2024年浙江省杭州市文澜中学九年级第六次模拟考试数学模拟预测题

这是一份2024年浙江省杭州市文澜中学九年级第六次模拟考试数学模拟预测题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．实数，0，，1.5中无理数是（ ）
A．B．0C．D．1.5
2．若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．点在反比例函数的图像上，当时，y的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
5．如图，在菱形ABCD中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，直角三角形ABC中，，中线中线CE，且相交于F，已知，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
8．若，且关于x的方程的解为，，关于x的方程的解为，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且，连接AE，AF，若，，则（ ）
A．B．C．D．
10．关于二次函数的三个结论：
①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；
②若，对应的y的整数值有4个，则；
③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且，则．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：__________．
12．从数，，3中任取两个，其和为2的概率是__________．
13．已知、是方程的两根，则__________．
14．如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角为，点A，B，C都在格点上，则的值是__________．
15．如图，一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点，在第三象限交于点B．点P为y轴上的一点，连接PA、PB，若，则点P的坐标为__________．
16．如图，四边形ABCD是的内接四边形，，对角线AC、BD相交于点E，GH是直径，于点F，．若，则的值是__________．
三、解答题（本题有8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
18．为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要几间．
19．设一次函数（a是常数，）．
（1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标；
（2）若时，该一次函数的最大值是6，求a的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）的外接圆的半径为__________；
（2）将绕点B顺时针旋转后得到，请在图中画出；
（3）在（2）的条件下，求出线段AC扫过的区域图形的周长．
21．四边形ABCD中，点E在边AB上，连结DE，CE．
（1）如图1，若，证明：．
（2）如图2，若四边形ABCD为矩形，，，且与E、B、C为顶点的三角形相似，求AE的长．
22．某课桌生产厂家研究发现，倾斜至的桌面有利于学生保持躯体自然姿势，根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度得桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根长度一定且C处固定，可旋转的支撑臂CD，．
（1）如图2，当时，，求支撑臂CD的长；
（2）如图3，当时，求AD的长．（结果保留根号）
（参考数据：，，，）
23．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为，加长后水池1的总面积为，则关于x的函数解析式为：；设水池2的边EF的长为，面积为，则关于x的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是__________（可省略单位），水池2面积的最大值是__________；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是__________，此时的值是__________；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是__________；
（4）在范围内，求两个水池而积差的最大值和此时x的值；
（5）假设水池ABCD的边AD的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求b的值．
24．如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上，且，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．
（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求线段CD的长度；
（2）在（1）的条件下，当，时，求线段BD的长度；（答案用含的代数式表示）
（3）若，且，，求的面积．
2024年浙江省杭州市文澜中学初三第六次考试（校一模）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】A
2．【解答】B．
解：A．由，得，那么A错误，故A不符合题意．
B．由，得，推断山，那么B正确，故B符合题意．
C．由，得，那么C错误，故C不符合题意．
D．由，得，那么D错误，故D不符合题意．
3．【分析】将代入反比例函数解析式求出k，再将代入解析式求解．
【解答】解：，当时，y随x增大而减小，
代入得，，将代入得，
将代入得，时，，故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数与方程及不等式的关系．
4．【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，则，解得，
这个多边形是五边形，故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
5．【分析】根据菱形的性质，平行线的性质计算判断即可．
【解答】解：菱形ABCD，，，，
，，故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键．
6．【解答】B
7．【解答】B
8．【分析】关于x的方程的解为，可理解为抛物线与直线的两交点的横坐标分别为，，如图，同样得到抛物线与直线的两交点的横坐标分别为，，如图，然后利用函数图象进行判断．
【解答】解：关于x的方程的解为，，
抛物线与直线的两交点的横坐标分别为，，如图，
关于x的方程的解为，，
抛物线与直线的两交点的横坐标分别为，，如图，
．故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
9．【分析】根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：四边形ABCD是正方形，，，
，，，，
，，
，，
，，
，，，
，，，故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
10．【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为：，
，与关于对称轴对称．
对任意实数m，都有与对应的函数值相等．①正确．
当时，若3x4，则y随x的增大而增大，
当时，，
当时，．．
的整数值有4个，，．②正确．
设，，且．
，是方程数的根．，．
．
，．或（舍去）．
又抛物线与x轴有两个不同的交点，，或（舍去）．
综上：a1，③不正确．故答案为：A．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．【解答】．
12．【解答】．
13．【解答】．
14．【分析】如图，连接EA、EC，先证明，E、C、B共线，再根据，求出AE、AB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，
由题意得，，，，
则，，，，
，，，C、B共线，
在中，．故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．【解答】解：一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点，
，，反比例函数的解析式为；
由，解得或，，
令，则，，
，，，
点P的坐标是或．
16．【解答】证明：，，，
，，，
为的直径，，，
，，，，，
，，，，，
，，，
，，，．
三、解答题（本题有8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】（1）分别求出不等式组中两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集及不等式组的最小整数解；
（2）方程两边同时乘以，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
【解答】解：（1）解不等式①得：x2
解不等式②得：，原不等式组的解集为，它的最小整数解为0；
（2），去分母得：，解得：，
当时，，原分式方程的解为．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的一般步骤，解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．
18．【解答】解：（1）由选“包粽子”人数18人，在扇形统计图中占比，可得，
本次调查抽取的学生人数为50人．
其中选“采艾叶”的人数：．
补全条形统计图，如图：
（2）选“折纸龙”课程的比例．
选“折纸龙”课程的总人数为（人），
即估计选择“折纸龙”的学生有160人．
需要x间，则有，，需要6间．
19．【解答】解：（1）一次函数，当吋，，
无论a取何值，该一次函数图象始终过定点；
（2）当时，当时，一次函数，解得，
当时，当时，一次函数，解得（不合题意，舍去），综上，；
20．【解答】解：（1），，，，，，
在中，
的外接圆半径为．
（2）如图，为所作图形；
（3）弧长．
弧长．
线段AC扫过的区域图形的周长．
21．【分析】（1）由点E在边AB上，且，
得，，所以，
又因为，所以根据“有两个角分別相等的两个三角形相似”即可证明；
（2）分两种情况：或，设，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出x的值即可．
【解答】（1）证明：点E在边AB上，且，
，
，，
，；
（2）如图2、如图3，
分两种情况：
设，，，
当时，，，解得，；
时，，，解得：，
综上，AE的长为1或4或2.5．
【点评】此题考查相似二角形的判定与性质、同角的余角相等、矩形的性质等知识，找出图形中的相似三角形并根据已知条件证明三角形相似是解题的关键．
22．【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出，进而求出即可；
（2）利用锐角三角函数关系得出，进而求出DE，AE的长，即可得出AD的长．
【解答】解：（1），，，
，支撑臂CD的长为；
（2）过点C作，于点E，
当时，，，
，，，
的长为或．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数关系是解题关键．
23．【分析】（1）依据函数图象和函数解析式，利用二次函数的性质解答即可；
（2）利用图象交点的数学意义解答即可；
（3）依据图象，利用数形结合法解答即可；
（4）在范围内，求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可；
（5）令，得到关于x的一元二次方程，解的方程即可求得b值．
【解答】解：（1），又，
抛物线的开口方向向下，当x3时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，
，当时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，水池2面积的最大值是．
故答案为：；9；
（2）由图象可知：两函数图象相交于点C，E，此时两函数的函数值相等，即：，
解得：或4，表示两个水池面积相等的点是：C，E，此时的值是：1或4．
故答案为：C，E；1或4；
（3）由图象知：图象中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，即当或时，水池1的面积大于水池2的面积，故答案为：或；
（4）在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作轴交线段CE于点G，
则线段FG表示两个水池面积差，
设，则，，
，当时，FG有最大值为．
在范围内，两个水池面积差的最大值为，此时x的值为；
（5）水池3与水池2的面积相等，，即：，．
若水池3与水池2的面积相等吋，有唯一值，
，解得：．
若水池3与水池2的面积相等吋，有唯一值，b的值为米．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，图象上点的坐标的实际意义，配方法求二次函数的极值，二次函数与二次方程的联系，充分理解函数图象上点的坐标的数学意义是解题的关键．
24．【分析】（1）过O作于H，根据点D为弧EC的中点，可得，进而得出，再根据圆O的半径为2，即可得到；
（2）先判定，可得，再根据，即可得出；
（3）连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，依据，，判定，即可得到，设，再根据，可得，由此构建方程求出x，再利用勾股定理求出OH，可得结论．
【解答】解：（1）如图，过O作于H，
点D为弧EC的中点，弧弧CD，，，
圆O的半径为2，即，，;
（2），，
，，，
由（1）可知，；
（3）如图，连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，
，，垂直平分CD，
又，，，
又，，，即，，
设，则，，，，
，，，，
，即，
解得，，，，的面积．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例得到方程得出结论．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．