浙江省精诚联盟2023-2024学年高一下学期3月联考数学试卷（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2，答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i是虚数单位，复数，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的运算及复数的模公式即可求解.
【详解】,
所以.
故选：C.
2. 已知，向量与垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将向量坐标代入即可求出的值.
【详解】因为，向量与垂直，
所以，
由，，
所以，
解得.
故选：A.
3. 中，，且（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出，再由正弦定理计算可得.
【详解】因为，
所以，
由正弦定理，即，
解得.
故选：D
4. 如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案.
【详解】由图形可知：
.
故选：B.
5. 已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量平行的条件得，再利用余弦定理可得边的关系，即可得解.
【详解】由题意，向量，且，
则，故，
整理得到，
故，故或，
即或，故的形状为等腰或直角三角形.
故选：D.
6. 已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为，
所以，，
所以在上的投影向量为.
故选：B
7. 已知，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设向量，的夹角为，求得的表达式，利用平方的方法，结合余弦函数的值域等知识求得正确答案.
【详解】设向量，的夹角为，则，
因为，
所以，
令，则，
因为，所以，又，所以.
故选：C
8. 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，根据正弦定理求得，结合，即可求解.
【详解】在中，，
由正弦定理得，可得，
过点作，可得
所以.
故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知复数（i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A. 复数的虚部等于B. 对应复平面内的点在第三象限
C. D. 若是实数，是纯虚数，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】先化简复数，然后根据复数的纯虚数和虚部概念，几何意义，及复数的运算逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，复数，
对于A项：，所以复数的虚部等于，所以A项错误；
对于B项：，对应的点在复平面的第三象限，所以B项正确；
对于C项：，所以C项正确；
对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，
所以D项正确.
故选：BCD
10. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 若，则，且四点构成平行四边形.
B. 若为非零实数，且，则与共线.
C. 在中，若有，那么点一定在角的平分线所在直线上.
D. 若向量，则与的方向相同或相反.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用向量的定义、共线向量的概念判断ABD，利用单位向量的定义与加法的平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C.
【详解】对于A，如线段上，为线段的四等分点，满足，且，
但四点不能构成平行四边形，A错误；
对于B，因为为非零实数，且，所以，所以与共线，B正确；
对于C，因为、分别表示向量、方向上的单位向量，
所以的方向与的角平分线重合，
又，可得向量所在直线与的角平分线重合，
所以点一定在角平分线所在直线上，C正确；
对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，
D错误.
故选：AD
11. 如图，直线与的边分别相交于点，设，则（ ）
A. 的面积B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，由正弦定理和面积公式求出A正确；B选项，，由正弦定理得到B错误；CD选项，利用向量加法法则得到，进而由数量积的运算法则得到答案.
【详解】A选项，由正弦定理得，即，
的面积，A正确；
B选项，因为，所以，
由正弦定理得，B错误；
CD选项，因为，所以，
即，
故，
即，
所以，C错误，D正确，
故选：AD
非选择题部分
三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知平面向量满足，则与夹角的大小为______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用向量的运算律求得及，然后利用数量积的夹角公式求解即可.
【详解】因为平面向量满足，
所以，
所以，即，
所以，
设与夹角为，则，
又，所以.
故答案为：
13. 在中，，点在线段上，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】在中，由余弦定理解出，再由余弦定理求得，然后由分点求出，最后在中，由余弦定理求出即可.
【详解】在中，由余弦定理可得：，
所以，所以；，
且；在中，由余弦定理可得：
，所以，
所以.
故答案为：
14. 已知和是夹角为的两个单位向量，且，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用数量积和模的坐标运算求得向量对应点的轨迹方程，然后利用向量的减法运算及直线与圆的位置关系求解最值即可.
【详解】由题意和是夹角为的两个单位向量，不妨取，，
设，，因为，所以，所以，
则，
记，，则，所以点在直线上，
设，则，
又，所以，所以，
所以，即，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
而表示点与点的距离，
所以的最小值为，即为圆心到直线的距离减去半径，
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题.
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：
（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；
（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；
（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）已知，若为实数，求的值.
（2）已知复数满足，若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值.
【答案】（1）；（2）19.
【解析】
【分析】（1）化简复数，然后根据复数实数列方程求解即可；
（2）根据复数模的运算求得，代入二次方程，根据复数相等列方程组求解即可.
【详解】（1）因为为实数，
所以，解得；
（2）由可设，由题意，所以，
所以，所以，代入得，
即，所以，所以，所以.
16. 如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；
（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.
【详解】（1），
，，因此，；
（2）设，
再设，则，即，
所以，，解得，所以，
因此，.
【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.
17. 如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：

（1）刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；
（2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？
（3）若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
【答案】（1）
（2）走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上
（3）小时
【解析】
【分析】（1）在中根据正弦定理可得结果；
（2）在中根据余弦定理可得结果；
（3）在中由余弦定理可得结果.
【小问1详解】
由在的南偏东，在的东北偏方向，在中，
，由正弦定理得，
，
代入上式得：海里．
答：走私船与观测点的距离为海里；
【小问2详解】
在中，海里，海里，，
．
，
，解得海里，
又，
且，所以，
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上．
【小问3详解】
设小时后缉私艇在处追上走私船，则，
又，，
在中，由余弦定理得，
，化简得
解得．故缉私艇至少需要小时追上走私船．

18. 在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边角互化得，再利用余弦定理求解即可；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求得，然后利用面积公式求解即可；
（3）根据正弦定理结合两角和差公式化简得，然后结合锐角三角形性质，根据正弦函数的性质求解范围即可.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，因为，所以.
【小问2详解】
由余弦定理得，所以，即，
当且仅当时，等号成立，所以，
即当为正三角形时，面积最大值为.
【小问3详解】
由正弦定理得
，
其中为锐角，且，所以，
又因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，
所以，即，
故的取值范围为.
19. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线．
（1）求的范围
（2）求的最小值，
（3）若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）解法主要是将所给条件通过数量积运算实数化进而通过实数运算结合基本不等式求解即可；解法将向量问题坐标化，进而通过实数运算结合不等式求解即可.
（2）解法将向量通过模运算及数量积公式实数化，进而转为实数运算，结合不等式解出答案；解法通过坐标法和数量积运算将问题转化为实数运算问题，结合不等式求解即可；解法主要是根据题意设参数，再根据数量积运算结合三角函数、不等式求最值.
（3）解法1主要是通过平面向量基本定理选择基底表示向量，再设参数结合不等式求解；解法通过坐标法将问题实数化，进而求出参数最值；解法设参数两个参数，由向量相等得出它们的三角表示，再由三角函数性质结合不等式求解即可.
【小问1详解】
，
，
为锐角，，
解法一：
.
取的中点为，，
解法二：以为原点，以为轴，建立直角坐标系，
，
，
，，
，
.
故小问1答案为：.
【小问2详解】
解法一：由题意知：
，
，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法二：由题意知：
以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，则，
，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法三：
设，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
故小问答案为：
【小问3详解】
解法一：由题意知：
令，则原式
当且仅当即，等号成立，的最小值为
解法二：由题意知：
以为原点，以为轴，建立直角坐标系
三点共线
，
，
，
，
，
.
解法三：由题意知：
，
，
，
下同解法二.
故小问答案为：.
【点睛】方法点睛：建立直角坐标系，将向量问题坐标化进而通过实数运算求解即可.