广西南宁市青秀区2023-2024学年高一下学期4月考试数学试题

这是一份广西南宁市青秀区2023-2024学年高一下学期4月考试数学试题，共9页。试卷主要包含了复数，已知向量，则，已知的内角的对边分别为，且则，已知向量，若，则实数的值为，已知复数满足，在中，点在直线上，且满足，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号､考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方.
第I卷（选择题共60分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.
1.复数（ ）
A. B. C.1 D.-1
2.已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知的内角的对边分别为，且则（ ）
A.2 B. C. D.1
4.已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. B.-2 C.-1 D.8
5.如图，在边长为2的菱形中，，点分别在边上，且若，则（ ）
A. B. C.1 D.
6.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，点在直线上，且满足，则（ ）
A. B.
C. D.
8.在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A.平面与平面 B.平面与平面
C.平面与平面 D.平面与平面
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选不得分.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.
9.下列各组向量中，可以用来表示向量的是（ ）
A. B.
C. D.
10.用一个平面去截三棱锥，截面的形状可能是（ ）
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
11.如图，分别为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
12.已知点在所在平面内，则（ ）
A.满足时，是的外心
B.满足时，是的重心
C.满足时，是的内心
D.满足时，是的垂心
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，若，则__________.
14.已知向量若，则__________.
15.设向量，若，则__________.
16.在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.在中，角所对的边分别为，且.
（1）若，求；
（2）若，求.
18.已知向量满足，且.
（1）求；
（2）若与的夹角为，求的值.
19.已知向量满足.
（1）求；
（2）若，求.
20.已知向量.
（1）若，求；
（2）若在上的投影向量为，求.
21.已知.
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值.
22.若圆锥底面半径为，高为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.
参考答案
1.答案：D
解析：.
故选：D.
2.答案：C
解析：，
.
故选：C.
3.答案：D
解析：由余弦定理得，
整理得，解得（负值舍去）.
故选：D.
4.答案：A
解析：由向量，因为，可得，解得.
故选：A.
5.答案：C
解析：设，可得，有，
，有
，
又由，有，解得（舍），可得.
故选：C.
6.答案：A
解析：由可得，
故虚部为，
故选：A.
7.答案：A
解析：因为，
所以
故选：A.
8.答案：A
解析：如图，在正方体中，因为，所以四边形是平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面，同理平面.因为平面，所以平面平面，其他三对平面均不平行.故选A.
9.答案：BC
解析：为零向量，基底不能含零向量，故不能表示，错；
B：，故可以表示，对；
C：，故可以表示，对；
，基底不能共线，故不能表示，错；
故选：BC.
10.答案：AB
解析：按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形.截面的形状不可能是五边形或六边形，C，D错误.故选.
11.答案：BD
解析：由正方体的对称性，可知截面的形状不可能为三角形和五边形，如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.故选BD.
12.答案：BC
解析：A.根据向量数量积的运算律变形，利用数量积的性质，即可判断选项：B.利用向量加法的运算公式，结合三角形重心的性质，即可判断选项；C.结合正弦定理，以及转化向量，变形为，即可判断选项；D.构造特殊三角形，即可判断选项.
13.答案：2
解析：由题意，得所以.
14.答案：-1
解析：因为，所以，解得.
15.答案：
解析：，可得，
即，则.
16.答案：
解析：因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
17.答案：（1）
（2）或
解析：（1）由余弦定理，得，
又，
.
（2）由正弦定理，得，
，
或.
当时，，
；
当时，，
.
综上，或.
18.答案：（1）-1；
（2）.
解析：（1），
又因为，
（2）由题意可得，
又因为，
所以.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，，
所以，.
（2）因为，所
以，，
所以，边的长度为.
20.答案：（1）
（2）1
解析：（1），
，解得，
故.
（2）因为，
又在上的投影向量为，
所以，解得.
故.
21.答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意，因为，
所以，因为，所以，所以.
（2）因为，
，
所以.
令与的夹角为，
则，
所以向量与夹角的余弦值是.
22.答案：
解析：过圆锥的顶点和正方体的上底面的一条对角线作圆锥的截面，得圆锥的轴截面，正方体的对角面，如图所示.
设正方体的棱长为，则，作于点，则.
，即，
，即内接正方体的棱长为.