2024年山东省聊城市东阿县部分学校中考数学一模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是解题关键．根据负数小于0，正数大于0判断即可．
【详解】解：，
，
最小的是，
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算法则逐项一一判断即可．
【详解】、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、与不是同类项，不可以合并，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3. 下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A选项：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项错误；
B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项正确；
C选项：不是中心对称图形，但是轴对称图形，故C选项错误；
D选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D选项错误，
故选：B．
4. 满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（ ）
A. 有两个内角是三角形B. 有两边相等且是轴对称图形的三角形
C. 有一个内角是且有两边相等的三角形D. 三边都相等的三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定定理．
【详解】解：A、有两个内角是三角形是等边三角形，不符合题意；
B、有两边相等且是轴对称图形的三角形是等腰三角形，符合题意；
C、有一个内角是且有两边相等的三角形是等边三角形，不符合题意；
D、三边都相等的三角形是等边三角形，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，纸片的边缘，互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点，处.若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线性质和折叠的性质，根据平行可得到的值，再根据折叠后，即可求得的度数．
【详解】解：，，
，
，
由折叠得：
，
故选：A．
6. 某中学足球队25名队员的年龄如表：关于这25名队员的年龄，下列说法错误的是（ ）
A. 众数是15B. 平均数是C. 中位数是15D. 方差是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查众数、平均数、中位数、方差，根据表格数据逐项判断即可．
【详解】解：由表可知：
25名队员的年龄中出现次数最多是15，因此众数是15，故A选项说法正确，不合题意；
平均数为：，故B选项说法错误，符合题意；
将25名队员的年龄按大小顺序排列，第13位是15，因此中位数是15，故C选项说法正确，不合题意；
方差为：，故D选项说法正确，不合题意；
故选：B．
7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与的图象不可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质，直接利用二次函数图形得出、、的符号，进而得出答案．熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：由二次函数图象可知，，，，则，
则的函数图象经过第一、三象限，
的函数图象经过第一、二、四象限，
即两个函数图象都要经过第一象限，而B选项只有一个经过，则B选项不可能是两个函数的图象，
故选：B．
8. 关于的不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式有且仅有个整数解得出答案即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
关于的不等式组有且仅有个整数解是，，，，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于的不等式是解此题的关键．
9. 如图，过上一点P的切线与直径的延长线交于点C，点D是圆上一点，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理．
连接，由圆周 角定理得出，再由切线的性质得，即可由三角形内角和定理求解．
【详解】解：如图，连接，
∴
∵是的切线，
∴
∴
∴
故选：A．
10. 如图，抛物线（a，b，c是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是直线，过第一、二、四象限的直线（k是常数）与抛物线交于x轴上一点．现有下列结论：①；②；③；④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，；⑤若m为任意实数，则．其中正确的有（ ）

A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】C
【解析】
【分析】①分别判定出，，即可得出，得出①错误；
②根据一次函数解析式和抛物线对称轴，求出抛物线与轴的一个交点为，得出，根据抛物线的对称轴为，得出，求出，得出，即可判断②错误；
③根据，，得出，判断③正确；
④根据题意得出，即，由②得，从而得出，判断④正确；
⑤当时，抛物线取得最小值，最小值为：，当时，代入得，整理得出，判断⑤正确．
【详解】解：①直线（是常数）的图象过一、二、四象限，
∴，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴，
∴，故①错误；
②∵
令得，
∴直线与轴交点为，
∴抛物线与也交于，
∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
把代入得：，
∵抛物线的对称轴为，
∴，
解得：，
∴，
解得：，故②错误；
③由②知，抛物线过点，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④根据题意知，当时，直线与抛物线的y值相等，
∴，
∴，
由②得，
∴，故④正确；
⑤当时，抛物线取得最小值，最小值为：，
当时，代入得，
即
∴，故⑤正确，
综上分析可知，正确的结论有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 已知：，则______．
【答案】23
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，直接把式子两边同时平方得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：23．
12. 某校为了解七年级学生每周课外阅读情况，随机抽取该年级50名学生进行调查，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端点但不包括右端点），该年级阅读时间不少于4.7小时学生的频率为_________．
【答案】0.56
【解析】
【分析】根据题意和直方图中的数据，用阅读时间不少于4.7小时学生的人数除以50即可．
【详解】解：可以估计该年级阅读时间不少于4.7小时学生的频率为．
故答案为：0.56．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13. 如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合是解题的关键．
如图，记一次函数图象与轴的交点为，则，设，，由题意知，，可得，，联立可得，，则，，由，求的值，进而可求的值．
【详解】解：如图，记一次函数图象与轴交点为，
当时，，
解得，，
∴，
设，，
∴，
整理得，，
联立得，，整理得，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
解得，，
故答案为：．
14. 如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则的最小值为_________．
【答案】15
【解析】
【分析】在BC上截取BE＝3，连接BP，PE，由正方形的性质可得BC＝12＝CD，BP＝6，EC＝9，可证△PBE∽△CBP，可得PE＝PC，即当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+ PC有最小值．
【详解】解：如图，在BC上截取BE＝3，连接BP，PE，
∵正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，
∴BC＝12＝CD，BP＝6，EC＝9，
∵ ，且∠PBE＝∠PBC，
∴△PBE∽△CBP，
∴ ，
∴PE＝PC，
∴PD+PC＝PD+PE，
∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，
∴PD+PC最小值为DE＝＝15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为，把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．根据旋转角度为，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点在第三象限，且，即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为，
∴，
∵每次旋转角度为，
∴6次旋转，
第一次旋转后，在第四象限，，
第二次旋转后，在第三象限，，
第三次旋转后，在x轴负半轴，，
第四次旋转后，在第二象限，，
第五次旋转后，在第一象限，，
第六次旋转后，在轴x正半轴，，
……如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到x轴正半轴，
∵，
∴点在第三象限，且，
如图，过点作轴于点H，
在中，，
∴，
，
∴点的坐标为．
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 计算：
【答案】4
【解析】
【分析】先计算锐角的余弦，负整数指数幂，化简绝对值，零次幂，算术平方根，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，负整数指数幂的含义，零次幂的含义，求解算术平方根，特殊角的三角函数值，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键．
17. 如图，已知：四边形是平行四边形，点E在边的延长线上，交于点F，
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质：
（1）由四边形是平行四边形、可得，为公共角可得；
（2）由可得，进而有，根据得，即：，可得答案．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，即，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴．
18. “除夕”是我国最重要的传统佳节，成都市民历来有“除夕”夜吃“饺子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉馅饺、素菜馅饺、羊肉馅饺、牛肉馅饺（以下分别用、、、表示）这四种不用口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有______人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若有外型完全相同的、、、饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他两个都吃到肉馅饺（、、）的概率．
【答案】（1）600人
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）用B小组的频数除以B小组所占的百分比即可求得结论；
（2）分别求得C小组的频数及其所占的百分比即可补全统计图．
（3）列表即可求得结论．
【小问1详解】
（人）；
【小问2详解】
，，
将两幅不完整的图补充完整如下：
【小问3详解】
列表如下
从上表可知：共有12种可能，符合条件的有6种
所以：．
【点睛】本题考查了两种统计图及概率的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的有关信息．
19. 如图，分别位于反比例函数y＝，y＝ 在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）8．
【解析】
【详解】试题分析：（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F，根据△AOE∽△BOF，则设A的横坐标是m，则可利用m表示出A和B的坐标，利用待定系数法求得k的值；
（2）根据AC∥x轴，则可利用m表示出C的坐标，利用三角形的面积公式求解．
试题解析：
(1)作AE，BF分别垂直于x轴，垂足为E，F，
∴AE∥BF，∴△AOE∽△BOF，
∴＝＝＝.
由点A在函数y＝的图象上，
设A的坐标是，
∴＝＝，＝＝，
∴OF＝3m，BF＝，
即B的坐标是.
又点B在y＝的图象上，
∴＝，解得k＝9，
则反比例函数y＝的表达式是y＝.
(2)由(1)可知A，B，
又已知过A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，
∴C的纵坐标是.
把y＝代入y＝得x＝9m，
∴C的坐标是，
∴AC＝9m－m＝8m.
∴S△ABC＝×8m×＝8.
20. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．

（1）求行进路线和所在直线的夹角的度数；
（2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为
（2）检查点和之间的距离为
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可；
（2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．
【小问1详解】
解：如图，根据题意得，，，
，
．
在中，，
．
答：行进路线和所在直线的夹角为．
【小问2详解】
过点A作，垂足为．

，
，
．
,
中，
，
．
,
在中，，
，
．
答：检查点和之间的距离为．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
21. 某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？
【答案】（1）甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元；（2）购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元
【解析】
【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜5个、乙种书柜2个，共需资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（24-m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙图书柜总费用、总经费,且乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，求出m的范围，利用一次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得：
解得
答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，设所需资金为元．
由题意得：．
解得
∵，随增大而减小
∴当时，（元）．
答：当购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元．
【点睛】本题考查二元一次方程组解应用题，一元一次不等式，一次函数性质，掌握二元一次方程组解应用题的方法与步骤，一元一次不等式的解法，一次函数的性质是解题关键．
22. 如图，已知D为上一点，点C在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点E，且．

（1）证明：是的切线；
（2）若，，①求的半径；②求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）①1；②
【解析】
【分析】本题考查作切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识
（1）如图，连接．是的切线；只要证明即可；
（2）①根据，构建方程求出r，证明，推出，设，，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接．

∵，
∴，
∵是的切线，是半径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：①设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为1；
②在中，，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴（负根已经舍去），
∴．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在此抛物线上，其横坐标分别为、，连接，．
（1） 求此抛物线的解析式；
（2）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差；
（3）设此抛物线在点与点之间部分包括点和点的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分包括点和点的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）点与点的纵坐标的差为或
（3）或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）分轴时，轴时，分别根据抛物线的对称性求得的横坐标与的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；
（3）分四种情况讨论，如图所示，当，都在对称轴的左侧时，当，在对称轴两侧时，当点在的右侧时，当的纵坐标小于1时，分别求得，，根据建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
抛物线经过点，
，
抛物线解析式为；
【小问2详解】
①轴时，点，关于对称轴对称，
，
，
则，
，，
点与点的纵坐标的差为；
②当轴时，则，关于直线对称，，，
则，
，；
点与点的纵坐标的差为；
综上所述，点与点的纵坐标的差为1或8；
【小问3详解】
①如图1所示，当，都在对称轴的左侧时，
则，
，
，
，
，
，
，
解得： 或（舍去）；
②当，在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，如图2，
则，，即，
则 ，
，
解得： （舍去）或 （舍；
③当点在的右侧且在直线方时，如图3，即，
，
，
，
解得： 或（舍去）；
④当在直线上或下方时，如图4，即，
，
，
解得：（舍去）或（舍去），
综上所述， 或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24. 如图，正方形纸片的边长为8，E是边上的动点．折叠纸片使点D与点E重合，折痕为，的对应边交于点H．
（1）如图1，当点E是的中点时，则的长______．
（2）如图2，设的长为x，四边形面积为S．
①求的长度（用含x的代数式表示）；
②求S关于x的函数关系式，并求S的最小值．
（3）如图3，过点D作的垂线，垂足为M，交于点N．
①求的周长．
②当与的周长之差为2时，请直接写出的值．
【答案】（1）3 （2）①；②，最小值为24
（3）①16；②
【解析】
【分析】（1）当为的中点时，，设，则，在中，，建立方程解方程求解即可；
（2）①过点作，则四边形是矩形，连接，交于点，证明
，设，则，，得，进而求得；
②由矩形的性质可得，根据梯形面积求解即可；
（3）①由（2）可得， ，，则，证明，根据相似三角形的性质求得，，，即可求得的周长为16；
②当与的周长之差为2时，则的周长为14或18，连接，证明四边形是菱形，则，证明，根据相似三角形的性质可得或，由，或，建立方程求得，进而求得，，根据即可求解．
【小问1详解】
解：四边形是正方形，
，，
当为的中点时，，设，
则，
在中，，则，
解得：，
，
故答案为：3；
【小问2详解】
①如图，过点作，则四边形是矩形，连接，交于点
，关于对称，
，
，
，
，
由正方形性质可知，
，
设，则，，
，
，
；
②由矩形的性质可得，
四边形面积为
，最小值为24；
【小问3详解】
①如图，由（2）可得， ，，则，
在正方形中由于对折可知，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，，
∴的周长，
即：的周长为16；
②连接，
由折叠可知，，，
，，
，
，，
，
∵，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的周长为16，
当与的周长之差为2时，则的周长为14或18，
或，
，
或，
，
，，
或，
，，
或，
解得，或，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，求正弦值，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
年龄（岁）
13
14
15
16
人数
2
9
11
3