2024年北京市海淀区高三下学期4月数学一模试卷及答案

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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1. 已知全集，集合，则
A.B.C.D.
2. 若复数满足，则的共轭复数
A.B.C.D.
3. 已知为等差数列，为其前项和. 若，公差，，则的值为
A.B.C.D.
4. 已知向量满足，，且，则
A.B.C.D.
5. 若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为
A.B.C.D.
6. 设是两个不同的平面，是两条直线，且，. 则“”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7. 已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为
A.B.C.D.
8. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限. 则
A.B.
C.D.
9. 函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，. 设是的导函数，则关于的不等式的解集是
A.
B.
C.
D.
10. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，
如图. 通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿
直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的
角度约为），再沿直线繁殖，；②每次分叉后沿直线
繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半. 于是，
该组同学将整个繁殖过程抽象为如图所示的一个数学模型：
黏菌从圆形培养皿的中心开始，沿直线繁殖到，然后
分叉向与方向继续繁殖，其中，且
与关于所在直线对称，.
若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径
至少为
A.B.C.D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 已知，则_________.
12. 已知，线段是过点的弦，则的最小值为_________.
13. 若，则_________；_________.
14. 已知函数，则_________；函数的图象的一个对称中心的坐标为_________.
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①函数是奇函数；
②，且，关于的方程恰有两个不相等的实数根；
③已知是曲线上任意一点，，则；
④设为曲线上一点，为曲线上一点. 若，则.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求的面积.
17.（本小题14分）
如图，在四棱锥中，，为的中点，平面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中
选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定.
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）设平面平面，求二面角的余弦值.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（ⅰ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题13分）
某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分. 现从该校随机抽取名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
（Ⅰ）当时，
（ⅰ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于分的概率；
（Ⅱ）从该校科普测试成绩不低于分的学生中随机抽取名，记为这名学生
的科普过程性积分之和，估计的数学期望；
（Ⅱ）从该校科普过程性积分不高于分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述名学生科普测试成绩的平均值记为. 若根据表中信息能推断恒成立，直接写出的最小值.
19.（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，分别是的左、右顶点，是的右焦点.
（Ⅰ）求的值及点的坐标；
（Ⅱ）设是椭圆上异于顶点的动点，点在直线上，且，直线与轴交于点. 比较与的大小.
20.（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若函数，存在最大值，求的取值范围.
21.（本小题15分）
已知为有穷正整数数列，其最大项的值为，
且当时，均有. 设，对于，
定义，其中，表示数集中最小的数.
（Ⅰ）若，写出的值；
（Ⅱ）若存在满足：，求的最小值；
（Ⅲ）当时，证明：对所有，.科普测试成绩
科普过程性积分
人数
4
10
3
2
1
0