湖南省常德市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题及答案

这是一份湖南省常德市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在R上单调递增
D．函数在上单调递增
4．如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（ ）

A．B．
C．D．
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则=（ ）
A．9B．10C．18D．19
8．设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数(75%分位数)为7
B．样本数据与样本数据满足，则两组样本数据的方差相同
C．若随机事件，满足：，则，相互独立
D．若，且函数为偶函数，则
10．过点的直线交抛物线于两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆过坐标原点
B．
C．若直线的斜率存在，则斜率为
D．若，则
11．若函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则 ．
13．若复数满足：，则 .
14．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为 .
四、解答题
15．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)若，，成等差数列，且的面积为，求的周长．
16．某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
(1)从这9天的数据中任选4天的数据，以表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求的分布列和数学期望；
(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.
（参考数据：
，
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）.
17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.
(1)证明：平面；
(2)已知三棱锥的体积为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知O为坐标原点，椭圆C：的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
19．已知函数.
(1)判断函数在区间上极值点的个数并证明；
(2)函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.
①证明：；
②问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
时间（天）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每天普及的人数y
80
98
129
150
203
190
258
292
310
参考答案：
1．C
【分析】由分式不等式解得集合，再由交集的运算可得结果.
【详解】因为，解得或，
所以集合或，
所以，
故选：C.
2．D
【分析】根据等差数列的通项公式、求和公式列方程求解即可.
【详解】由等差数列可知，，，
解得，，
所以.
故选：D
3．C
【分析】根据已知设，由二次函数的性质确定AB错误；由幂函数的性质判断C正确；由反比例函数的形式确定D错误.
【详解】因为是奇函数，且在区间上单调递增，
所以在上也为单调递增函数，
对于A：不妨令，，
所以在单调递减，在单调递增，故A错误；
对于B：不妨令，，
所以在单调递增，在单调递减，故B错误；
对于C：，其定义域为，
又，所以是奇函数，
取，则，，故
所以，则函数在为递增函数；
所以函数在也为递增函数，且当时，，
所以在R上单调递增，故C正确；
对于D：不妨令，，
由反比例函数的单调性可知在和上单调递减，故D错误；
故选：C.
4．B
【分析】利用等体积法求出点到平面的距离，说明所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球，再根据求得体积公式即可得解.
【详解】由题意，设点到平面的距离为，
而
，
由，得，解得，
棱长为6的正方体的正方体的内切球的半径为，
棱长为6的正方体体对角线的长度为，
因为，
所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球，
则该球形饰品的体积的最大值为.
故选：B.
5．A
【分析】由二倍角的余弦公式化简可得.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，
故选：A.
6．B
【分析】设，然后由解方程组求出，再利用模长的定义求出即可.
【详解】设，
因为，
又，即，
解得，
所以，所以，
故选：B.
7．D
【分析】先将等式两边同时乘以，再将两边同时求导后，令可得.
【详解】由得，
分别对两边进行求导得
，
令，得，
得，
故选：D
8．A
【分析】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，先利用全概率公式求出，进而可得，，进而可得放回原箱后再取该件产品合格的概率.
【详解】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，
又
，
经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为
.
故选：A.
9．BC
【分析】借助百分位数的概念，方差的性质，相互独立事件的定义与正太分布的性质及偶函数的性质逐项判断即可得.
【详解】对A：将数据从小到大重新排列后为：2、3、4、5、6、7、8、9，
，则其上四分位数为，故A错误；
对B：，故B正确；
对C：，即，故，相互独立，故C正确；
对D：由为偶函数，则，
又由对称性知，
故，即，故D错误.
故选：BC.
10．ABC
【分析】设，，，将抛物线方程与直线方程联立，利用韦达定理求出，进而得到，代入各选项求解即可.
【详解】由题意可知直线斜率不为，设，， ，
联立得，
则，，，，
因为，所以，以为直径的圆过坐标原点，A说法正确；
，B说法正确；
因为为线段中点，所以，
若直线的斜率存在，则，
直线的斜率，C说法正确；
若，则，由抛物线的定义可得，D说法错误；
故选：ABC
11．BCD
【分析】由函数零点的定义可得，，在同一直角坐标系中作出，，，，，的函数图象，数形结合可得，，即可判断；由，，即可判断；由，即可判断；由余弦函数的单调性即可判断.
【详解】令得，令得，在同一直角坐标系中作出，，，，，的函数图象，
、、在上分别递增、递减、递减，且在上递减速率，先慢后快，先快后慢，
由，且，，
所以，所以，故不正确；
由，故，由，故，
因为上函数，关于直线对称，
所以，即，又，所以，故正确；
由，所以，故正确；
由，所以，由，得，又，
因为在单调递减，
所以，所以，故正确.
故选：.
【点睛】方法点睛：函数零点的问题可以转化为函数图象的交点问题，数形结合即可得到，的取值范围，结合函数的性质即可求解.
12．
【分析】先求出函数在处的切线方程，再由圆内弦长公式求得即可.
【详解】由，定义域为，，
则切线斜率，又，
所以切线方程为：，化简为：；
又因为圆的圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
则.
故答案为：
13．
【分析】设，则由题设有，故可求.
【详解】设，则，
故，故
所以即，
故答案为：2.
14．或
【分析】由双曲线的定义和等腰三角形的定义，结合三角形的余弦定理和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】设，，
由双曲线的定义可得，，
由的面积是的面积的2倍，可得，
又为等腰三角形，可得，或，
当，即，可得，，，，
在中，，
在中，，
化为，即；
当，即，可得，，，，
在中，，
在中，，
化为，即．
故答案为：或．
15．(1)
(2)15
【分析】（1）先利用正弦定理角化边得出；再结合余弦定理得出即可求解.
（2先根据，，成等差数列得出；再利用三角形的面积公式得出；最后结合(1)中的，求出，，即可解答.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：.
由余弦定理可得：.
又因为，
所以.
（2）由,,成等差数列可得：①.
因为三角形的面积为，，
，即②.
由(1)知：③
由①②③解得：.
，
故三角形的周长为15.
16．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）利用超几何分布与数学期望公式即可得解；
（2）利用平均数的定义结合参考数据求得新的样本点，结合的计算公式进行转化整理求得其值，从而得解.
【详解】（1）每天普及人数不少于240人的天数为3天，则的所有可能取值为，
，，
，，
故的分布列为
.
（2）设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为
，，
，
故
，
，
所以.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一：取AD的中点O，由条件证明，结合面面垂直性质定理证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论；方法二：由条件，利用勾股定理证明，根据面面垂直性质定理证明结论；
（2）由条件结合锥体体积公式求，取PB的中点M，证明直线为平面与平面的交线，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）方法一：取AD的中点O，，.
又平面平面，平面平面=，
平面.
又平面，.
，，，
，，.
又，平面，
平面.
方法二：，，，
，，.
又平面平面，平面平面，平面，
平面.
（2），
.
取PB的中点M，又为的中点，，
又，，
平面即为平面，
为平面与平面的交线.
取AB的中点Q，连结OQ，由(1)可知，OA、OP、OQ两两垂直.
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量为，，，
则，
取，则，
.
设直线与平面夹角为，，
则，
故直线与平面夹角的正弦值.
18．(1)
(2)是定值，
【分析】（1）设，结合意义表示出，代入计算即可得；
（2）作出该四边形后，借助斜率表示出、、、，结合倾斜角与斜率的关系，借助面积公式计算即可得解.
【详解】（1）由题意可得，
设，则，
∵，∴，
化简得：①，
又在椭圆上，②，
由①②得，
又，∴，
故椭圆C的标准方程；
（2）设直线的平行线与椭圆相交于点、（在上方），
直线的平行线与椭圆相交于点、（在上方），
∴直线的方程为，直线的方程为，
又，∴，
联立，解得，
∴，
联立，解得，
∴，
设直线EF的倾斜角为，直线GH的倾斜角为，，
∴，
则，
，
∴四边形面积为：
，
故该四边形的面积为定值.

【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助斜率与倾斜角的关系及两角差的正弦公式，得到，从而可借助面积公式表示出面积.
19．(1)函数在区间内恰有两个极值点，证明见解析
(2)①证明见解析；②不存在，理由见解析
【分析】（1）求函数在给定区间上的导数，以分子整式构造函数，再次求导，研究该导数在给定区间上与零的大小关系，以判断构造函数的单调性和变号零点的性质，根据极值的定义，可得答案；
（2）①根据（1）可得所在区间，根据极值点的必要条件，进一步缩小其所在区间，根据三角函数的诱导公式，将变为，使其在同一个单调区间，根据函数的单调性，可得与大小关系，可得答案；
②由①可得相邻两个极值之和与零的大小关系，进而得到当为偶数时，和与零大小关系，再根据三角函数的性质，得到奇数时极值与零的大小关系，可得答案.
【详解】（1），设，又，
当时，在上单调递减，
，在上无零点；
当时，在上单调递增，
，在上有唯一零点；
当时，在上单调递减，
，在上有唯一零点.
综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数在区间内恰有两个极值点.
（2）①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；
在有极大值点，即为，
同理可得，在有极小值点，在有极值点，
由得，，
，
，
由函数在单调递增得，
，
由在单调递减得，
.
②同理，
，
由在上单调递减得，
，且，
当为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，
即，结论成立；
当为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即，结论也成立，
综上，对一切成立，故不存在使得.
0
1
2
3