2024年上海市松江区高三下学期高考二模数学试卷含答案

这是一份2024年上海市松江区高三下学期高考二模数学试卷含答案，共10页。试卷主要包含了 因为，所以，所以．……2分等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，完卷时间120分钟） 2024.4
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试卷与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。
3．答题纸与试卷在试卷编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．函数的定义域是 ．
2．在复平面内，复数对应点的坐标是，则 ．
3．已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
4．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 ．
5．已知，则 ．
6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则此圆锥的体积为 ．（结果中保留）
7．已知等差数列的公差为，前n项和为，若，则使得成立的的最大值为 ．
8．已知函数，记，若，则的最小值为 ．
9．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，若，则该双曲线的离心率为 ．
10．已知正三角形的边长为，点满足，且，，，则的取值范围是 ．
11．已知，函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 ．
12．某校高一数学兴趣小组一共有名学生，学号分别为，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法．
二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分．
13．已知集合，则 （ ）
A．B． C． D．
14．某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到右表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为
，则下列说法错误的是（ ）
A．变量、之间呈正相关关系B．可以预测当时，的值为
C．D．由表格中数据知样本中心点为
15．已知某个三角形的三边长为、及，其中．若，是函数的两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．设为数列的前项和，有以下两个命题： = 1 \* GB3 ①若是公差不为零的等差数列且，则是的必要非充分条件； = 2 \* GB3 ②若是等比数列且，则的充要条件是．那么（ ）
A． = 1 \* GB3 ①是真命题， = 2 \* GB3 ②是假命题B． = 1 \* GB3 ①是假命题， = 2 \* GB3 ②是真命题
C． = 1 \* GB3 ①、 = 2 \* GB3 ②都是真命题D． = 1 \* GB3 ①、 = 2 \* GB3 ②都是假命题
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
设 ()，函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为．
(1) 求函数的解析式；
(2) 在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．
(1) 设平面与直线相交于点，求证：；
(2) 若，，，
求直线与平面所成角的大小．
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分4分
某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
(1) 计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率；
(2) 若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望；
(3) 已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于M、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆上．
(1) 求线段的长；
(2) 若线段PQ的中点在轴上，求的面积；
(3) 是否存在以、为邻边的矩形，使得点E在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点Q的纵坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知函数(为常数)，记．
(1) 若函数在处的切线过原点，求实数a的值；
(2) 对于正实数t，求证：；
(3) 时，求证： ．
参考答案

一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7． 8． 9． 10． 11． 12．
二、选择题
13． D 14．C 15．B 16．C
三、解答题
17．解：（1）
. ……3分
因为函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，即.
所以 . ……6分
（2）由，得.
. ……9分，
由,得，化简得所以角. ……12分
所以角. ……14分
18．解：（1）因为底面为菱形，所以，
因为直线在平面上，而直线不在平面上，
所以平面 ． ……3分
又平面平面，所以． ……6分
（2）解法1：取中点，连接、,
由于四边形为菱形，且，，
所以,， ……8分
由于平面，平面，所以,
又平面,所以平面,
故即为直线与平面所成角， ……12分
因为，为的中点，所以，则．
所以，则．
即直线与平面所成角的大小． ……14分
解法2：如图建系，由题可得：，
则，，，，，……8分
所以，，，
设平面的法向量为，
由，得，解得，
取，可得平面的一个法向量为. ……12分
设直线与平面所成角的大小为，
则，解得,
所以，直线与平面所成角的大小为. ……14分
19． 解：（1）设“计划依次派出甲乙丙进行闯关，该小组比赛胜利”为事件，
甲乙丙各自闯关成功的概率分别为，，，每人能否闯关成功相互独立，
解法1：
解法2： ． ……4分
（2）按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，
所需派出的人员数目的可能取值是1、2、3，
，，，
所以的分布是： ， ……7分
所以． ……10分
（3）若先派丙，再派乙，最后派甲，
所需派出的人员数目的分布是： ，
则，
所以，
……13分
所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望较小． ……14分

20．解：（1）依题意得：，由轴，得：，代入椭圆方程得：，所以线段的长为. ……4分
（2）解法1：显然，线段PQ的中点在轴上，则，即轴，，， ……8分
所以. ……10分
解法2：设，依题意，有，解得， ……8分
所以. ……10分
（3）假设存在以、为邻边的矩形，使得点E在椭圆上，显然，设，则，因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以，代入计算得
.由题意知在椭圆上及，代入，得，即 ……12分
将①②代入 = 3 \* GB3 ③并化简得，，再结合①，得，即或.
若，则； ……14分
若，则联立①②，得，消去，得，解得，由于，故. ……17分
综上，存在满足题意的点，其纵坐标为或. ……18分
21. (1)因为，所以，所以．……2分
又因为，所以在处的切线方程为：．
点代入切线方程可得． ……4分
(2)设函数 ，
，.
. ……6分
令，得：．
在上严格递增；在上严格递减；
的最小值为，即总有：． ……8分
而
∴． ……10分
(3)当时，即证，（）
由于，故，只需证， ……12分
令，只需证明.
而， ……14分
因为，所以，令得：，令得：，
所以在处取得极大值，也是最大值， ……16分
所以，
故在上恒成立，结论得证. ……18分