专题5倍长中线模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（教师版含解析）

这是一份专题5倍长中线模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（教师版含解析），共77页。
解题策略
如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．
如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．
经典例题
【例1】．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出
（1）如图，AD是△ABC的中线，则AB+AC__________2AD；（填“>”“AE，即EC+AC>AD+DE
∴AB+AC>2AD
故答案为：>；
（2）如图，作点E关于CD的对称点G，连接FG，则CE=CG
∵四边形ABCD是矩形，CD=3,BC=4
∴AB=CD=3,∠B=∠BCD=90°,AB//CD
∴DC垂直平分EG
∴EF=FG
∵点E是BC的中点
∴BE=CE=12BC=2
∴AE=AB2+BE2=13，CG=CE=2，BG=BC+CG=6
则△AEF的周长为AE+EF+AF=13+EF+AF=13+FG+AF
要使△AEF的周长最小，只需FG+AF
由两点之间线段最短可知，当点A,F,G共线时，FG+AF取得最小值AG
∵AB//CD
∴△FCG∼△ABG
∴FCAB=CGBG，即FC3=26
解得CF=1；
（3）如图，作点B关于AC的对称点B′，作点O关于AB的对称点O′，连接AB′,QB′,AO′,PO′,B′O′，则QB=QB′,OP=O′P
∴折线OPQB的长度为OP+PQ+QB=O′P+PQ+QB′
由两点之间线段最短可知，O′P+PQ+QB′≥B′O′，当且仅当点B′,Q,P,O′四点共线时，折线OPQB取得最小长度为B′O′
∵在矩形ABCD中，AC=4,BC=2,∠ABC=90°
∴∠BAC=30°，AB=AC2−BC2=23
∵点O为AC的中点
∴AO=12AC=2
∵点B与点B′关于AC对称，点O与点O′关于AB对称
∴∠B′AC=∠BAC=30°，AB′=AB=23
∠O′AB=∠BAC=30°，AO′=AO=2
∴∠B′AO′=∠B′AC+∠BAC+∠O′AB=90°
∴B′O′=AB′2+AO′2=(23)2+22=4
设B′O′交AC于点Q′
在Rt△AB′O′中，AO′=2,B′O′=4
∴∠AB′O′=30°
∴∠AO′B′=90°−∠AB′O′=60°，即∠AO′Q′=60°
又∵∠O′AQ′=∠BAC+∠O′AB=60°
∴△AO'Q'是等边三角形
∴AQ′=AO′=2
∵AO=2
∴AQ′=AO
∴点Q′与AC的中点O重合
综上，当点Q与AC的中点O重合时，折线OPQB的长度最小，最小长度为4．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），利用轴对称的性质正确找出折线OPQB的最小长度是解题关键．
【例2】．（2021·湖北武汉·八年级期中）已知△ABC中，
（1）如图1，点E为BC的中点，连AE并延长到点F，使FE=EA，则BF与AC的数量关系是________．
（2）如图2，若AB=AC，点E为边AC一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若∠DAC=∠ABD，求证：AE=EC．
（3）如图3，点D在△ABC内部，且满足AD=BC，∠BAD=∠DCB，点M在DC的延长线上，连AM交BD的延长线于点N，若点N为AM的中点，求证：DM=AB．
【答案】（1）BF=AC；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）通过证明△BEF≌△CEA，即可求解；
（2）过点A引AF∥CD交BE于点F，通过△ABF≌△CAD得到AF=CD，再通过△AFE≌△CDE即可求解；
（3）过点M作MT∥AB交BN的延长线于点T，MG∥AD，在MT上取一点K，使得MK=CD，连接GK，利用全等三角形的性质证明AB=MT、DM=MT，即可解决．
【详解】证明：（1）BF=AC
由题意可得：BE=EC
在△BEF和△CEA中
BE=EC∠BEF=∠CEAEF=AE
∴△BEF≌△CEA(SAS)
∴BF=AC
（2）过点A引AF∥CD交BE于点F，如下图：
由题意可得：CD⊥BC，且∠EAF=∠ACD
则AF⊥BC
又∵AB=AC
∴AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠EAF=∠ACD
∴在△ABF和△CAD中
∠ABF=∠DACAB=AC∠BAF=∠ACD
∴△ABF≌△CADASA
∴AF=CD
在△AFE和△CDE中
∠FAE=∠DCE∠AEF=∠CEDAF=CD
∴△AFE≌△CDEAAS
∴AE=EC
（3）证明：过点M作MT∥AB交BN的延长线于点T，MG∥AD，在MT上取一点K，使得MK=CD，连接GK，如下图：
∵AB∥MT
∴∠ABN=∠T
∵∠ANB=∠MNT，AN=MN
∴△ANB≌△MNT(AAS)
∴BN=NT，AB=MT
∵MG∥AD
∴∠ADN=∠MGN
∵∠AND=∠MNG,AN=NM
∴△AND≌△MNG(AAS)
∴AD=MG,DN=NG
∴BD=GT
∵∠BAN=∠AMT,∠DAN=∠GMN
∴∠BAD=∠GMT
∵∠BAD=∠BCD
∴∠BCD=∠GMK
∵AD=BC,AD=GM
∴BC=GM
又∵MK=CD
∴△BCD≌△GMK(SAS)
∴GK=BD,∠BDC=∠MKG
∴GK=GT,∠MDT=∠GKT
∴∠GKT=∠T
∴DM=MT
∵AB=MT
∴DM=AB
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【例3】．（2020·安徽合肥·二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．
(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；
(2)在(1)的条件下，求CEBC的值；
(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG．
【答案】(1)见解析；(2)14；(3)见解析
【分析】（1）延长BC交AF的延长线于点G，利用“AAS”证△ADF≌△GCF得AD＝CG，据此知CG＝BC＝BE＋CE，根据EG＝BE＋CE＋CE＝BE＋2CE＝AE即可得证；
（2）设CE＝a，BE＝b，则AE＝2a＋b，AB＝a＋b，在Rt△ABE中，由AB2＋BE2＝AE2可得b＝3a，据此可得答案；
（3）连接DG，证△ADF≌△DCG得∠CDG＝∠DAF，再证△AFH∽△DFG得AFDF=FHFG，结合∠AFD＝∠HFG，知△ADF∽△HGF，从而得出∠ADF＝∠FGH，根据∠ADF＝90°即可得证．
【详解】解：(1)如图1，延长BC交AF的延长线于点G，
∵AD∥CG，
∴∠DAF=∠G，
又∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∴∠G=∠EAF，
∴EA=EG，
∵点F为CD的中点，
∴CF=DF，
又∵∠DFA=∠CFG，∠FAD=∠G，
∴△ADF≌△GCF(AAS)，
∴AD=CG，
∴CG=BC=BE+CE，
∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；
(2)设CE=a，BE=b，则AE=2a+b，AB=a+b，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即(a+b)2+b2=(2a+b)2，
解得b=3a，b=﹣a(舍)，
∴CEBC=aa+b=14；
(3)如图2，连接DG，
∵CG=DF，DC=DA，∠ADF=∠DCG，
∴△ADF≌△DCG(SAS)，
∴∠CDG=∠DAF，
∴∠HAF=∠FDG，
又∵∠AFH=∠DFG，
∴△AFH∽△DFG，
∴AFDF=FHFG，
又∵∠AFD=∠HFG，
∴△ADF∽△HGF，
∴∠ADF=∠FGH，
∵∠ADF=90°，
∴∠FGH=90°，
∴AG⊥GH．
【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识点．
【例4】．（2020·江西宜春·一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°，连接AC,BD．
（1）如图1,若A、O、D三点在同一条直线上，则AC与BD的关系是 ；

（2）如图2，若A、O、D三点不在同一条直线上,AC与BD相交于点E，连接OE,猜想AE、BE、OE之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，在(2)的条件下作BC的中点F,连接OF，直接写出AD与OF之间的关系．
【答案】（1）AC=BD且AC⊥BD；（2）AE=BE+2OE；证明见解析；（3）AD=2OF且AD⊥OF．
【分析】（1）根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长AC交BD于点C’进行角的等量代换进行分析即可；
（2）根据题意在AE上截取AM=BE,连接OM，并全等三角形的判定证明ΔAOC≅ΔBOD和ΔAMO≅ΔBEO，进而利用勾股定理得出OM2+OE2=ME2进行分析求解即可；
（3）过点B作BM∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，证明∆BFM≅∆CFO，∆AOD≅∆OBM，进而即可得到结论．
【详解】解：(1)∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°，
∴△AOC≅△BOD(SAS),AC=BD，
延长AC交BD于点C’，如下图：
∵△AOC≅△BOD, ∠ACO=∠BCC'，
∴∠ACO+∠CAO=∠BCC'+∠CBC'=90°,∠BC'C=90°，
即AC⊥BD，综上AC=BD且AC⊥BD，
故答案为：AC=BD且AC⊥BD；
(2)AE=BE+2OE
证明:在AE上截取AM=BE,连接OM
∵∠AOB=∠COD=90°
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC
∴∠AOC=∠BOD
在ΔAOC和ΔBOD中
{AO=BO∠AOC=∠BODOC=OD
∴ΔAOC≅ΔBOD(SAS)
∴∠CAO=∠DBO
在ΔAMO和ΔBEO中
{AM=BE∠MAO=∠EBOAO=BO
∴ΔAMO≅ΔBEO(SAS)
∴OM=OE,∠AOM=∠BOE
∵∠AOM+∠MOB=90°
∴∠BOE+∠BOM=90°
∴OM2+OE2=ME2
即2OE2=ME2
∴2OE=ME
∵ME+MA=AE
∴2OE+BE=AE；
(3)AD=2OF且AD⊥OF，理由如下：
过点B作BM∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，
∵BM∥OC，
∴∠M=∠FOC，
∵∠BFM=∠CFO，BF=CF,
∴∆BFM≅∆CFO（AAS），
∴OF=MF，BM=CO，
∵DO=CO，
∴DO=BM，
∵BM∥OC，
∴∠OBM+∠BOC=180°，
∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°，
∴∠OBM=∠AOD，
又∵AO=BO，
∴∆AOD≅∆OBM（SAS），
∴AD=OM=2OF ，∠BOM=∠OAD，
∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°，
∴∠OAD+∠AON=90°，即OF⊥AD．
∴AD=2OF且AD⊥OF．
【点睛】本题考查等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.
培优训练
一、解答题
1．（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②1