重庆市垫江第二中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

这是一份重庆市垫江第二中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．高二年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
2．如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间1（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为：（ ）（单位：米/秒）
A． B． C． D．
3．如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）．
A．180 B．160 C．96 D．60
4．下列求导运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数（e为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数，则满足不等式的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。
9．已知集合，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b．则下列说法正确的有（ ）
A．表示不同的正数的个数是6 B．表示不同的比1小的数的个数是6
C．表示x轴上方不同的点的个数是6 D．表示y轴右侧不同的点的个数是6
10．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A． B．只有一个零点
C．有两个零点 D．有一个极大值点
11．已知函数在区间上存在最小值，则整数a可以取（ ）
A． B． C． D．0
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．由数字0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个．
13．已知函数，则曲线在点处的切线方程是__________．
14．关于函数，有如下四个结论：
①函数不仅有极小值也有极大值；
②的在处的切线与垂直；
③若函数有三个零点，则；
④若时，，则t的最小值为3．
其中所有正确结论的序号是__________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
用0、1、2、3、4、5这六个数字
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数；
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数；
（3）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数．
16．（本小题满分15分）
己知函数的图象过点，且．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线过点的切线方程．
17．（本小题满分15分）
已知函数（其中e是自然对数的底数）．
（1）求在上的最值；
（2）若函数没有零点，求实数a的取值范围．
18．（本小题满分17分）已知函数．
（1）当时，求证：在R上是增函数；
（2）若在区间上存在最小值，求a的取值范围；
（3）若仅在两点处的切线的斜率为1，求a的取值范围．（结论不要求证明）
19．（本小题满分17分）
已知e是自然对数的底数，常数，函数．
（1）求、的单调区间；
（2）讨论直线与曲线的公共点的个数；
（3）记函数，，若，且，则，求实数a的取值范围．
参考答案
12．78 13．
14．①③④
由己知，
则
当或时，时，，所以在和上递减，在上递增，
极小值，极大值为，①正确；
在处的切线斜率，直线斜率，两直线不垂直，②错误；
当时，，当时，，若有三个实根，则，③正确；
若时，，则，t的最小值为3，故④正确．
故答案为：①③④
15．（1）100 （2）180
（3）131 解：若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以，数字不重复的三位数个数为．
（2）解：若组成的数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以，数字允许重复的三位数的个数为个
（3）解：若组成的数字为数字不重复的小于1000的自然数，分以下三种讨论：
①数字为个位数，共6个；
②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共个；
③数字为三位数，共有100个．
综上所述，数字不重复的小于1000的自然数个数为个．
16．（1）． （2）
（1）因为函数的图象过点，所以①．
又，所以②，
由①②解得．
（2）由（1）知，
设所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
可得，
，
，解得，
所以切点为，切线方程为．
故曲线过点的切线方程为．
17．（1）最小值为，最大值为．
（2）
（1）解：，
所以，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为，
所以，函数在上的最小值为，最大值为．
（2）解：因为函数没有零点，
所以方程无实数根，即方程没有实数根，
令，则，
所以，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，函数在处取得最大值
因为当时，当时，
所以，函数的值域为，
所以，当方程没有实数根，，即
所以，实数a的取值范围为．
18．1．（1）证明见解析
（2） （3）
（1）当，即时，，
令解得，
当时，，当时，，
又连续，所以在R上是增函数
（2），
当时，，
①当时，在上恒成立，
所以，在区间上单调递增，所以在区间上不存在最小值；
②当时，令解得，此时，
所以存在最小值，且，
综上a的取值范围是
（3）仅在两点处的切线的斜率为1，即有两个不同解，解法一：方程有两个不同的解，即与的图象有两个交点，令，则
所以图象大致如下，
由图象可知与的图象有两个交点，则a的取值范围为．
解法二：方程有两个不同的解，即与的图象有两个交点，
在同一坐标系上画和的图象如图，
由图象可得当时与的图象有两个交点，即a的取值范围为．
19．（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；的单调递减区间是，单调递增区间是
（2）无公共点 （3）
（1）函数的定义域为．
，
，
当时，，当时，，
的单调递增区间是，单调递减区间是；
函数的定义域为，常数，
∴当时，，当时，．
的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）设，它的定义域为，，
∴当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
的最小值为，
不成立，即方程无实数解，
故方程无实数解，直线与曲线无公共点；
（3）根据已知，的定义域为，
设，由（2）得，且，
由，记，则，
由得，
由（1）知在上单调递减，故，
，
记，则，由，得，
，若，且，则，
，
，
设，则，
解得，
由得，由得，
，
设，则，
，
由e是自然对数的底数，得，
由（1）知，在上单调递减，
在上单调递增；由得，
又，
∴存在唯一，使，
∴当时，，当时，，当时，，
∴当时，单调递增，故；
当时，单调递减，故；
当时，单调递增，故．
综上所述，当时，，
．
∴实数a的取值范围为．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
D
A
A
D
D
B
D
BC
BD
CD
-
0
+
极小值