专题20函数与等腰三角形的存在性问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（教师版含解析）

这是一份专题20函数与等腰三角形的存在性问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（教师版含解析），共77页。

解题策略
经典例题
【例1】（2022秋•青岛期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s．两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题
（1）当t为何值时，EF∥AB？
（2）设四边形ABFE的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，四边形ABFE的面积S等于矩形ABCD面积的？
（4）当t为 或 时，△EFD是等腰三角形．
【分析】（1）由勾股定理求出BD，由平行线分线段成比例定理得出，则可得出答案；
（2）过点F作FG⊥AD于G，求出FG＝，求出三角形EDF的面积，根据S四边形ABFE＝S△ABD﹣S△EFD可求出答案；
（3）由面积关系列出方程可得出答案；
（4）由等腰三角形的性质分三种情况可求出答案．
【解答】解：（1）如图，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴BD＝＝＝10（cm），
∵EF∥AB，
∴，
∴，
∴t＝；
（2）∵AB＝6cm，AD＝BC＝8cm，
∴S△ABD＝×6×8＝24，
过点F作FG⊥AD于G，
∵FG∥AB，
∴，
∴，
∴FG＝，
∴S△EDF＝ED•FG＝＝﹣+6t，
∴S四边形ABFE＝S△ABD﹣S△EFD
＝24﹣（﹣+6t）
＝﹣6t+24；
（3）∵四边形ABFE的面积S等于矩形ABCD面积的，
∴×48，
∴t2﹣10t+10＝0，
解得t＝5﹣或t＝5+（舍去），
∴t＝5﹣；
（4）若△EFD是等腰三角形，可分三种情况，
①若ED＝DF，
∴2t＝10﹣t，
∴t＝；
②若ED＝EF，
如图，过点E作EH⊥BD于H，则FH＝DH＝（10﹣t），
∵∠EHD＝∠A＝90°，∠EDH＝∠ADB，
∴△EDH∽△BDA，
∴，
∴，
∴t＝；
③若EF＝DF，过点F作FM⊥AD于M，则，
∴，
解得t＝＞4，不合题意，舍去．
综上所述，t的值为或．
故答案为：或．
【例2】（2022•佳木斯模拟）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形ABCD的边长是方程x2﹣8x+16＝0的根．点P从点B出发，沿BC→CD向点D运动，同时点Q从点E出发，沿EB→BC向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动设点P运动的时间为t秒，△APQ的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式；
（3）当△AQP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）解方程求出正方形ABCD的边长，即可得点C的坐标；
（2）分两种情况：①0＜t＜2时，S＝S△APQ；②2≤t≤4时，S＝S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△ABQ﹣S△APQ＝S△CPQ；根据面积公式可得S关于t的函数关系式；
（3）分两种情况：①0＜t≤2时；②2＜t≤4时，利用勾股定理表示出AQ2、PQ2，AP2，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长是方程x2﹣8x+16＝0的根．
解方程x2﹣8x+16＝0得x＝4，
∴正方形ABCD的边长为4，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，BC⊥AB，CD⊥AD，
∴点C的坐标为（4，4）；
（2）∵E为AB的中点，
∴BE＝AE＝AB＝2，
∵由题意得：0≤t≤4，
分两种情况：
①0＜t＜2时，如图：
由题意得：EQ＝t，BP＝2t，
∴AQ＝AE+EQ＝2+t，
∴S＝S△APQ＝AQ•BP＝×（2+t）×2t＝t2+2t；
②2≤t≤4时，如图：
由题意得：EB+BQ＝t，BC+CP＝2t，
∴BQ＝t﹣BE＝t﹣2，CQ＝BC+BE﹣t＝6﹣t，CP＝2t﹣BC＝2t﹣4，PD＝BC+CD﹣2t＝8﹣2t，
∴S＝S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△ABQ﹣S△APQ﹣S△CPQ
＝4×4﹣×4（8﹣2t）﹣×4（t﹣2）﹣（6﹣t）（2t﹣4）
＝t2﹣6t+16，
∴S关于t的函数关系式为S＝；
（3）分两种情况：
①0＜t≤2时，如图：
由题意得：EQ＝t，BP＝2t，
∴AQ＝AE+EQ＝2+t，BQ＝2﹣t
∴AQ2＝（2+t）2＝t2+4t+4，
PQ2＝BQ2+BP2＝（2﹣t）2+（2t）2＝5t2﹣4t+4，
AP2＝AB2+BP2＝42+（2t）2＝16+4t2，
当AQ＝PQ时，AQ2＝PQ2，
∴t2+4t+4＝5t2﹣4t+4，解得t＝0（舍去）或2，
∴BP＝4，
∴P（4，4）；
当AQ＝AP时，AQ2＝AP2，
∴t2+4t+4＝16+4t2，方程无解，
∴此种情况不存在；
当AP＝PQ时，AP2＝PQ2，
∴16+4t2＝5t2﹣4t+4，解得t＝6（舍去）或﹣2（舍去），
∴此种情况不存在；
∴当0≤t≤2，△AQP是等腰三角形时，P（4，4）；
②2＜t≤4时，如图：
由题意得：EB+BQ＝t，BC+CP＝2t，
∴BQ＝t﹣+BE＝t﹣2，CQ＝BC+BE﹣t＝6﹣t，CP＝2t﹣BC＝2t﹣4，PD＝BC+CD﹣2t＝8﹣2t，
∴AQ2＝AB2+BQ2＝42+（t﹣2）2＝t2﹣4t+20，
PQ2＝CQ2+CP2＝（6﹣t）2+（2t﹣4）2＝5t2﹣28t+52，
AP2＝AD2+DP2＝42+（8﹣2t）2＝4t2﹣32t+80，
当AQ＝PQ时，AQ2＝PQ2，
∴t2﹣4t+20＝5t2﹣28t+52，解得t＝2（舍去）或4，
∴DP＝0，
∴P（0，4）；
当AQ＝AP时，AQ2＝AP2，
∴t2﹣4t+20＝4t2﹣32t+80，解得t＝6（舍去）或，
∴DP＝，
∴P（，4）；
当AP＝PQ时，AP2＝PQ2，
∴4t2﹣32t+80＝5t2﹣28t+52，解得t＝﹣2﹣4（舍去）或4﹣2，
∴DP＝12﹣8，
∴P（12﹣8，4）；
∴当2＜t≤4，△AQP是等腰三角形时，P（0，4）或（，4）或（12﹣8，4）；
综上所述，当△AQP是等腰三角形时，点P的坐标为（4，4）或（0，4）或（，4）或（12﹣8，4）．
【例3】（2022秋•前郭县期中）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，若点P为抛物线上第二象限内的一点，且到y轴的距离是2．点M为线段CO上的一个动点，求△APM周长的最小值；
（3）如图②，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先根据对称轴确定h的值，再将B（2，0），C（0，4）代入，求函数的解析式即可；
（2）先确定P点坐标，作A点关于y轴的对称点为A'（4，0），连接PA'与y轴交于点M，则有AM+PM+AP≥AP+A'P，所以△APM周长的最小值为PA'+AP；
（3）先求出旋转后C点旋转后的点C'（﹣12，﹣4），B'（﹣10，0），再用待定系数法求旋转后的抛物线解析式y＝﹣x2﹣x﹣10，设Q（﹣7，t），分别求出AC＝4，AQ＝，CQ＝，再根据等腰三角形边的性质，分三种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴h＝﹣1，
∴y＝a（x+1）2+k，
将B（2，0），C（0，4）代入，
∴，
解得，
∴y＝﹣（x+1）2+；
（2）∵P点到y轴的距离是2，
∴P点横坐标为﹣2，
∴P（﹣2，4），
令y＝0，则﹣（x+1）2+＝0，
解得x＝2或x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（2，0），
∴A点关于y轴的对称点为A'（4，0），
连接PA'与y轴交于点M，
∴AM＝A'M，
∴AM+PM+AP＝AP+A'M+PM≥AP+A'P，
∴PA'＝2，AP＝2，
∴△APM周长的最小值为2+2；
（3）存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形，理由如下：
∵C（0，4），B（2，0），
∴C点旋转后的点C'（﹣12，﹣4），B'（﹣10，0），
设旋转后的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x﹣10，
∵y＝﹣x2﹣x﹣10＝﹣（x+7）2﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣7，
设Q（﹣7，t），
∴AC＝4，AQ＝，CQ＝，
当AC＝AQ时，4＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（﹣7，）或（﹣7，﹣）；
当AC＝CQ时，4＝，
此时不存在；
当AQ＝CQ时，＝，
解得t＝7，
∴Q（﹣7，7）；
综上所述：Q点坐标为（﹣7，）或（﹣7，﹣）或（﹣7，7）．
【例4】（2022秋•法库县期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点（在x轴正半轴上，直线AC交y轴于点M．连接BM，AB边交y轴于点H．
（1）求MH的长；
（2）如图2所示，动点P从点A出发，沿折线．A→B→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形？如存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由．
【分析】（1）由A点的坐标，利用勾股定理和菱形的性质易得点C的坐标，由A，C的坐标可得直线AC的解析式；令x＝0，解得y，得OM的长，可求出MH；
（2）设点M到BC的距离为h，由△ABC的面积易得h，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当P在直线AB上运动；②当P运动到直线BC上时分别得△PBM的面积；
（3）分三种情况讨论：①当MB＝MP时，PH＝BH，解得t；②当BM＝BP时，利用勾股定理可得BM的长，易得t．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣3，4），
∴OA＝5，即C点的坐标为（5，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝，
令x＝0得：y＝，
即OM＝，
∴MH＝4﹣＝；
（2）设点M到BC的距离为h，
由S△ABC＝S△ABM+S△BCM，
即，
∴h＝，
①当P在直线AB上运动时△PBM的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：
S＝（5﹣t）×，即S＝﹣（0≤t＜5）；
②当P运动到直线BC上时△PMB的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：
S＝[5﹣（10﹣t）×]，即S＝t（5＜t≤10）；
∴S与t之间的函数关系式为S＝；
（3）存在①当MB＝MP时，
∵点A的坐标为（﹣3，4），AB＝5，MB＝MP，MH⊥AB，
∴PH＝BH，即3﹣t＝2，
∴t＝1；
②当BM＝BP时，即5﹣t＝，
解得：t＝．
综上所述，当t＝1或时，△PMB为以BM为腰的等腰三角形．
培优训练
一．解答题
1．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为对角线AC上的一个动点．
（1）如图①，连接BE作EF⊥BE交线段DC于点F，的值；
（2）如图②，连接DE，作EF⊥DE交射线BC于点F．
①设CF＝y，AE＝x，当点F在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式；
②当△EFC为等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）过点E作PQ⊥AB，分别交AB、CD于P、Q，则四边形PBCQ是矩形，BP＝CQ，证明△CEQ∽△CAD，可得，则，再证明△BEP∽△EFQ，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）①点E作MN⊥BC，分别交AD、BC于M、N，可证明△AME∽△ADC，可用x表示出MD和ME，进一步可证明△DME∽△ENF，可找到y与x之间的关系式；
②分点F在线段BC上和在线段BC的延长线上，当点F在线段BC上时，可证明△DEF≌△DCF，可得到DF⊥AC，可求得HC，则可求得AE；当点F 在线段BC的延长线上时，可证明AD＝AE，可求得AE的长，则可得出x的值．
【解答】解：（1）过点E作PQ⊥AB，分别交AB、CD于P、Q，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，AB∥CD，
∴四边形PBCQ是矩形，EQ∥AD，
∴∠BPE＝∠EQF＝90°，BP＝CQ，△CEQ∽△CAD，
∴，
∴，
∵EF⊥BE，
∴∠BEP＝∠FEQ＝90°，
∵∠BPE＝∠EQF＝90°，
∴∠BEP+∠PBE＝90°，
∵∠PBE＝∠QEF，
∴△BEP∽△EFQ，
∴＝＝；
（2）①如图，过点E作MN⊥BC，分别交AD、BC于M、N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，且AD＝4，CD＝AB＝3，
∴AC＝5，
∴MN∥DC，
∴△AME∽△ADC，
∴，即，
∴AM＝x，ME＝x，
∴MD＝4﹣x，NE＝3﹣x，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEM+∠FEN＝90°，
∵∠DME＝90°，
∴∠DEM+∠EDM＝90°，
∴∠EFN＝∠EDM，
∵∠DME＝∠ENF＝90°，
∴△DME∽△ENF，
∴，即＝，
∴NF＝x，
∵CF＝BC﹣BN﹣NF，
∴y＝4﹣x﹣x＝4﹣x；
②当点F在线段BC上时，如图，连接DF，交AC于点H，
∵∠EFC＞90°，
∴当△EFC为等腰三角形时，则有FE＝FC，
在Rt△DEF和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL），
∴∠EFD＝∠CFD，
∴DF⊥AC，
∴S△ACD＝AC•DH＝AD•CD，
∴5DH＝4×3
∴DH＝，
∴AH＝＝，
∴HC＝AC﹣AH＝5﹣＝，
∴AE＝5﹣2HC＝5﹣×2＝；
当点F在BC的延长线上时，如图，延长DE交BC于H，
∵∠ECF＞90°，
∴当△EFC为等腰三角形时，则有CE＝CF，
∵∠FEH＝90°，CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF，
∴∠F+∠EHC＝∠HEC+∠CEF＝90°，
∴∠EHC＝∠HEC，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CHE，∠AED＝∠CEH，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝4；
综上可知当△EFC为等腰三角形时，x的值为或4．
2．（2022春•惠山区期中）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝8．延长BC到D，使得CD＝BC，以AC、CD为邻边作平行四边形ACDE，连接BE交AC于点O．
（1）求证：四边形ABCE为菱形；
（2）如图2，点P是射线BC上一动点（不与点B、C、D重合），设BP＝x，连接PO并延长，延长线交直线AE于点Q．
①以P、Q、E、D四点围成的四边形面积记为S，求S与x的函数关系式；
②当△POC为等腰三角形时，求x的值．
【分析】（1）证明四边形ABCE为平行四边形，根据菱形的判定得出即可；
（2）①分三种情况：Ⅰ点P在线段BC上时，首先过E作EF⊥BD交BD于F，则∠EFB＝90°，证出△QOE≌△POB，利用QE＝BP，得出四边形PQED的面积为定值；Ⅱ点P在线段CD上时，同Ⅰ可得四边形PQED的面积为定值；Ⅲ点P在线段BD的延长线上时，根据梯形的面积公式求解即可；
②分三种情况：ⅠOP＝OC时，ⅡOC＝CP时，ⅢOP＝CP时，利用等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD，AE∥CD，
∵CD＝BC，
∴AE＝BC，AE∥BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∵AB＝BC＝5，
∴四边形ABCE是菱形；
（2）解：①分三种情况：
Ⅰ点P在线段BC上时，过E作EF⊥BD交BD于F，则∠EFB＝90°，
∵四边形ABCE是菱形，
∴AE∥BC，OB＝OE，OA＝OC，OC⊥OB，
∵AC＝8，
∴OC＝4，
∵BC＝5，
∴OB＝3，sin∠OBC＝，
∴BE＝6，
∴EF＝BE•sin∠OBC＝6×＝，
∵AE∥BC，
∴∠AEO＝∠CBO，四边形PQED是梯形，
在△QOE和△POB中，
，
∴△QOE≌△POB（ASA），
∴QE＝BP，
∴S梯形PQED＝（QE+DP）•EF
＝（BP+DP）×EF
＝×BD×EF
＝×2BC×EF
＝BC×EF
＝5×
＝24；
Ⅱ点P在线段CD上时，
同Ⅰ可得：四边形PQED的面积为24；
Ⅲ点P在线段BD的延长线上时，以P、Q、E、D四点围成的四边形为梯形PDQE，
∵BP＝x，BD＝2BC＝10，
∴PD＝x﹣10，
在△QOE和△POB中，
，
∴△QOE≌△POB（ASA），
∴QE＝BP＝x，
∴S梯形PDQE＝（QE+DP）•EF
＝（x+x﹣10）×
＝x﹣24；
综上，S与x的函数关系式为S＝；
②解：△POC为等腰三角形，分三种情况：
ⅠOP＝OC时，如图，点P不在射线BC上，故此种情况不存在；
ⅡOC＝CP时，如图，
∵OC＝4，BC＝CD＝5，
∴PC＝P′C＝4，
∴BP＝5﹣4＝1，BP′＝5+4＝9，
∴x的值为1或9；
ⅢOP＝CP时，如图，过点P作PH⊥OC于H，
∵OB＝3，BC＝5，OC＝4，
∴CH＝OH＝2，
∴cs∠OCB＝，
∴，
∴PC＝，
∴BP＝5﹣＝．即x的值为；
综上，x的值为1或9或．
3．（2020秋•浦东新区校级期末）已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．
（1）求折痕AD长．
（2）点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（3）当△APD是等腰三角形时，求AP的长．
【分析】（1）由翻折可知：CD＝DC′，AC＝AC′＝3，设CD＝DC′＝x，在Rt△BDC中，根据BD2＝C′D2+C′B2，构建方程即可解决问题．
（2）利用勾股定理即可解决问题．
（3）分三种情形：①PA＝PD，②AP＝AD，③当PD＝AD时，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，
由翻折可知：CD＝DC′，AC＝AC′＝3，设CD＝DC′＝x，
在Rt△BDC中，∵BD2＝C′D2+C′B2，
∴（4﹣x）2＝x2+22，
解得x＝，
∴AD＝＝＝．
（2）如图2中，当点P在C'D左侧，AC＝AC'＝3，则PC'＝3﹣x，
∵，
∴y＝＝（0≤x≤10）．
当点P在C'D右侧，同理可得y＝（0≤x≤10）．
∴y关于x的函数解析式为y＝（0≤x≤10）．
（3）如图3中，
①当PA＝PD时，设PA＝PD＝m，
在Rt△PCD中，∵PD2＝DC′2+C′P2，
∴m2＝（）2+（3﹣m）2，
解得m＝，
∴PA＝．
②当AD＝AP′＝时，△ADP′是等腰三角形，
③当PD＝AD时，点P在AB的延长线上．如图4，
AP＝2AC'＝6．
综上所述，满足条件的PA的值为或或6．
4．（2022春•厦门期末）如图，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP．
（1）求∠B的度数；
（2）当点P在线段CB上时，设BE＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△APB为等腰三角形时，请直接写出AE的值．
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再由AC＝BC即可得出答案；
（2）作AD⊥BC，垂足为点D．由直角三角形30°角所对边等于斜边一半知AD＝AB＝3，EF＝BE＝x，求出CP和AD的长，由勾股定理可得出答案；
（3）分三种情况画出图形，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵AC＝2，BC＝4，AB＝6，
∴AC2+AB2＝48，BC2＝48，
∴AC2+AB2＝BC2．
∴∠BAC＝90°．
又∵AC＝2，BC＝4，
∴AC＝BC，
∴∠B＝30°．
（2）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为点D．
在△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°，
∴AD＝AB＝3，
同理，EF＝BE＝x．
在Rt△EFB中，EF2+FB2＝EB2，即（x）2+BF2＝x2，
∴BF＝x，
又∵BP＝2BF，
∴BP＝x．
∴CP＝CB﹣PB＝4﹣x，
∵CD＝AC＝，
∴DP＝4﹣x﹣＝3﹣x，
∴AP＝＝＝（0＜x≤4），
∴y关于x的函数解析式为y＝（0＜x≤4）；
（3）如图2，当点P在线段CB上时，AP＝PB，
过点P作PM⊥AB于点M，
则BM＝＝3，
∴PB＝2，
由（2）可知2＝x，
∴BE＝2，
∴AE＝4；
如图3，当点P在线段BC上，且AB＝PB＝6，
∴BF＝PB＝3，
∴BE＝2，
∴AE＝6﹣2；
如图4，当点P在射线CB上时，BA＝BP＝6，
同理可求出BE＝2，
∴AE＝6+2．
综合以上可得，AE的长为4或6﹣2或6+2．
5．（2020秋•郫都区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知OA＝OB＝6，点P是第一象限内在直线AB上一点．
（1）直接写出k，b的值；
（2）设P（x，y），求△OPA的面积S与x的函数解析式；
（3）当△POA是等腰三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A，点B坐标代入解析式可求解；
（2）过点P作PH⊥OA于H，先求出PH的长，由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝6，
∴点A（6，0），点B（0，6），
∴，
∴
∴k＝﹣1，b＝6；
（2）如图，过点P作PH⊥OA于H，
∵点P（x，y）是第一象限内在直线y＝﹣x+6上一点．
∴PH＝﹣x+6（0＜x＜6），
∴S＝×OA×PH＝×6×（﹣x+6）＝﹣3x+18（0＜x＜6）；
（3）∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
若OP＝PA时，
又∵PH⊥OA，∠BAO＝45°，
∴OH＝HA＝3，∠HPA＝∠PAH＝45°，
∴AH＝PH＝3，
∴点P（3，3）；
若OA＝AP＝6时，
∵PH⊥OA，∠BAO＝45°，
∴∠HPA＝∠PAH＝45°，
∴AH＝PH＝3，
∴OH＝6﹣3，
∴点P（6﹣3，3），
综上所述：点P坐标为（3，3）或（6﹣3，3）．
6．（2021•永嘉县校级模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，DB⊥BC于点B，E，F，G分别在AC，BC，AC的延长线上，连接BG，EF的延长线分别交BG，DB于点K，H．已知CE，CF，CG的长度分别为3t，4t，4t（0＜t＜1）．
（1）求证：HB＝EA．
（2）设y＝．
①求y关于t的函数表达式．
②当△HBK为等腰三角形时，求所有满足条件的y的值．
（3）如图2，过点F作FP∥AC交AB于点P，连接KP交BF于点M．记△KPF，四边形EFPA的面积分别为S1，S2．当tan∠KPB＝时，求的值．
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质解答即可；
（2）①根据勾股定理和相似三角形的性质解答即可；
②根据勾股定理和等腰三角形的性质分三种情况解答即可；
（3）根据面积公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，DB⊥BC，
∴BH∥AC，
∵，且∠ECF＝∠ACB，
∴△ACB∽△ECF，
∴∠FEC＝∠BAC，
∴HE∥BA，
∵BH∥AC，HE∥BA，
∴四边形AEHB为平行四边形，
∴HB＝EA；
（2）①如图1，∵CE＝3t，CF＝4t，
∴EF＝，
由（1）可知KE∥BA，
∴△KGE∽△BGA，
∴，
∴，
∴KF＝，
∴y＝；
②△HBK为等腰三角形时，分以下情况，
（a）当HB＝HK，
∵HB＝AE＝3﹣3t，HK＝HE﹣KE＝5﹣KF﹣FE＝5﹣，
∴3﹣3t＝5﹣，
∴t＝2或，y＝或﹣，
（b）当HB＝BK，
∵HB＝BK，
∴∠BHK＝∠BKH，
∵∠BKH＝∠GKF，∠BHE＝∠HEG，
∴∠GKF＝∠HEG，
∴GK＝GE，
∴GB＝GA，
∴GB＝＝GA＝4t+3，
∴t＝，y＝﹣，
（c）当HK＝BK，则GK＝EK，，
∴AB＝BG，
∴5＝，
∴t＝或﹣（舍去），
∴y＝﹣，
综上所述，y＝；
（3）如图2，tan∠KPB＝，tan∠BPF＝tan∠BAC＝，
∴tan∠KPF＝tan（∠BPF﹣∠KPB）＝，
∴，
∴S2＝S四边形EFPA＝PF•CF＝（3﹣3t）×4t，
∴．
7．（2020秋•伊通县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，动点E、F同时从点B出发，分别沿BA、BC的方向向终点A、终点C运动，点E的速度是1cm/s，点F的速度是2cm/s，当一点到达终点后，两点同时停止运动，设运动时间为t（s），四边形DAEF的面积为S（cm2）．
（1）求S与t的函数关系式；
（2）当△DEF为等腰三角形时，求t的值．
【分析】（1）根据矩形和三角形面积公式解答即可；
（2）根据勾股定理和等腰三角形的性质分三种情况解答即可．
【解答】解：（1）由题可知：BE＝t，BF＝2t，CF＝20﹣2t，AE＝10﹣t，
∴S＝S矩形ABCD﹣S△BEF﹣S△CDF
＝
＝﹣t2+10t+100；
（2）由勾股定理可得：EF2＝BE2+BF2＝t2+（2t）2＝5t2，
DF2＝CD2+CF2＝102+（20﹣2t）2＝4t2﹣80t+500，
DE2＝AE2+AD2＝（10﹣t）2+202＝t2﹣20t+500，
①当DE＝DF时，DE2＝DF2，
即t2﹣20t+500＝4t2﹣80t+500，
解得：t1＝0，t2＝20，都不符合题意，舍去，
②当DE＝EF时，DE2＝EF2，
即t2﹣20t+500＝5t2，
解得：（不符合题意，舍去），，
③当EF＝DF时，EF2＝DF2，
即5t2＝4t2﹣80t+500，
解得：，（不符合题意，舍去），
综上所述，当△DEF为等腰三角形时，或．
8．（2020秋•东城区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm，P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，
①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为 0.83或2.49（答案不唯一） cm；
②记AB所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为 5.32（答案不唯一） cm．
【分析】（1）利用图象法解决问题即可；
（2）描点绘图即可；
（3）①分PB＝PB、PC＝BC、PB＝BC三种情况，分别求解即可；
②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，观察图象即可求解．
【解答】解：（1）由画图可得，x＝2时，y1≈3.09cm（答案不唯一）．
故答案为：3.09（答案不唯一）．
（2）描点绘图如下：
（3）①由y1与y2的交点的横坐标可知，x≈0.83cm时，PC＝PB，
当x≈2.49cm时，y2＝5cm，即PC＝BC，
观察图象可知，PB不可能等于BC，
故答案为：0.83或2.49（答案不唯一）．
②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，从图象看，PC＝y2≈5.32cm，
故答案为5.32（答案不唯一）．
9．（2020•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，
①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为 0.83或2.49（答案不唯一） cm；
②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为 5.32（答案不唯一） cm．
【分析】（1）利用图象法解决问题即可；
（2）描点绘图即可；
（3）①分PB＝PB、PC＝BC、PB＝BC三种情况，分别求解即可；
②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，观察图象即可求解．
【解答】解：（1）由画图可得，x＝2时，y1≈3.09cm（答案不唯一）．
故答案为：3.09（答案不唯一）．
（2）描点绘图如下：
（3）①由y1与y2的交点的横坐标可知，x≈0.83cm时，PC＝PB，
当x≈2.49cm时，y2＝5cm，即PC＝BC，
观察图象可知，PB不可能等于BC，
故答案为：0.83或2.49（答案不唯一）．
②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，从图象看，PC＝y2≈5.32cm，
故答案为5.32（答案不唯一）．
10．（2020•长春模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连接PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；
（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（3）由两点距离公式可求解；
（4）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），
∴
解得：
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣3）
设直线BC解析式为：y＝kx﹣3，
∴0＝3k﹣3
∴k＝1，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3；
（3）∵设点P的横坐标为m，PQ∥y轴，
∴点P（m，﹣m2+4m﹣3），点Q（m，m﹣3），
当0＜m＜3时，PQ＝d＝﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m，
当3≤m＜4时，PQ＝d＝（m﹣3）﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣3m；
（4）B（3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PQ∥OC，
∴∠PQB＝45°，
若BP＝PQ，
∴∠PQB＝∠PBQ＝45°，
∴∠BPQ＝90°，即点P与点A重合，
∴m＝1，
若BP＝QB，
∴∠BQP＝∠BPQ＝45°，
∴∠QBP＝90°，
∴BP解析式为：y＝﹣x+3，
∴
解得：，
∴点P（2，1）
∴m＝2；
若PQ＝QB，
∴（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（﹣m2+3m）2，或（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（m2﹣3m）2，
∴m＝±，
综上所述：m＝1或2或±．
11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，将一个30°角的顶点P放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC，且交边AC于点E，30°角的另一边交射线BC于点D，联结ED．
（1）四边形PEDC有可能为平行四边形吗？若可能，求出PEDC为平行四边形时AP的长，若不可能，请说明理由；
（2）设AP＝x，在移动的过程中，这个角和Rt△ABC重叠部分的图形面积为y，试建立y与x之间的函数关系式，并求出函数定义域；
（3）若△PED是等腰三角形，求AP的长．（请直接写出AP的长）
【分析】（1）设CE、DP交于点F，由四边形PEDC是平行四边形，得出PE＝CD，CF＝EF，求出∠FPA＝90°，由含30°角的直角三角形的性质得出AF＝2PF＝4EF＝4CF，推出AF＝AC，AE＝AC，则＝＝，即可得出结果；
（2）点D与点C重合时，AP＝3，当0＜x≤3时，PE＝x，FE＝，由三角形面积公式即可得出结果；
当3＜x＜4时，PD延长线交AC延长线于点H，PE＝x，由三角函数得出EH＝，求出CH＝（2x﹣6）•，由三角形面积公式即可得出结果；
（3）分两种情况：①PE＝DE时，证出＝＝，即可求出AP的长；
②PD＝ED时，证出＝＝，即可得出AP的长；
③当D在线段BC上，PE＝PD时，由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）有可能；
∵PE∥BC，
∴当PE＝CD时，四边形PEDC是平行四边形；
设CE、DP交于点F，如图1所示：
∵四边形PEDC是平行四边形，
∴PE＝CD，CF＝EF，
∵PE∥BC，
∴∠APE＝∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠DPE＝30°，
∴∠FPA＝90°，
∴AF＝2PF＝4EF＝4CF，
∴AF＝AC，AE＝AC，
∵PE∥BC，
∴＝＝，
∴AP＝AB＝；
（2）∵∠DPA＝90°，∠DPE＝30°，点D与点C重合时，BP＝BC＝AB＝1，则AP＝3，
当0＜x≤3时，PE＝x，FE＝PE•tan30°＝x•＝，
y＝PE•FE＝•x•＝；
当3＜x＜4时，PD延长线交AC延长线于点H，如图2所示：
PE＝x，EH＝PE•tan30°＝x•＝，
BP＝4﹣x，BD＝2BP＝8﹣2x，CD＝2﹣BD＝2x﹣6，CH＝CD•tan30°＝（2x﹣6）•，
y＝•PE•EH﹣CD•CH＝•x•﹣（2x﹣6）（2x﹣6）＝﹣+4x﹣6
综上所述：y＝（0＜x≤3），y＝﹣+4x﹣6（3＜x＜4）；
（3）①PE＝DE时，
∵△PED是等腰三角形，
∴∠EPD＝∠EDP＝30°，∠PED＝120°时，如图1所示：
∠EDF＝∠DEF＝30°，
∴EF＝FD，CF＝DF，
∴EF＝2CF，PE＝tan60°EF＝2CF，AE＝tan60°PE＝×2CF＝6CF，
∴AC＝9CF，
∴＝＝＝，
∴AP＝AB＝；
②当PD＝ED时，
∵△PED是等腰三角形，
∴∠EPD＝∠DEP＝30°，∠PDE＝120°时，如图3所示：
∵PE∥BC，
∴∠EDC＝∠PED＝30°，
∴EC＝DE，
过D作DG⊥PE于G，则PG＝EG，
GE＝cs30°DE＝×2EC＝EC，
PE＝2GE＝2EC，
AE＝tan60°PE＝×2EC＝6EC，
∴AC＝7EC，
∴＝＝，
∴AP＝AB＝；
③当D在线段BC上，PE＝PD时，如图4所示：
由（2）得：PE＝AP＝x，
∵PE∥BC，
∴∠BDP＝∠DPE＝30°，
∵∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BPD＝90°，
∴PD＝BP，
∴（4﹣x）＝x，
解得：x＝，
即AP＝；
综上所述：△PED是等腰三角形时，AP的长为或或．
12．（2021秋•道县期末）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD＝DE，AE＝DE，AD＝AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．
【解答】（1）证明：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴∠B＝∠C＝∠ADE＝45°
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴BC＝，CD＝﹣x，EC＝1﹣y，
∴＝，
∴y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+（0＜x＜）；
（3）当AD＝DE时，△ABD≌△CDE，
∴BD＝CE，
∴x＝1﹣y，即 x﹣x2＝x，
∵x≠0，
∴等式左右两边同时除以x得：x＝﹣1
∴AE＝1﹣x＝2﹣，
当AE＝DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
所以，AE＝；
当AD＝AE时，∠DAE＝90°，D与B重合，不合题意；
综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，
AE的长为2﹣或 ．
13．（2022秋•肇源县期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），与正比例的函数y＝x的图象交于点C．
（1）求一次函数的解析式及点C的坐标；
（2）请结合图象直接写出不等式组0＜kx+b≤2的解集；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△COP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用选定系数法求解即可；
（2）由图象即可求解；
（3）分①OC＝PC、②OC＝OP、②CP＝OP三种情况解答即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3，
∵与函数y＝x的图象交于点C，
∴﹣x+3＝x，
∴x＝2，
当x＝2时，y＝x＝2，
∴点C的坐标（2，2）；
（2）由图象得：0＜kx+b≤2即一次函数y＝kx+b的图象在正比例的函数y＝x的图象的下方，并在x轴的上方，
∵一次函数的解析式为y＝﹣x+3，C点的坐标（2，2），点A（6，0），
∴不等式组0＜﹣x+3≤2的解集为2≤x＜6；
（3）设P（m，0），
∵O（0，0），C（2，2）．
∴OC2＝22+22＝8，
PC2＝22+（m﹣2）2＝4+（m﹣2）2，
OP2＝m2，
要使△COP是等腰三角形，
①当OC＝PC时，
∴OC2＝PC2，
4+（m﹣2）2＝8，
解得m＝0或m＝4，
当m＝0时与O点重合（舍去），
∴m＝4，
∴P（4，0）；
②当OC＝OP时，
∴OC2＝OP2，
∴m2＝8，
∴m＝2或m＝﹣2，
∴P（2，0）或（﹣2，0）；
③当CP＝OP时，
∴PC2＝OP2，
∴4+（m﹣2）2＝m2，
解得m＝2，
∴P（2，0）．
综上所述，存在，P点的坐标为（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
14．（2022秋•鹿城区校级月考）如图1，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在AB上且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段DB，BC向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设BQ＝x，AP＝y．
（1）求AD的值．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PE⊥AC于点E，连结PQ，EQ．
①当△PEQ为等腰三角形时，求x的值．
②过D作DF⊥BC于点F，作点F关于EQ的对称点F'，当点F'落在△PQB的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为 ．
【分析】（1）求出AB的长，进一步求得结果；
（2）先表示出DP的长，进而求得结果；
（3）①先表示出PE，PQ和EQ的长，进而根据PE＝PQ，PE＝EQ，PQ＝EQ列出方程，从而求得结果．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵AD＝AB﹣BD＝5﹣＝；
（2）由题意得，
，
∴，
∴DP＝，
∴AP＝AD+DP＝，
∴y＝x+；
（3）①如图1，
作QG⊥AB于G，
在Rt△APE中，
PE＝AP•sinA＝AP•＝（+）＝（x+1），
AE＝AP•csA＝AP＝x+1，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣（x+1）＝3﹣x，
∵CQ＝BC﹣BQ＝3﹣x，
∴EQ＝（3﹣x），
在Rt△BQG中，
BG＝BQ•csB＝x，QG＝BQ•sinB＝x，
∴PG＝AB﹣AB﹣BG＝5﹣（x+1）﹣x＝﹣x，
∴PQ2＝（）2+（﹣）2，
当EQ＝PQ时，
[]2＝（）2+（﹣x）2，
化简得，
11x2﹣10x﹣21，
∴x1＝，x2＝﹣1（舍去），
当PE＝PQ时，
[（x+1）]2＝（）2+（﹣x）2，
化简得，
7x2﹣30x+27＝0，
∴x3＝，x2＝3（舍去），
当EQ＝PE时，
（3﹣x）＝（x+1），
∴x＝，
综上所述：x＝或或；
②∵BF＝BD•csB＝＝，
∴x＜，
由（2）得，
CE＝CQ，
∵∠C＝90°，
∴∠CQE＝∠CEQ＝45°，
∴当∠EQP＞∠CQE，且FQ＜PQ时，点F′在△EPQ的内部，
此时∠PQB＜90°，
∴，
∴x＞，
又，
故答案为：．
15．（2022秋•临澧县期中）如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象经过B（2，a），交y轴于点A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数表达式；
（2）将直线AB向右平移1个单位长度，得到对应直线MN，求直线MN与反比例函数图象的交点坐标；
（3）将线段AB向右平移m个单位长度，得到对应线段CD，连接AC、BD．在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．
【分析】（1）先将点B坐标代入直线AB的解析式中，求出a，再将点B坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；
（2）先确定平移后的直线MN的解析式，联立直线与反比例函数的解析式，即可得出结论；
（3）先表示出点C，D坐标，再分两种情况：Ⅰ、当BC＝CD时，判断出点B在AC的垂直平分线上，即可得出结论；
Ⅱ、当BC＝BD时，先表示出BC，用BC＝BD建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，
得﹣2×2+8＝a，
∴a＝4，
∴B（2，4），
将B（2，4）代入反比例函数解析式y＝（x＞0）中，
得k＝xy＝2×4＝8；
∴反比例函数表达式为：y＝．
（2）∵将直线AB向右平移1个单位长度，得到对应直线MN，
∴直线MN的解析式为：y＝﹣2（x﹣1）+8＝﹣2x+10，
联立，
解得或．
∴直线MN与反比例函数图象的交点坐标为：（4，2），（1.8）；
（3）如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A（0，8），B（2，4），
∴C（m，8），D（m+2，4），
若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，需要分以下两种情况：
Ⅰ、当BC＝CD时，
∴BC＝AB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴m＝2×2＝4，
Ⅱ、当BC＝BD时，
∵B（2，4），C（m，8），
∴BC＝，
∴＝m，
∴m＝5，
综上可知，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．
16．（2022秋•靖江市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC ＝ ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH有什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m．
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值；
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
【分析】（1）由四边形ABCD是边长为4的正方形得AB＝CB＝AD＝DC＝4，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，所以∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠DCA＝45°，则∠AHC＝∠ACG＝45°﹣∠ACH；
（2）先证明∠HAC＝∠CAG，由（1）得∠AHC＝∠ACG，则△AHC∽△ACG，得，所以AC2＝AG•AH；
（3）①因为S△AGH＝AG•AH＝AC2，AC2＝AB2+CB2＝62+62＝72，所以S△AGH＝36，可知△AGH的面积S为定值，这个定值是36；
②分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质以及全等三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴AB＝CB＝AD＝DC＝6，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠AHC＝∠DAC﹣∠ACH＝45°﹣∠ACH，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACG＝45°﹣∠ACH，
∴∠AHC＝∠ACG，
故答案为：＝；
（2）AC2＝AG•AH，
理由：∵∠HAC＝180°﹣∠DAC＝135°，∠CAG＝180°﹣∠BAC＝135°，
∴∠HAC＝∠CAG，
∵∠AHC＝∠ACG，
∴△AHC∽△ACG，
∴，
∴AC2＝AG•AH；
（3）①不变化，
∵∠GAH＝∠BAD＝90°，
∴S△AGH＝AG•AH＝AC2，
∵AC2＝AB2+CB2＝62+62＝72，
∴S△AGH＝×72＝36，
∴△AGH的面积S为定值，这个定值是36；
②当△CGH是等腰三角形，且CH＝HG时，
∴∠HGC＝∠HCG＝45°，
∴∠CHG＝90°，
∴∠DCH＝∠AHG＝90°﹣∠DHC，
∵∠D＝∠GAH＝90°，
∴△DCH≌△AHG（AAS），
∴AH＝DC＝AD＝6，
∵AE∥DC，
∵△HAE∽△HDC，
∴＝＝，
∴m＝AE＝DC＝×6＝3；
当△CGH是等腰三角形，且CG＝GH时，
∴∠GCH＝∠GHC＝45°，
∴∠CGH＝90°，
∴∠BCG＝∠AGH＝90°﹣∠BGC，
∵∠B＝∠GAH＝90°，
∴△BCG≌△AGH（AAS），
∴BC＝AG＝AB＝6，
∴AH＝BG＝AG+AB＝6+6＝12，
∵AH∥BC，
∴△AEH∽△BEC，
∴＝＝2，
∴BE＝AE，
∴AE+AE＝6，
∴m＝AE＝4；
当△CGH是等腰三角形，且CG＝CH时，
∵∠B＝∠BCD＝90°，BC＝DC，
∴Rt△BCG≌Rt△DCH（HL），
∴BG＝DH，
∴BG﹣AB＝DH﹣AD，
∴AG＝AH，
∵AC＝AC，
∴△ACG≌△ACH（SSS），
∴∠ACG＝∠ACH＝×45°＝22.5°，
∴∠AHC＝∠DAC﹣∠ACH＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠ACH，
∴AH＝AC＝＝＝6，
∵△HAE∽△HDC，
∴，
∴，
∴m＝AE＝12﹣6，
综上所述，m的值为3或4或12﹣6．
17．（2021•铜梁区校级模拟）抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是线段BC上的一个动点，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q，当点P运动到什么位置时，四边形CDBQ的面积最大？求出四边形CDBQ的最大面积及此时P点的坐标；
（3）如图2，设抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移t秒，平移后的抛物线的顶点为M′，当△CBM′是等腰三角形时，求t的值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S＝S△BCD+S△BCQ＝×BD×CO+×PQ×OB，即可求解；
（3）抛物线沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移t秒，即运动了t个单位，由直线BC的表达式知，此时点M向右平移了2t个单位向下平移了t个单位，则点M′（+2t，﹣t），进而求解．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，
故点B的坐标为（4，0），抛物线的对称轴为直线x＝，故点D的坐标为（，0），
则BD＝4﹣＝，
由点B、C的坐标得：直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P的坐标为（x，﹣x+2），
设四边形CDBQ的面积为S，
则S＝S△BCD+S△BCQ＝×BD×CO+×PQ×OB＝××2+×4×（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣x2+4x+，
∵﹣1＜0，故S有最大值，
当x＝2时，四边形CDBQ的面积取得最大值为，
此时，点P的坐标为（2，1）；
（3）由抛物线的表达式知，点M的坐标为（，），
∵抛物线沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移t秒，即运动了t个单位，
由直线BC的表达式知，此时点M向右平移了2t个单位向下平移了t个单位，则点M′（+2t，﹣t），
由点M′、B、C的坐标知，M′B2＝（+2t﹣4）2+（﹣t）2，
同理可得，BC2＝20，CM′2＝（+2t）2+（﹣t﹣2）2，
当M′B＝BC时，则（+2t﹣4）2+（﹣t）2＝20，解得t＝（不合题意的值已舍去）；
当M′B＝CM′时，（+2t﹣4）2+（﹣t）2＝（+2t）2+（﹣t﹣2）2，解得t＝0.625；
当BC＝CM′时，20＝（+2t）2+（﹣t﹣2）2，解得t＝（不合题意的值已舍去）；
故t＝或0.625或．
18．（2022秋•招远市期中）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出此时E点的坐标以及四边形CDBF的最大面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据抛物线的解析式求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直线BC的解析式，可设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，进而表示出EF的长度，则可表示出△CBF的面积，从而可表示出四边形CDBF的面积，利用二次函数的性质，可求得其最大值及此时E点的坐标；
（3）可设出P点坐标，从而可表示出PC、PD、CD的长，由条件可得PC＝CD或PD＝CD或PC＝PD，可得到关于P点坐标的方程，可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），C（0，4）代入抛物线，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
整理得，x2﹣6x﹣7＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝7，
∴点B的坐标为（7，0），
∵△BCD的面积不变，
∴△BCF的面积最大时四边形CDBF的面积最大，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴y＝﹣x+4，
设E（m，﹣m+4），则F（m，﹣m2+m+4），
∴EF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，
∴S△BCF＝（﹣m2+4m）×7＝﹣2m2+14m＝﹣2（m﹣）2+，
∵﹣2＜0，
∴当m＝时，S△BCF有最大值，
此时E（，2），
∵S△BCD＝×（7﹣3）×4＝8，
∴四边形CDBF的最大面积为，
∴点E运动到（，2）时，四边形CDBF的面积最大，最大面积为；
（3）存在点P，使△PCD是等腰三角形，理由如下：
由题意可设P点坐标为（3，t），
∵D（3，0），C（0，4），
∴CD＝5，PD＝|t|，PC＝，
①当PD＝CD时，|t|＝5，
解得t＝±5，
∴P点坐标为（3，5）或（3，﹣5）；
②当PC＝CD时，则有5＝，
解得t＝0（舍）或t＝8，
∴P（3，8）；
③当PD＝PC时，＝|t|，
解得t＝，
∴P（3，）；
综上所述：P点坐标为（3，5）或（3，﹣5）或（3，8）或（3，）．
19．（2022秋•西湖区校级期中）如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“蛋圆”，已知A，B，C，D分别为“蛋圆”与坐标轴的交点，y＝x﹣3与“蛋圆”中的抛物线y＝x2+bx+c交于B，C两点．
（1）求“蛋圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“蛋圆”被y轴截得的线段BD的长．
（2）“蛋圆”上是否存在点P使△APC是等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，E为直线BC下方“蛋圆”上一点，连结AE，AB，BE，设AE与BC交于F，△BEF的面积记为S1，△ABF的面积记为S2，求的最小值．
【分析】（1）先求出点B，C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A坐标，即可求出半圆的直径，再构造直角三角形求出点D的坐标即可求出BD；
（2）若△APC是等腰三角形，则需要分以下三种情况：①AP＝PC，②AP＝AC，③CA＝CP，结合背景图形求解即可；
（3）先判断出要的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG，结论得证．
【解答】解：（1）对于直线y＝x﹣3，交 坐标轴BC两点，
∴B（0，﹣3），C（4，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c过B，C两点，
∴，
解得：，
即y＝x2﹣x﹣3．
∴抛物线与x轴交点A（﹣1，0），
∴AC＝5，
如图2，记半圆的圆心为O'，连接O'D，
∴O'A＝O'D＝O'C＝AC＝，
∴OO'＝OC﹣O'C＝4﹣＝，
在Rt△O'OD中，OD＝＝＝2，
∴D（0，2），
∴BD＝2﹣（﹣3）＝5；
（2）存在，理由如下：
若△APC是等腰三角形，则需要分以下三种情况：
①AP＝PC，此时点P在线段AC的垂直平分线上，
∵A（﹣1，0），C（4，0），
∴点P的横坐标为：，
当点P在半圆上时，P（，）；
当点P在抛物线上时，y＝×（）2﹣×﹣3＝﹣．
∴此时点P的坐标为：（，）或（（，﹣）；
③CA＝CP，此时∠APC＝∠CAP，
如图2，
∵AC是半圆的直径，
∴半圆上除点A，C外任意一点Q，都有∠AQC＝90°，
∴点P只能在抛物线部分上，
∵B（0，﹣3），C（4，0），
∴BC＝5，
∵AC＝5，
∴AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
当∠APC＝∠CAP时，点P和点B重合，即：P（0，﹣3），
③AP＝AC，此时∠ACP＝∠APC＝∠ABC，且点P只能在抛物线上，
结合②，由抛物线的对称性知，另一个点P的坐标为（3，﹣3），
综上，符合题意的点P的坐标为：（，）或（（，﹣）或（0，﹣3）或（3，﹣3）．
（3）如图3，
∵A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，
过点E作EG∥BC交x轴于G，
∵△ABF的AF边上的高和△BEF的EF边的高相等，设高为h，
∴S△ABF＝AF•h，S△BEF＝EF•h，
∴＝，
∵的最小值，即最小，
∵CF∥GE，
∴＝＝，
∴当CG最大时，即最小，的最小值，
∴EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG最大，
∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设直线EG的解析式为y＝x+m①，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3②，
联立①②化简得，3x2﹣12x﹣12﹣4m＝0，
∴Δ＝144+4×3×（12+4m）＝0，抛物线和直线只有一个交点．
解得：m＝﹣6，
∴直线EG的解析式为y＝x﹣6，
∴直线EG与x轴交点坐标（8，0）．
∴CG＝4，
∴＝＝＝；
综上，的最小值为．
20．（2022秋•和平区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
（4）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，4）、A（﹣2，0），且对称轴为x＝1，列方程组得，解方程组求出a、b、c的值，即得到抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）作FH⊥x轴于点H，交BC于点G，设F（x，﹣x2+x+4），求得直线BC的解析式为y＝﹣x+4，则G（x，﹣x+4），所以FG＝﹣x2+2x，则S△FBC＝×4（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x，可求得S四边形SABFC＝﹣x2+4x+×6×4＝﹣（x﹣2）2+16，则当x＝2时，S四边形SABFC最大＝16，此时，F（2，4）；
（3）设P（x，﹣x+4），则Q（x，﹣x2+x+4），PQ＝|﹣x2+2x|，由PQ∥DE，且PQ＝DE，得|﹣x2+2x|＝，解方程求出符合题意的x的值，再求出点P的坐标即可；
（4）设P（1，m），则AC2＝20，PA2＝m2+9，PC2＝m2﹣8m+17，再分三种情况讨论，一是PA＝PC，则m2+9＝m2﹣8m+17；二是PC＝AC，则m2﹣8m+17＝20；三是PA＝AC，则m2+9＝20，解方程求出相应的m的值，再求出点P的坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，4）、A（﹣2，0），且对称轴为x＝1，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
（2）存在，
如图1，作FH⊥x轴于点H，交BC于点G，设F（x，﹣x2+x+4），
∵点B与点A（﹣2，0）关于直线x＝1对称，
∴B（4，0），AB＝4+2＝6，
设直线BC的解析式为y＝kx+4，则4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
∴G（x，﹣x+4），
∴FG＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S△FBC＝OH•FG+BH•FG＝×4（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x，
∴S四边形SABFC＝S△FBC+S△ABC＝﹣x2+4x+×6×4＝﹣（x﹣2）2+16，
∴当x＝2时，S四边形SABFC最大＝16，F（2，4），
∴点F的坐标是（2，4），四边形ABFC的面积的最大值是16．
（3）如图2，设P（x，﹣x+4），则Q（x，﹣x2+x+4），
∴PQ＝|﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）|＝|﹣x2+2x|，
抛物线y＝﹣x2+x+4，当x＝1时，y＝，
∴D（1，）；
直线y＝﹣x+4，当x＝1时，y＝﹣1+4＝3，
∴E（1，3），
∴DE＝﹣3＝，
∵PQ∥DE，且以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ＝DE，
∴|﹣x2+2x|＝，
当﹣x2+2x＝时，解得x1＝3，x2＝1（不符合题意，舍去），
∴P1（3，1）；
当﹣x2+2x＝﹣时，解得x1＝2+，x2＝2﹣，
∴P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+），
综上所述，点P的坐标是（3，1）或（2+，2﹣）或（2﹣，2+）．
（4）存在，设P（1，m），
∵A（﹣2，0），C（0，4），
∴AC2＝22+42＝20，PA2＝m2+（1+2）2＝m2+9，PC2＝（m﹣4）2+12＝m2﹣8m+17，
当PA＝PC时，则m2+9＝m2﹣8m+17，
解得m＝1，
∴P1（1，1）；
当PC＝AC时，则m2﹣8m+17＝20，
解得m1＝4﹣，m2＝4+，
∴P2（1，4﹣），P3（1，4+）；
当PA＝AC时，则m2+9＝20，
解得m1＝，m2＝﹣，
∴P4（1，），P5（1，﹣），
∴综上所述，P点的坐标（1，1）或（1，4﹣）或（1，4+）或（1，）或（1，﹣）．
21．（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作MN∥y轴，交AC于点N，过N作ND∥BC交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线y＝ax2+bx+2沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线y'，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作PQ∥y轴交射线MK于点Q，连接PK，当△PQK为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法可得y＝﹣x2﹣x+2，由顶点坐标公式得顶点坐标为（﹣1，）；
（2）延长MN交x轴于R，由y＝﹣x2﹣x+2得C（0，2），OC＝2＝OB，可知∠OBC＝45°，而ND∥BC，MN∥y轴，故△RDN是等腰直角三角形，NR＝ND，由A（﹣4，0），C（0，2）可得直线AC解析式为y＝x+2，设M（t，﹣t2﹣t+2），则N（t，t+2），R（t，0），有MN＝﹣t2﹣t，NR＝t+2，可得MN﹣ND＝MN﹣NR＝﹣t2﹣t﹣2＝﹣（t+3）2+，从而当t＝﹣3时，MN﹣ND取最大值，此时M（﹣3，）；
（3）由A（﹣4，0），C（0，2），可得OC：OA：AC＝1：2：，即知新抛物线y'＝﹣（x﹣5）2+＝﹣x2+x﹣1，K（0，﹣1），直线MK解析式为y＝﹣x﹣1，设P（m，﹣m2+m﹣1），则Q（m，﹣m﹣1），从而可得PK2＝m2+（﹣m2+m）2，QK2＝m2+（﹣m）2＝m2，PQ2＝（﹣m2+m）2，分三种情况列方程可解得P的坐标为（17，﹣）或（3，）或（，﹣）或（17﹣，﹣47+6）或（17+，﹣47﹣6）．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得：
，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+2，
∵﹣＝﹣1，＝，
∴顶点坐标为（﹣1，）；
（2）延长MN交x轴于R，如图：
在y＝﹣x2﹣x+2令x＝0得y＝2，
∴C（0，2），OC＝2＝OB，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵ND∥BC，
∴∠RDN＝45°，
∵MN∥y轴，
∴△RDN是等腰直角三角形，
∴NR＝ND，
由A（﹣4，0），C（0，2）可得直线AC解析式为y＝x+2，
设M（t，﹣t2﹣t+2），则N（t，t+2），R（t，0），
∴MN＝﹣t2﹣t+2﹣（t+2）＝﹣t2﹣t，NR＝t+2，
∴MN﹣ND＝MN﹣NR＝﹣t2﹣t﹣（t+2）＝﹣t2﹣t﹣2＝﹣（t+3）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣3时，MN﹣ND取最大值，
此时M（﹣3，）；
（3）∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴AC＝2，
∴OC：OA：AC＝1：2：，
将抛物线y＝﹣x2﹣x+2沿射线AC方向平移个单位，相当于把抛物线向右移6个单位，再向上移3个单位，
∴新抛物线y'＝﹣（x﹣5）2+＝﹣x2+x﹣1，
∵新抛物线与y轴交于点K，
∴K（0，﹣1），
∵M（﹣3，），
∴直线MK解析式为y＝﹣x﹣1，
设P（m，﹣m2+m﹣1），则Q（m，﹣m﹣1），
∴PK2＝m2+（﹣m2+m）2，QK2＝m2+（﹣m）2＝m2，PQ2＝（﹣m2+m）2，
当PK＝QK时，m2+（﹣m2+m）2＝m2，
解得m＝0（与K重合，舍去）或m＝17或m＝3，
∴P（17，﹣）或（3，）；
当PK＝PQ时，m2+（﹣m2+m）2＝（﹣m2+m）2，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴P（，﹣），
当QK＝PQ时，m2＝（﹣m2+m）2，
解得m＝0（舍去）或m＝17﹣或m＝17+，
∴P（17﹣，﹣47+6）或（17+，﹣47﹣6），
综上所述，P的坐标为（17，﹣）或（3，）或（，﹣）或（17﹣，﹣47+6）或（17+，﹣47﹣6）．
22．（2022秋•海曙区期中）如图，设抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点P为该抛物线第四象限上的一点，过P作PH⊥x轴交BC于点Q．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求线段PQ的最大值；
（3）当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（4）当△CPQ为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）由题意先求出B（3，0），C（0，﹣3），两点的坐标，代入y＝kx+b中即可求得y＝x﹣3；
（2）设P（x，x2﹣2x﹣3），PQ两点横坐标相同，则两点距离即为纵坐标差值的绝对值，PQ＝yQ﹣yP＝﹣（x﹣）2+，有顶点式即可求出最大值．
（3）S△PBC＝×PQ×OB＝PQ，当x＝，面积最大，此时P（，）．
（4）分三种情况进行讨论，CP＝PQ；PC＝CQ；CQ＝PQ三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣3）代入，得
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；
（2）设P（x，x2﹣2x﹣3），则PQ＝yQ﹣yP＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
∴PQ的最大值为；
（3）∵S△PBC＝×PQ×OB＝PQ，
由（2）知，当x＝时，此时P（，﹣）；
（4）∵OB＝OC，且∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵PH⊥x轴，
∴∠HQB＝45°，
∴∠CQP＝45°．
设P（x，y）．
当CP＝PQ时，得∠QCP＝∠CQP＝45°，
∴∠CPQ＝90°，
∴CP∥x轴，QP∥y轴，
∵点C（0，﹣3），
∴令y＝﹣3，则x2﹣2x﹣3＝﹣3，
解得x＝0或2，
∴P（2，﹣3）；
当PC＝CQ时，∠PCQ＝90°，有PQ＝2x＝﹣x2+3x，
解得x＝1或0（舍），
∴P（1，﹣4）；
当CQ＝PQ时，CQ＝x＝﹣x2+3x，
解得x＝3﹣或0（舍），
∴P（3﹣，2﹣4），
∴△CPQ为等腰三角形时，点P（2，﹣3）或（1，﹣4）或（3﹣，2﹣4）．
23．（2022秋•龙江县校级月考）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点M是抛物线对称轴上一点，当MB+MC的值最小时，点M的坐标是 （﹣1，） ；
（3）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求三角形ACD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（4）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，得﹣＝﹣1，即b＝2a；由直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，得A（﹣3，0），C（0，4），因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，4），于是可列方程组，解方程组求出a、b、c的值，即可得到抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；
（2）设直线x＝﹣1交AC于点E，连接AM、BE，则E（﹣1，），可根据直线x＝﹣1垂直平分AB及两点之间线段最短证明当点M与点E重合时，MB+MC的值最小，则点M的坐标是（﹣1，）；
（3）作DG⊥x轴于点G，交AC于点F，则D（m，﹣m2﹣m+4），F（m，m+4），所以DF＝﹣m2﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，则S＝×3（﹣m2﹣4m）＝﹣2（m+）2+，于是求得三角形ACD面积S的最大值是，此时D点的坐标是（﹣，5）；
（4）先求得B（1，0），则BC2＝12+42＝17，设点P的坐标为（﹣1，r），分五种情况讨论，一是直线x＝﹣1与x轴交于点P，则PC＝BC，此时△PBC是等腰三角形，P（﹣1，0）；二是延长BC交直线x＝﹣1于点P′，此时CP′＝CP＝CB，但B、C、P′三点在同一条直线上，所以不存在以B、C、P′三点为顶点的等腰三角形；三是BP1＝BC，且点P1在x轴的上方，由BP12＝BC2，列方程得（1+1）2+r2＝17，可求得P1（﹣1，）；四是BP2＝BC，且点P2在x轴的下方，设直线x＝﹣1交x轴于点H，则P2H＝P1H＝，所以P2（﹣1，﹣）；五是P3B＝P3C，则P3B2＝P3C2，列方程得（1+1）2+r2＝12+（4﹣r）2，可求得P3（﹣1，）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a；
直线y＝x+4，当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，则x+4＝0，
解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），C（0，4），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，4），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4．
（2）如图1，设直线x＝﹣1交AC于点E，连接AM、BE，
直线y＝x+4，当x＝﹣1时，y＝×（﹣1）+4＝，
∴E（﹣1，），
∵直线x＝﹣1垂直平分AB，
∴MB＝MA，EB＝EA，
∴MB+MC＝MA+MC，EB+EC＝EA+EC＝AC，
∵MA+MC≥AC，
∴当点M与点E重合时，MA+MC＝AC，此时MA+MC的值最小，
∴MB+MC＝MA+MC＝EB+EC＝AC，此时MB+MC的值最小，
∴当MB+MC的值最小时，点M的坐标是（﹣1，），
故答案为：（﹣1，）．
（3）如图2，作DG⊥x轴于点G，交AC于点F，
∵点D的横坐标为m，
∴D（m，﹣m2﹣m+4），F（m，m+4），
∴DF＝﹣m2﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∵S△ACD＝AG•DF+OG•DF＝OA•DF＝×3（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∴S＝﹣2m2﹣6m＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，此时D（﹣，5），
∴三角形ACD面积S的最大值是，此时D点的坐标是（﹣，5）．
（4）存在，
设点B的坐标为n，则（﹣3+n）＝﹣1，
解得n＝1，
∴B（1，0），
∴BC2＝12+42＝17，
设点P的坐标为（﹣1，r），
如图3，设直线x＝﹣1与x轴交于点P，
∴点P与点B关于y轴对称，
∴PC＝BC，
此题△PBC是等腰三角形，P（﹣1，0）；
延长BC交直线x＝﹣1于点P′，
∵∠P′PB＝90°，
∴∠CP′P+∠CBP＝90°，∠CPP′+∠CPB＝90°，
∵∠CBP＝∠CPB，
∴∠CP′P＝∠CPP′，
∴CP′＝CP＝CB，
∵B、C、P′三点在同一条直线上，
∴不存在以B、C、P′三点为顶点的等腰三角形；
如图4，BP1＝BC，且点P1在x轴的上方，
∵BP12＝BC2，
∴（1+1）2+r2＝17，
解得r1＝，r2＝﹣；
∴P1（﹣1，）；
如图4，BP2＝BC，且点P2在x轴的下方，
设直线x＝﹣1交x轴于点H，
∵BH⊥P1P2，
∴P2H＝P1H＝，
∴P2（﹣1，﹣）；
如图4，P3B＝P3C，
∵P3B2＝P3C2，
∴（1+1）2+r2＝12+（4﹣r）2，
∴解得r＝，
∴P3（﹣1，），
∴综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，）．

24．（2022秋•克东县校级月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝mx+n经过B，C两点，则m＝ 1 ；n＝ 3 ；
（3）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；
（4）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把点B（﹣3，0），C（0，3）两点的坐标分别代入抛物线解析式求出b和c的值即可；
（2）利用待定系数法可得m和n的值；
（3）如图1，由（2）知直线BC的解析式为y＝x+3，再确定抛物线的对称轴方程，设直线BC与直线x＝﹣1相交于点E，根据轴对称的最短路径可知：此时AE+CE的值最小，从而得到此时点E的坐标；
（4）存在，分情况讨论：以BC为腰和底边，分别画图，进而即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）把点B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n中得：，解得：；
故答案为：1，3；
（3）如图1，由（2）知：直线BC的解析式为y＝x+3，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
直线BC与直线x＝﹣1相交于点E，则EB＝EA，此时AE+CE最小，
此时点E的坐标为（﹣1，2）；
（4）∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴BC＝3，
分三种情况：
①BC＝BP，如图2，此时点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）；
②当P与O重合时，△BPC也是等腰三角形，此时P（0，0）；
③BC＝CP，如图3，此时点P的坐标为（3，0）；
综上所述，点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）．
x/cm
0
1
2
3
4
y1/cm
4.00
3.69
3.09（答案不唯一）
2.13
0
y2/cm
3.00
3.91
4.71
5.23
5
x/cm
0
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2
3
4
y1/cm
4.00
3.69
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3.00
3.91
4.71
5.23
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