取得最小值，
因此有，
解得或（不符题设，舍去）；
②当，即时，
在内，随的增大而减小；在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，
因此有，
解得或（均不符题设，舍去）；
③当，即时，
在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，
因此有，
解得或（不符题设，舍去），
综上，的值为或4；
（3）由（1）可知，，
由得：，即，
令，
在内，随的增大而增大，
要使得当时，总有，则只需当时，即可，
因此有，
解得，
则实数的最小值为4．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．
24. 【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
【答案】（1）
（2）成立；理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
【小问2详解】
解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：当点E在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．