上海市南洋模范中学2023-2024学年高二下学期4月段考数学试卷

这是一份上海市南洋模范中学2023-2024学年高二下学期4月段考数学试卷，文件包含2023-2024学年上海市南模中学高二年级下学期段考-解析版docx、2023-2024学年上海市南模中学高二年级下学期段考-学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
2024.4
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为______.
2.直线被圆截得的弦长为______.
3.两条直线和的夹角大小为______.
4.设直线经过点，则当点与直线的距离最远时，直线的方程是______.
5.若椭圆的离心率为，则______.
6.已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为______.
7.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ______．
8.已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为______.
9.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是______.
10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______.
11.已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点．当时，，则______.
12.已知曲线，，其中．
①当时，曲线与有4个公共点；
②当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积；
③存在，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；
④对任意，曲线围成的区域内整点（即横、纵坐标均为整数的点）个数不少于曲线围成的区域内整点个数．
其中，所有正确结论的序号是______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知直线与直线互相平行，则实数的值为
A．B．2或C．2D．
14.设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上一点，若，则点的个数为
A．0B．1C．2D．3
15.已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
16.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积暅相等，则它们的体积相等．已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知平面内两定点，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线与曲线交于不同的两点、，求
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知直线和圆．
（1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通号线线路示意图如图所示，已知、是东西方向主干道边两个景点，、是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心均为，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，线路段上任意一点到的距离都相等，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，以为原点建立平面直角坐标系．
（1）求轨道交通号线线路示意图所在曲线的方程；
（2）规划中的线路段上需建一站点到景点的距离最近，问如何设置站点位置？
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知双曲线的左右焦点为
（1）若双曲线的离心率为，且，是正三角形，求的方程
（2）若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为，若，求
（3）在（1）的条件下，若动直线与恰有1个公共点且与的两条渐近线分别交于，记的面积为，的面积为（是坐标原点），问：是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由。
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点.
（1）若，求点的横坐标；
（2）证明：直线过定点；
（3）设为直线与直线的交点，求面积的最小值.