2024年北京十三中分校中考数学模拟试卷（3月份）（含解析）

这是一份2024年北京十三中分校中考数学模拟试卷（3月份）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.春节期间，全国各大影院上映多部电影.其中电影《流浪地球2》以计划建造1万座行星发动机的时代为故事背景，讲述了“太阳危机”即将来袭，世界陷入一片恐慌之中，万座行星发动机正在建造中，人类将面临末日灾难与生命存续的双重挑战故事.电影获得了巨大的成果，取得了3970000000元的票房成绩，其中3970000000用科学记数法表示为( )
A. 39.7×108B. 3.97×108C. 3.97×109D. 3.97×1010
2.如果3x−2y=0，那么代数式(xy+1)⋅3xx+y的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是( )
A. 12sinα米
B. 12csα米
C. 12sinα米
D. 12csα米
4.如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D.若b+d=0，则下列式子正确的是( )
A. b+c>0B. |d|>|a|C. ad0，则a2>1a”是错误的，这个值可以是a= ．
14.学校用3600元去商场购买消毒液对教室进行消毒.经过还价，每瓶便宜2元，结果比用原价多买了60瓶.若设原价每瓶x元，则可列出方程为______．
15.放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD=DA=CB，DC=AB=BE，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
若连接OA，OE，可证得以下结论：
①△ODA和△OCE为等腰三角形，则∠DOA=12(180°−∠ODA)，∠COE=12(180°−∠ )；
②四边形ABCD为平行四边形(理由是 )；
③∠DOA=∠COE，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当DCCB=35时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 倍得到的．
16.张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A、B两种组合和C、D、E、F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样.若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶(n≥3).张老师共带了200元钱，请给出一个满足条件的购买方案______(购买数量写前面商品代码写后面即可，例如：2A+3B+……)；n最多买______瓶.
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：|− 3|−(π−2020)0−2sin60°+(13)−1．
18.(本小题8分)
解不等式组：−x+6≥4(x−1)3x+14>x6，并写它的整数解．
19.(本小题8分)
解方程：2x−3x+1=1−xx+1．
20.(本小题8分)
如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.己知AC=6，csA=35．

(1)求线段CD的长；
(2)求cs∠DBE的值．
21.(本小题8分)
关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m2=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
22.(本小题8分)
小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
(1)若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是______．
(2)若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．
23.(本小题8分)
如图，将等边三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处(不与B、C重合)，折痕为EF．
(1)求证：△BDE∽△CFD；
(2)若BD=6，DC=2，分别求△BDE，△CFD的周长；
(3)在(2)的条件下，求BE的长．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=kx+2k(k>0)与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数y=mx(x>0)的图象的交点P位于第一象限．
(1)若点P的坐标为(1,6)，
①求m的值及点A的坐标；
②PBPA= ______；
(2)直线l2：y=2kx−2与y轴交于点C，与直线l1交于点Q，若点P的横坐标为1，
①写出点P的坐标(用含k的式子表示)；
②当PQ≤PA时，求m的取值范围．
25.(本小题8分)
某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
(3)求h关于d的函数表达式；
(4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度(不考虑其他因素)就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)，(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)当c=2，m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m|bc|，b+c|a|，
∴ad0时，a2=(12)2=14，1a=112=2，
此时a2x6②
由①可得：x≤2，
由②可得：x>−37，
∴原不等式组的解集为−370，
解得m≥−14；
(2)取m=0，此时方程为x2−x=0，
∴x(x−1)=0，
则x=0或x−1=0，
解得x=0或x=1(答案不唯一)．
【解析】(1)先根据方程有两个实数根得出Δ=[−(2m+1)]2−4×1×m2>0，解之可得；
(2)在以上所求m的范围内取一值，如m=0，再解方程即可得．
本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ0，解得x=−2，
∴点A的坐标为(−2,0)，
∵点P的坐标为(1,6)，
∴m=1×6=6；
②∵直线l1：y=kx+2k(k>0)函数y=mx(x>0)的图象的交点P，且P(1,6)，
∴6=k+2k，解得k=2，
∴y=2x+4，
令x=0，则y=4，
∴B(0,4)，
∵点A的坐标为(−2,0)，
∴PA= (1+2)2+62= 45，PB= 12+(6−4)2= 5，
∴PBPA= 5 45=13，
故答案为13；
(2)①把x=1代入y=kx+2k得y=3k，
∴P(1.3k)；
②由题意得，kx+2k=2kx−2，
解得x=2+2k，
∴点Q的横坐标为2+2k，
∵2+2k>1(k>0)，
∴点Q在点P的右侧，
如图，分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标1，2+2k，
若PQ=PA，则PQPA=1，
∴PQPA=MNMA=1，
∴MN=MA，
∴2+2k−1=3，解得k=1，
∵MA=3，
∴当PQPA=MNMA≤1时，k≥1，
∴m=3k≥3，
∴当PQ≤PA时，m≥3．
(1)①把P(1,6)代入函数y=mx(x>0)即可求得m的值，直线l1：y=kx+2k(k>0)中，令y=0，即可求得x的值，从而求得A的坐标；
②把P的坐标代入y=kx+2k即可求得k的值，进而求得B的坐标，然后根据勾股定理求得PB和PA，即可求得PBPA的值；
(2)①把x=1代入y=kx+2k，求得y=3k，即可求得P(1,3k)；
②分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标1，2+2k，若PQ=PA，则PQPA=1，根据平行线分线段成比例定理则PQPA=MNMA=1，得出MN=MA=3，即可得到2+2k−1=3，解得k=1，根据题意即可得到当PQPA=MNMA≤1时，k≥1，则m=3k≥3．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，勾股定理的应用，利用函数图象解决问题是本题的关键．
25.【答案】解：(1)如图，

(2)水柱最高点距离湖面的高度是4米；
(3)由图象可得，顶点(1,4)，
设二次函数的关系式为h=a(d−1)2+4，
把(2,3)代入可得a=−1，
所以h=−(d−1)2+4；
(4)设水枪高度向上调整m米，
设平移后二次函数关系式为h′=−(d−1)2+4+m，
当d=1+2=3时，h′=−4+4+m=m，
∴m≥2，
答：水枪高度至少向上调整2米．
【解析】(1)根据对应点画图象即可；
(2)由图象可得答案；
(3)利用待定系数法可得关系式；
(4)设水枪高度向上调整m米，设平移后二次函数关系式为h′=−(d−1)2+4+m，
再根据二次函数的性质可得答案．
本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
26.【答案】解：(1)法一、将点(1,m)，(3,n)代入抛物线解析式，
∴m=a+b+cn=9a+3b+c，
∵m=n，
∴a+b+c=9a+3b+c，整理得，b=−4a，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−−4a2a=2；
∴t=2，
∵c=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为(0,2)．
法二、当m=n时，点A(1,m)，B(3,n)的纵坐标相等，
由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为x=1+32，
∴t=2，
∵c=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为(0,2)．
(2)∵m