陕西省西安市西咸新区2024届高三下学期第一次模拟考试数学（理科）试题

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符含题目要求的。
1．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z＝1+ai，，则a＝（ ）
A．1或﹣1B．C．D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：因为复数z＝1+ai，所以，，
所以，
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
2．（5分）设集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．{x|x＞﹣2}B．{x|x＞0}C．{x|﹣2＜x≤0}D．{x|0≤x≤1}
【分析】根据集合的基本运算即可求（∁RA）∩B．
【解答】解：∵A＝{x|x＞0}，∴∁RA＝{x|x≤0}，
∵B＝{x|﹣2＜x≤1}，∴（∁RA）∩B＝{x|﹣2＜x≤0}．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
3．（5分）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝1，b1＝5，且a21﹣b21＝34，则a11﹣b11的值为（ ）
A．﹣17B．﹣15C．17D．15
【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解．
【解答】解：因为数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝1，b1＝5，
因为a21﹣b21＝34，
则2（a11﹣b11）＝（a1+a21）﹣（b1+b21）＝a1﹣b1+a21﹣b21＝30，
所以a11﹣b11＝15．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
4．（5分）已知变量x，y之间的一组相关数据如下表所示：
据此得到变量x，y之间的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．变量x，y之间成负相关关系
B．可以预测，当x＝20时，
C．m＝4
D．该回归直线必过点（9，4）
【分析】由﹣0.7＜0可判断A，令线性回归方程中x＝20进行预测，可判断B，利用线性回归方程过点（，）可求出m的值，进而判断CD．
【解答】解：对于A，由﹣0.7＜0，得变量x，y之间呈负相关关系，故A正确；
对于B，当x＝20时，，故B正确；
对于C，由表格数据可知（6+8+10+12）＝9，＝，
则 10.3，
解得m＝5，故C错误；
对于D，由m＝5，得，所以该回归直线必过点（9，4），故D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于中档题．
5．（5分）中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图．E对应的是正四棱台中间位置的长方体，B、D、H、F对应四个三棱柱，A、C、I、G对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和等于长方体E的体积，则四棱锥I与三棱柱H的体积之比为（ ）
A．3：1B．1：3C．2：3D．1：6
【分析】设四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b，则根据题意易得b2h＝2abh，从而可得b＝2a，再利用体积公式计算，即可求解．
【解答】解：设四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b，
则中间位置的长方体E的体积为b2h，四个三棱柱的体积为＝2abh，
又这四个三棱柱的体积之和等于长方体E的体积，∴b2h＝2abh，
∴b＝2a，
∴四棱锥I与三棱柱H的体积之比：＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查几何体的体积的求解，化归转化思想，属基础题．
6．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，可将转化为以，解之即可．
【解答】解：因为f（x）是偶函数，
所以可等价转化为，
又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
所以，即，
解得：，
所以原不等式的解集为．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合运用，属于中档题．
7．（5分）将5个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别求出将5个1和2个0随机排成一行的种数和2个0不相邻的种数，利用古典概型的概率公式直接求解．
【解答】解：将5个1和2个0随机排成一行，总的排放方法有种，
要使2个0不相邻，利用插空法，5个1有6个位置可以放0，故排放方法有种，
所以所求概率为．
故选：C．
【点评】本题考查古典概率模型计算公式，属于基础题．
8．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1，侧棱AA1的长为2，则异面直线AB1与A1C所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】将两异面直线平移成相交直线，再解三角形，即可求解．
【解答】解：如图，设AA1，A1BE，AC，AB的中点分别为E，F，G，H，
则EF∥AB1，EF＝AB1；EG∥A1C，EG＝A1C，
∴异面直线AB1与A1C所成角即为∠FEG或其补角，
又根据题意易知EF＝EG＝＝，FG＝＝＝，
∴cs∠FEG＝＝，
∴异面直线AB1与A1C所成角的余弦值为．
故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成角的求解，化归转化思想，属中档题．
9．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的最小正周期为T，且f（T）＝．将y＝f（x）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则ω的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【分析】首先根据正弦函数的周期公式，诱导公式可求sinφ＝，进而可求φ＝，利用函数的图象的平移变换以及三角函数的性质即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的最小正周期为T，且f（T）＝，
所以f（）＝sin（2π+φ）＝sinφ＝，
所以φ＝，
所以f（x）＝sin（ωx+）的图象向右平移个单位后得到f（x）＝sin（ωx﹣ω+），
因为所得函数的图象关于y轴对称，
所以﹣ω+＝kπ+，k∈Z，
所以可得ω＝﹣6k﹣1，k∈Z，
因为ω＞0，
所以ω的最小值为5．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的周期公式，函数图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和函数思想，属于中档题．
10．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A为双曲线C的右支上一点，且|AF1|＝2c，AF1与y轴交于点B，若|AF2|＝|BF2|，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合双曲线的定义与对称性，可得|BF1|＝|BF2|＝|AF2|＝2c﹣2a，再在△AF1F2中，利用余弦定理，求解即可．
【解答】解：由双曲线的定义知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，
所以|AF2|＝2c﹣2a＝|BF2|，
由双曲线的对称性知，|BF1|＝|BF2|＝2c﹣2a，
在Rt△OBF1中，cs∠AF1F2＝＝，
在△AF1F2中，由余弦定理知，cs∠AF1F2＝＝＝，
所以＝，
整理得，c2﹣3ac+a2＝0，
两边同时除以a2，由e＝，知e2﹣3e+1＝0，
解得e＝，
因为e＞1，所以e＝，即双曲线C的离心率为．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义与几何性质，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11．（5分）已知圆O的方程为：x2+y2＝1，点A（2，0），B（0，2），P是线段AB上的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四边形PCOD的面积的最大值为；③的最小值为﹣1；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①④
【分析】根据平面向量数量积的计算公式，即可一一判断正误．
【解答】解：对于①，当P为AB的中点时，切线PC、PD的长最小，四边形PCOD的面积最小，
此时面积最小值为S四边形PCOD＝1×1＝1，故①正确；
对于②，当P为AB的端点时，切线PC、PD的长最大，四边形PCOD的面积最大，
此时面积最大值为S四边形PCOD＝，故②正确；
对于③，当P为AB的中点时，∠CPD＝90°，的值最小，最小值为0，故③错误；
对于④，当P为AB的端点时，∠CPD＝60°，的值最大，
最大值为，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查数量积的计算公式，属于基础题．
12．（5分）已知，，，则（ ）
A．P＜N＜MB．N＜P＜MC．P＜M＜ND．M＜N＜P
【分析】根据题意可得M＝，N＝，P＝，令f（x）＝，x＞0，求导分析单调性，进而可得答案．
【解答】解：M＝＝＝＝，
N＝ln＝ln3＝，
P＝＝＝＝，
令f（x）＝，x＞0，
f′（x）＝＝，
令f′（x）＝0得x＝e，
所以在（0，e）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（e，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
因为0＜＜＜e，
所以f（）＜f（），
所以P＜M，
令t＝，t∈（0，），则方程t＝有两个根，不妨设为x1，x2，则0＜x1＜e＜x2，
所以lnx1＝tx1，lnx2＝tx2，
所以lnx2﹣lnx1＝t（x2﹣x1），lnx2+lnx1＝t（x2+x1），
即ln＝t（x2﹣x1），lnx1x2＝t（x2+x1），
所以＝，
所以lnx1x2＝ln＝ln，
令t＝，则t＞1，则lnx1x2＝lnt，
令h（t）＝lnt，t＞1，
下证h（t）＞2，即证lnt＞2，
即证lnt＞，
即证lnt﹣＞0，
令u（t）＝lnt﹣，t＞1，
u′（t）＝﹣＝﹣＝＝＞0，
所以u（t）在（1，+∞）上单调递增，
所以u（t）＞u（1）＝0，
所以lnt＞，
所以lnt•＞2，
所以lnx1x2＞2，
所以x1x2＞e2，
当x2＝3时，e＞x1＞，
所以f（x1）＞f（），
又f（x2＝3）＝f（x1）＞f（），
所以f（）＜f（）＜f（3），
所以P＜M＜N，
故选：C．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题关键是转化思想的应用，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量＝（﹣1，m），2+＝（2，3+2m），则||＝ 5 ．
【分析】根据可得出向量的坐标，然后即可得出的值．
【解答】解：，
∴．
故答案为：5．
【点评】本题考查了向量坐标的减法和数乘运算，向量长度的计算公式，是基础题．
14．（5分）已知实数x，y满足，则2x+y的最小值为 1 ．
【分析】根据题意作出可行域，然后将直线l：z＝2x+y进行平移，并观察它在y轴上的截距，找出使z取得最小值的点，进而算出所求最小值．
【解答】解：根据题意，作出不等式组足表示的平面区域，
得到如图所示的△ABC及其内部，其中A（0，1），B（1，0），C（2，3），
设z＝2x+y，将直线l：z＝2x+y进行平移，并观察它在y轴上的截距，
可知：当直线l经过点A时，它在y轴上的截距达到最小值1，所以z＝2x+y的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、简单的线性规划等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
15．（5分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC＝2BF，且AF＝4，则此抛物线的方程为 y2＝3x．
【分析】设出直线方程，与抛物线联立消去y得到关于x的一元二次方程，求得xAxB的表达式，根据BC＝2BF确定关于p的等式，求得p，则抛物线方程可得．
【解答】解：设直线AC的方程为ky＝x﹣（k≠0）
联合抛物线y2＝2px
消去y得x2﹣（1+2k2）px+＝0
∴xAxB＝①
依据抛物线的特性
|AF|＝xA+；|BF|＝xB+，
∴|CB|：|BF|＝
（xB+）：p＝|CB|：|CF|＝2：3
∴xB＝②
∴①②联立求得xA＝，
∴|AF|＝+＝2p＝3，
∴抛物线方程y2＝3x．
故答案为：y2＝3x．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解决直线与抛物线的关系问题，一般考虑韦达定理的灵活运用．
16．（5分）在数列{an}中，a1＝1，．记Sn是数列{an}的前n项和，则S4n＝ 4n2+2n．
【分析】根据当n为奇数时，an+2﹣an＝2，当n为偶数时，an+2+an＝2，分组求和即可．
【解答】解：由题知，a1＝1，，
当n为奇数时，an+2﹣an＝2，
所以奇数项构成等差数列，首项为1，公差为2，
当n为偶数时，an+2+an＝2，
所以a2+a4＝a6+a8＝＝2，
所以S4n＝（a1+a3+a5++a4n﹣1）+（a2+a4+a6++a4n）＝．
故答案为：4n2+2n．
【点评】本题主要考查数列的求和，数列递推式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分。
17．（12分）近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛（满分100分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了50份，将成绩进行统计得到以下频数分布表：
试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：
（Ⅰ）从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）？
（Ⅱ）校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：
方案一：记学生得分为x，当x＜70时，奖励该学生10元食堂代金券；当70≤x＜90时，奖励该学生25元食堂代金券；当x≥90时，奖励该学生35元食堂代金券；
方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励10元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励30元食堂代金券．
若高一年级组长希望本年级学生获得更多的奖励，则他应该选择哪种方案？
【分析】（Ⅰ）分别计算高一、高二年级的平均数和方差，比较即可得出结论．
（Ⅱ）计算选择方案一、方案二高一年级获得代金券，比较即可．
【解答】解：（Ⅰ）高一年级的平均数为×（65×15+75×5+85×15+95×15）＝81，
方差为×[（65﹣81）2×15+（75﹣81）2×5+（85﹣81）2×15+（95﹣81）2×15]＝144，
高二年级的平均数为×（65×10+75×10+85×20+95×10）＝81，
方差为×[（65﹣81）2×10+（75﹣81）2×10+（85﹣81）2×20+（95﹣81）2×10]＝104，
两个年级的平均数相等，但高二年级的方差小于高一年级的方差，
所以高二年级竞赛成绩更好．
（Ⅱ）若选择方案一，则高一年级获得代金券为：15×10+20×25+15×35＝1175（元）；
若选择方案二，中位数为第25位和第26位同学的成绩之和的一半：85+85＝85（分），
则高一年级获得代金券为：20×10+30×30＝1100（元）；
所以高一年级组长会选择方案一．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了数据分析核心素养，是中档题．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcsC+csinB＝0．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长．
【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可求sinBcsC+sinCsinB＝0，结合sinB＞0，可求tanC＝﹣1，结合范围0＜C＜π，可求C的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理可求c的值，csB的值，设BC的中垂线交BC于点E，在Rt△BCD中，可求BD的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bcsC+csinB＝0，
∴由正弦定理知，sinBcsC+sinCsinB＝0…（2分）
∵0＜B＜π，
∴sinB＞0，于是csC+sinC＝0，即tanC＝﹣1…（4分）
∵0＜C＜π
∴．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，，
∴c＝5，…（8分）
∴，…（10分）
设BC的中垂线交BC于点E，
∵在Rt△BDE中，，
∴＝＝．…（12分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形中垂线的性质的综合应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．
19．（12分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2．
（1）求证：BD⊥平面ADE；
（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．
【分析】（1）由勾股定理得出AD＝BD＝2，故而AD⊥BD，由面面垂直的性质得出BD⊥平面ADE；
（2）以D为原点建立坐标系，求出和平面CDE的法向量，则直线BE和平面CDE所成角的正弦值为|cs＜＞|．
【解答】解：（1）∵EA＝ED＝2，EA⊥ED，∴AD＝2．
∵BC＝CD＝2，BC⊥CD，∴BD＝2
又AB＝4，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD．
又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥平面ADE．
（2）取AD的中点F，连接EF，则EF⊥平面ABCD，EF＝．
过D点作直线Oz∥EF，则Oz⊥平面ABCD．
以D为坐标原点，以DA，DB，Dz为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，
∴D（0，0，0），C（﹣，，0），B（0，2，0），E（，0，），
∴＝（，﹣2，），＝（，0，），＝（﹣，，0）．
设平面CDE的一个法向量为＝（x，y，z），则，
∴，设x＝1得＝（1，1，﹣1）．
∴cs＜＞＝＝＝﹣．
∴直线BE和平面CDE所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．
20．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点在椭圆E上，过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B和点C，D，且点M，N分别是弦AB，CD的中点．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若D（0，1），求以CD为直径的圆的方程；
（Ⅲ）直线MN是否过x轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据题设条件，结合椭圆性质列方程求解即可；
（Ⅱ）求得直线CD的方程为x+y＝1，联立直线方程与椭圆方程，解出C点坐标，从而求得以CD为直径的圆的方程；
（Ⅲ）设直线AB的方程为x＝my+1，m≠0，则直线CD的方程为，与椭圆方程联立，解出M，N的坐标，写出直线MN的方程，即可判定是否过定点．
【解答】解：（I）因为椭圆经过点，
且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，
则b＝c，a2＝b2+c2＝2b2，
即，解得a2＝2，b2＝1，
故椭圆E的方程为；
（II）由题意，F2（1，0），D（0，1），故直线CD的方程为x+y＝1，
联立，解得或，所以C（），
所以＝，
故以CD为直径的圆的方程为；
（III）设直线AB的方程为x＝my+1，m≠0，则直线CD的方程为，
联立消去x得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
∴，
由中点坐标公式得，将M的坐标中的m用代换，
得CD的中点，所以，
故直线MN的方程为，
即为，则直线MN过定点．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，属中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex+（a﹣1）x﹣1，其中a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞1时，证明：f（x）＞xlnx﹣acsx．
【分析】（1）先求得f′（x），然后对a进行分类讨论，从而求得f（x）的单调区间．
（2）将要证明的不等式转化为ex+a（x+csx）﹣x﹣1﹣xlnx＞0，x∈（0，+∞），利用构造函数法、放缩法，结合多次求导来研究所构造函数的单调性，进而证得不等式成立．
【解答】解：（1）因为f（x）＝ex+（a﹣1）x﹣1，所以f′（x）＝ex+a﹣1，
当a≥1时，f′（x）＝ex+a﹣1＞0，函数f（x）在R上单调递增；
当a＜1时，由f′（x）＝ex+a﹣1＞0，得x＞ln（1﹣a），
函数f（x）在区间（ln（1﹣a），+∞）上单调递增，
由f′（x）＝ex+（a﹣1）＜0，得x＜ln（1﹣a），函数f（x）在区间（﹣∞，ln（1﹣a））上单调递减．
（2）要证f（x）＞xlnx﹣acsx，即证ex+（a﹣1）x﹣1＞xlnx﹣acsx，x∈（0，+∞），
即证ex+a（x+csx）﹣x﹣1﹣xlnx＞0，x∈（0，+∞），
设k（x）＝x+csx，k′（x）＝1﹣sinx≥0，
故k（x）在（0，+∞）上单调递增，又k（0）＝1＞0，所以k（x）＞1，
又因为a＞1，所以a（x+csx）＞x+csx，
所以ex+a（x+csx）﹣x﹣1﹣xlnx＞ex+csx﹣1﹣xlnx，
①当0＜x≤1时，因为ex+csx﹣1＞0，xlnx≤0，所以ex+csx﹣1﹣xlnx＞0；
②当x＞1时，令g（x）＝ex+csx﹣xlnx﹣1，则g′（x）＝ex﹣lnx﹣sinx﹣1，
设h（x）＝g′（x），则，设，
则，因为x＞1，所以m′（x）＞0，
所以m（x）即h′（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h′（x）＞h′（1）＝e﹣1﹣cs1＞0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）＞h（1）＝e﹣sin1﹣1＞0，即g′（x）＞0，
所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，g（x）＞g（1）＝e+cs1﹣1＞0，
即ex+csx﹣1﹣xlnx＞0．
综上可知，当a＞1时，ex+a（x+csx）﹣x﹣1﹣xlnx＞ex+csx﹣1﹣xlnx＞0，
即f（x）＞xlnx﹣acsx．
【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，考查了构造函数解决问题的能力，考查了函数思想及分类讨论思想，属于难题．
选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程及直线l1的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P的极坐标为，射线l2的极坐标方程为，射线l2与曲线C和直线l1分别交于A，B两点，求△ABP的面积．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（Ⅱ）利用方程组和三角形的面积公式求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（φ为参数），利用三角函数的关系式的变换，转换为直角坐标方程为，根据，转换为极坐标方程为；
直线l1的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为．
（Ⅱ）点P的极坐标为，转换为直角坐标为（0，），
射线l2与曲线C和直线l1分别交于A，B两点，
所以，解得，
同理，解得ρB＝2，
所以＝1﹣．
【点评】本题考查的知识点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
【选修4-5：不等式选讲】
23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0，
（2）若关于x的方程f（x）+4|x﹣2|﹣2m2+3m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用零点分段法分类讨论x的取值范围，去掉绝对值符号，即可求解；
（2）将f（x）+4|x﹣2|﹣2m2+3m＝0没有实数根，转化为f（x）+4|x﹣2|＝2m2﹣3m没有实数根，求出函数g（x）＝f（x）+4|x﹣2|的最小值，结合题意可得不等式，即可求得答案．
【解答】解：（1）当x≥2时，f（x）＝2x+1﹣（2x﹣4）＝5＞0恒成立；
当时，f（x）＝2x+1+2x﹣4＝4x﹣3＞0，得；
当时，f（x）＝﹣5＞0不成立，
综上，原不等式的解集为；
（2）方程f（x）+4|x﹣2|﹣2m2+3m＝0没有实数根，即f（x）+4|x﹣2|＝2m2﹣3m没有实数根，
令g（x）＝f（x）+4|x﹣2|，则g（x）＝|2x+1|+|2x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣4）|＝5，
当且仅当（2x+1）（2x﹣4）≤0时，即时等号成立，即g（x）值域为[5，+∞），
若g（x）＝2m2﹣3m没有实数根，则2m2﹣3m＜5，即2m2﹣3m﹣5＜0，解得为．
所以实数m的取值范围为．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，属于中档题．x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
成绩
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
高一学生人数
15
5
15
15
高二学生人数
10
10
20
10