2024年江西省赣州市南康区中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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2．本卷分为试题卷和答题卷，请在答题卷上作答．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 手机信号的强弱通常采用值来表示，值越大表示信号越好（单位：），则下列表示手机信号强弱的值中，信号最好的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵，
∴信号最好的是．
故选：A
2. 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在真空中一年时间内行进的距离，这个距离约等于亿千米．将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故选：C．
3. 某积木配件如图所示，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从左面看到的图形是左视图进行判断即可．
【详解】解：观察图形，从左面看到的图形如图所示：
故选：C．
【点睛】本题考查简单几何体三视图，熟练掌握三视图的概念是解答的关键，注意：可见部分用实线，不可见部分用虚线．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算依次判断即可．
【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
5. 如图，在中，垂直平分于点E，交于点D，连接，的垂直平分线交于点F，连接，设，，则的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理得出，然后求出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
6. 已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意；
B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意；
故选：D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．利用提公因式法解答，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
8. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为，则________．（填“>”“<”或“=”）
【答案】>
【解析】
【分析】分别求出平均数，再利用方差的计算公式计算甲、乙的方差，进行比较即可．
【详解】根据折线统计图中数据，
，，
∴，
，
∴，
故答案为：>．
【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解答本题的关键．
9. 若m，n是一元二次方程的两实数根，则的值为______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两实数根，
∴，
∴．
故答案为：10
10. 如图摆放的两个正六边形的顶点A，B，C，D在圆上．若，则该圆的半径为_____．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是正多边形和垂径定理，由正六边形的性质可得，再根据勾股定理可得答案，正确作出图形及辅助线是解决此题的关键．
【详解】解：如图，设圆的圆心为点O，即点O为正六边形边的中点，连接，过E作于点G，

∵，
∴，
∵正六边形的每个内角都为，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该圆的半径为，
故答案为：．
11. 《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意为：如图，今有，其勾（）长为步，股（）长为步，问该直角三角形能容纳的正方形的边长是多少？若设正方形的边长为步，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，证明根据题意列出方程，即可求解．
【详解】设正方形的边长为步，
∵四边形是正方形，
∴，，
设，则，
∵
∴
∴
∴，
故答案为：．
12. 如图，中，，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在的边所在的直线上时，线段的长为______．

【答案】或或
【解析】
【分析】分四种情况讨论．①如图，当点落在上时，由旋转性质可得，在中，，，根据锐角三角函数可得；
②如图，当点落在上时，过点作于点，过点作于点，在中，可得，，由旋转性质可得，，证明，则，设，可得，，根据平行四边形的性质可得，则，即，解得，得到点与点重合，则；
③当点落在上时，如图，过点作于点，四边形是矩形，可得，由旋转性质可得，，得到，再利用勾股定理可得结论；
④当点落在上时，过点作于点，由旋转性质可得，，得到，根据锐角三角函数可得，解得，则，得到，继而推出点在线段的延长线上，可得结论．
【详解】解：①当点落在上时，如图，
∵线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点，
∴，
∴，
在中，，，
∴；

②当点落在上时，如图，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，
设，
∴，
，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
∴点与点重合，
∴；

③当点落在上时，如图，过点作于点，过点作于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点，
∴，，
∴，
∴；

④当点落在上时，过点作于点，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点在线段的延长线上，不符合题意；
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题是旋转变换综合题，考查了旋转的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，运用了分类讨论的思想．掌握旋转的性质，解直角三角形是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，已知．如果，，求的长．

【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂，有理数的乘方运算，全等三角形的性质：
（1）根据零指数幂，有理数的乘方，进行计算即可得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到，进而求出，则．
【详解】解：（1）
．
（2），
，
，
∴，
，
．
14. 先化简，再求的值，其中．
【答案】．
【解析】
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：
当时，
原式=．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
15. 某校在课后服务时间开设了丰富多彩的社团活动，每位同学只能选择一个社团参加．小军和小阳对其中的四个社团（A．航模社团、B．智能制造、C．篮球社、D．“生物圈”创新实验室）难以取舍，于是他们每人决定随机选择一个社团．
（1）小军选择“智能制造”社团的概率是______；
（2）已知A、C为室外社团，B、D为室内社团，请利用画树状图或列表的方法，求小军和小阳都选择室外社团的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查概率公式：
（1）利用概率公式计算即可；
（2）利用画树状图求概率即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：小军选择“智能制造”社团的概率是．
故答案为：
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小军和小阳都选择室外社团的结果有4种，
所以小军和小阳都选择室外社团的概率为．
16. 在的正方形网格中，四边形的顶点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，按要求完成下列作图．
（1）在图1中作的平分线；
（2）图2中，连接交于点O，在上确定点M，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理：
（1）在上取点F，使，连接，取的中点，然后作射线，即可；
（2）取的中点H，取格点，使，连接交于点M，即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，点M即为所求．
17. 小何到早餐店买早点，“阿姨，我买个肉包和个菜包．”阿姨说：“一共元．”付款后，小何说：“阿姨，少买个菜包，换个肉包吧．”阿姨说：“可以，但还需补交元钱．”
（1）请从他们的对话中求出肉包和菜包的单价；
（2）如果小何一共有元，需要买个包子，他最多可以买几个肉包呢？
【答案】（1）肉包和菜包的单价分别是元、元
（2）最多可以买个肉包子
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设肉包和菜包的单价分别为元，元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设可以买个肉包子，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：设肉包和菜包的单价分别为元，元，
由题意得，解得．
答：肉包和菜包的单价分别是元、元．
【小问2详解】
解：设可以买个肉包子，根据题意得，
解得：，
∴最多可以买个肉包．
答：最多可以买个肉包．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8mm，24.4g”是指该枚古钱币的直径为45.4mm，厚度为2.8mm，质量为24.4g．
根据图中信息，解决下列问题．
（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是______mm，所标厚度的众数是______mm，所标质量的中位数是______g；
（2）彭同学认为“鹿鹤同春”的质量与其它古钱币的质量相差较大，但由于古钱币无法从密封盒内取出，为估计“鹿鹤同春”的实际质量，她测得每枚古钱币与其密封盒的总质量，并通过“总质量－盒标质量”计算了盒子的质量如下表：
①______g，______g；
②请你应用所学的统计知识，根据盒子质量通常偏差不大的情况，计算该枚古钱币的实际质量约为多少克（结果精确到0.1）．
【答案】（1）45.74；2.3；21.7
（2）①，；②“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0克
【解析】
【分析】本题考查了平均数、众数、中位数的意义和计算方法，掌握相关定义是解答本题的关键．
（1）利用平均数的计算公式计算平均数；
（2）①根据“总质量－盒标质量”计算盒子的质量即可求解；
②“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，先其余四个盒子的质量的平均数，进而得出“鹿鹤同春”的实际质量．
【小问1详解】
解：这5枚古钱币，
所标直径的平均数是：，
这5枚古币的厚度分别为：，，，，，
其中出现了2次，出现的次数最多，
这5枚古钱币的厚度的众数为，
将这5枚古钱币质量从小到大的顺序排列为：，，，，，
这5枚古钱币的质量的中位数为；
故答案为：45.74；2.3；21.7；
【小问2详解】
解：①g，
g，
故答案为：，；
②“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，
其余四个盒子的质量的平均数为：，
，
答：“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0克．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点C．
（1）求a与k的值；
（2）把向右平移个单位得到，连接，当线段与反比例函数相交于点M，且四边形的面积为8时，求m的值．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先求出，，过点A作轴于点G，则，，由平移的性质可得，轴，，，从而得到，， ，再由，可得到关于m的方程，即可求解．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴，，
解得：；
【小问2详解】
解：由（1）一次函数的解析式为，反比例函数得解析式为，
当时，，当时，，
∴点C的坐标为，点B的坐标为，
∴，，
如图，过点A作轴于点G，则，，
由平移的性质得：，轴，，，
∴点D的坐标为，，
∴，，，
∴，
∵，
，
即，
∴或
解得：或（舍去）或（舍去），
综上所述，m得值为6．
20. 如图1是某门禁自动识别系统，主要由可旋转摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其示意图，已知摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．(参考数据：，，，结果精确到)
（1）求显示屏所在部分的宽度；
（2）求镜头到地面的距离．
【答案】（1）显示屏所在部分的宽度约为12.3cm
（2）镜头A到地面的距离约为68.2cm
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；
（1）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）连接，过点作，交的延长线于点，根据已知可求出从而可证四边形是矩形，进而可得，然后利用平角定义求出，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：，与水平地面所成的角的度数为，
显示屏上沿与水平地面所成角的度数为．
过点作交点所在铅垂线的垂线，垂足为，则．
，
，
【小问2详解】
如图，连接，作垂直反向延长线于点，
为的中点，
，
，
，
，，
四边形为矩形，，
，
．
．
，
镜头到地面的距离为．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图1，已知的直径，点E是射线上的一个动点，以为边构造，满足，．
（1）如图2，当______时，点C恰好在上．
（2）如图3，当动点E与点O重合时，连接，求证：是的切线．
（3）在点E的运动过程中，是否存在的边所在的直线与相切？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）1 （2）证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定等等：
（1）连接，证明是等边三角形，得到，则；
（2）设与交于F，连接，先得到，再证明是等边三角形，得到，，证明，推出，得到，即可证明是的切线；
（3）分当与圆相切时，当与圆相切时，两种情况画出对应的图形求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴当时，点C恰好上，
故答案为：1；
【小问2详解】
证明；如图所示，设与交于F，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线；
【小问3详解】
解：如图所示，当与圆相切时，过点D作于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由平行线间间距相等可得，
∴，
∴；
如图所示，当与圆相切时，设切点为F，连接，
∵∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由切线的性质可得，
∴，
∴；
综上所述，存在的边所在的直线与相切，此时的长为或．
22. 如图，已知抛物线：与直线相交于A，B．
（1）______；
（2）抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线，抛物线与直线相交于C，D（点C在点D左边），已知抛物线顶点M的横坐标为m．
①当时，抛物线的解析式是______，______；
②连接，当为等边三角形时，求点M的坐标．
【答案】（1）2 （2）①；4；②
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与直线交点问题，等边三角形的性质，正切的定义：
（1）令，解方程即可求解；
（2）①根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，再令，解方程即可求解；②根据题意可得，从而得到抛物线的解析式为，令，可得，过点M作于点E，则，，然后根据是等边三角形，得出，再根据锐角三家函数即可求解．
【小问1详解】
解：对于，
当时，，
解得：，
∴点，
∴；
故答案为：2
【小问2详解】
解：①对于，
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得：或4，
∴
∴；
故答案为：；4
②解：∵点M在直线上，
∴，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得：或，
∴，，
∴，
如图，过点M作于点E，则，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴点M的坐标为．
六、（本大题共12分）
23. 如图1，在中，，，，点，为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转．

（1）如图1，当时，______，与所在直线相交所成的较小夹角的度数为______°；
（2）将绕点逆时针旋转至图所示位置时，（）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在绕点逆时针旋转过程中，
①请求出的最大值；
②当，，三点共线时，请求出线段的长．
【答案】（1），
（2）成立，见解析 （3）①；②或
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，进而根据平行线分线段成比例，即可求解；
（2）延长相交于点，如图2，证明得出，进而根据内角和定理求得，即可求解；
（3）①根据三角形的面积公式求得最大值为当点落在的延长线上时，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解；
②分点在的延长线以及线段上，两种情况同理，分别画出图形，求得的长，进而结合图形即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，，，
∴则
∵点，为边，的中点，
∴
∴
与所在直线相交所成的较小夹角即为，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：成立.
延长相交于点，如图2，

∵，
∴
∴，，
，
∴
【小问3详解】
解：①由题意，得， ，，
当点落在的延长线上时，的面积最大，则，
∴的面积的最大值；
②∵中，，
在中，，
如图所示，当在的延长线上时，

∵
∴
∴
当点在线段上时，

∵
∴，
∴
综上所述，的长为或
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
名称
文星高照
状元及第
鹿鹤同春
顺风大吉
连中三元
总质量
58.7g
58.1g
55.2g
54.3g
55.8g
盒标质量
24.4g
24.0g
13.0g
20.0g
21.7g
盒子质量
34.3g
34.1g
a
b
34.1g