2024年广西钦州市部分学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广西钦州市部分学校中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如果存入银行1000元钱，记作“+1000”元，那么从银行提取600元钱，记作（ ）
A．﹣600元B．600元C．400元D．﹣400元
2．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）要使分式有意义，则x的值是（ ）
A．x＝±2B．x＝2C．x≠﹣2D．x≠2
4．（3分）如图，在⊙O中，∠ABC＝60°，则∠AOC的大小是（ ）
A．30°B．120°C．135°D．150°
5．（3分）不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）甲、乙、丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：S甲2＝0.62，S乙2＝0.45，S丙2＝0.53，成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙
C．丙D．三个都一样
7．（3分）如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数是（ ）
A．65°B．60°C．45°D．25°
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．（a2）3＝a5C．a2•a4＝a8D．a3÷a＝a2
9．（3分）将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1B．y＝﹣2（x+1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
10．（3分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ）
A．608（1﹣x）2＝128B．128（1﹣x）2＝608
C．128（1+x）2＝608D．608（1+x）2＝128
11．（3分）图1是木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O是所在圆的圆心，点A，B离地高度均为15cm，水平距离AB＝90cm，则OA的长为（ ）
A．60cmB．65cmC．70cmD．75cm
12．（3分）点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝15，则S2的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．（2分）＝ ．
14．（2分）分解因式：4a2+a＝ ．
15．（2分）若一次函数y＝mx+3的图象经过点（2，9），则m的值是 ．
16．（2分）用单词“happy”中随机抽取一个字母为p的概率为 ．
17．（2分）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE，若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是 米．
（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
18．（2分）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）计算：（﹣3）×2+（﹣2）2÷4．
20．（6分）解方程：＝．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在边BC上求作一点P，使PA＝PB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接AP，若AC＝4，BC＝8，试求线段PA的长．
22．（10分）为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）：
数据整理：
数据分析：
问题解决：
（1）填空：a＝ ，b＝ ．
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有 名员工获得奖励．
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励：员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，BD平分∠ABC，AC与BD相交于E点，AD＝AE．
（1）求证：DA是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝40°，AB＝8，求的长．
24．（10分）如图，是一种学生双肩背包，其背带由固定带、活动带和调节扣构成．使用时，可以通过调节调节扣使背带的总长度（固定带与活动带使用部分的长度总和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设活动带未使用部分的长度为x cm，背带的总长度为y cm，经测量，得到如下数据：（说明：本题只讨论一条背带）
（1）根据表中数据的规律，填空：m＝ ，n＝ ；
（2）当5≤x≤30时，求y关于x的函数解析式；
（3）在下面的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中的函数图象；
（4）根据小敏的身高和习惯，背带的总长度为52cm时，背起来最合适，请求出此时活动带未使用部分的长度．
25．（10分）问题探究
（1）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝4，点P为边CD的中点，Q为边AD上一点，且DP+DQ＝5，连接BP、PQ、BQ，求△BPQ的面积；
问题解决
（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形ABCD休闲广场，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝40米，BC＝60米．按照规划要求，点P、Q分别在边CD、AD上，满足DP+DQ＝40米，连接BP、PQ、BQ，其中△PBQ为健身休闲区，其他区域为景观绿化区，为了使绿化面积尽可能大，希望健身休闲区的面积尽可能小，那么按此要求修建的这个健身休闲区（△PBQ）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积及此时DP的长；若不存在，请说明理由．
26．（10分）综合与实践段BN．
【问题情境】如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°、30°、15°等大小的角，该怎么办呢？
【实践探究】小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点4落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
（1）直接写出BE和BN的数量关系： ；
（2）请求出∠ABM的度数；
（3）求证：四边形BGHM是菱形．
2024年广西钦州市部分学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（3分）如果存入银行1000元钱，记作“+1000”元，那么从银行提取600元钱，记作（ ）
A．﹣600元B．600元C．400元D．﹣400元
【分析】存入银行记为正，则取出就为负，由此直接表示即可．
【解答】解：∵存入银行1000元钱，记作“+1000”元，
∴从银行提取600元钱，记作“﹣600”元，
故选：A．
2．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合题意；是中心对称图形的只有B选项中的图形．
故选：B．
3．（3分）要使分式有意义，则x的值是（ ）
A．x＝±2B．x＝2C．x≠﹣2D．x≠2
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0．
解得x≠2．
故选：D．
4．（3分）如图，在⊙O中，∠ABC＝60°，则∠AOC的大小是（ ）
A．30°B．120°C．135°D．150°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠AOC和∠ABC都对，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°．
故选：B．
5．（3分）不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可．
【解答】解：∵x≥1，
∴1处是实心原点，且折线向右．
故选：D．
6．（3分）甲、乙、丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：S甲2＝0.62，S乙2＝0.45，S丙2＝0.53，成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙
C．丙D．三个都一样
【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：∵S甲2＝0.62，S乙2＝0.45，S丙2＝0.53，
∴S乙2＜S丙2＜S甲2，
∴成绩最稳定的是乙，
故选：B．
7．（3分）如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数是（ ）
A．65°B．60°C．45°D．25°
【分析】根据水面AB与水杯下沿CD平行，则有∠GFB＝∠FED＝45°，结合∠HFB＝20°即可解答．
【解答】解：∵水面AB与水杯下沿CD平行，
∴∠GFB＝∠FED＝45°，
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝25°．
故选：D．
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．（a2）3＝a5C．a2•a4＝a8D．a3÷a＝a2
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则即可得出答案．
【解答】解：A、2a与3b不是同类项，没法合并，故选项A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故选项B不符合题意；
C、a2•a4＝a6，故选项C不符合题意；
D、a3÷a＝a2，故选项D符合题意．
故选：D．
9．（3分）将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1B．y＝﹣2（x+1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
【分析】根据图象右移减，上移加，可得答案．
【解答】解；将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为y＝﹣2（x﹣1）2+3，
故选：D．
10．（3分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ）
A．608（1﹣x）2＝128B．128（1﹣x）2＝608
C．128（1+x）2＝608D．608（1+x）2＝128
【分析】利用第三个月进馆人次＝第一个月进馆人次×（1+进馆人次的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：128（1+x）2＝608．
故选：C．
11．（3分）图1是木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O是所在圆的圆心，点A，B离地高度均为15cm，水平距离AB＝90cm，则OA的长为（ ）
A．60cmB．65cmC．70cmD．75cm
【分析】如图，连接AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弧AB于点F．利用勾股定理求出OA即可．
【解答】解：如图，连接AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弧AB于点F．
∵OF⊥AB，OF是半径，
∴AE＝EB＝45cm，
设OA＝OF＝r cm，则有r2＝452+（r﹣15）2，
∴r＝75．
故选：D．
12．（3分）点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝15，则S2的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝2S2，S3＝3S2，根据S1+S3＝15，求出S1，S3，S2即可．
【解答】解：∵CD＝DE＝OE，
∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（，3a），Q（，2a），R（，a），
∴CP＝，DQ＝，ER＝，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，
∴S1＝S3＝2S2，
∵S1+S3＝15，
∴S3＝9，S1＝6，S2＝3，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．（2分）＝ 9 ．
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵92＝81，
∴＝9．
故答案为：9．
14．（2分）分解因式：4a2+a＝ a（4a+1） ．
【分析】根据提公因式可进行求解．
【解答】解：原式＝a（4a+1）．
故答案为：a（4a+1）．
15．（2分）若一次函数y＝mx+3的图象经过点（2，9），则m的值是 3 ．
【分析】将点（2，9）代入解析式，可求出m的值．
【解答】解：依题意得：9＝2m+3，
解得：m＝3，
故答案为：3．
16．（2分）用单词“happy”中随机抽取一个字母为p的概率为 ．
【分析】由单词“happy”中有2个p，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵单词“happy”中有2个p，
∴从单词“happy”中随机抽取一个字母为p的概率为：．
故答案为：．
17．（2分）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE，若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是 2.8 米．
（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
【分析】先证明四边形ACDE是矩形，得到ED＝AC，然后分别在Rt△ABC和Rt△EFD中，利用三角函数关系求出AC和DE即可．
【解答】解：∵AC⊥BE，FD⊥BE，
∴AC∥FD，∠ACD＝∠FDC＝∠ACB＝∠FDE＝90°，
∵AF∥BE，
∴四边形ACDF是矩形，
△ACB和△EDF均为Rt△，
∴FD＝AC，
在Rt△ABC中，
∵AB＝1.6m，∠ABC＝43°，
sin∠ABC＝，
∴AC＝ABsin∠ABC＝1.6sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
在Rt△EFD中，
∵FD＝AC＝1.12m，∠FED＝20°，
tan∠FED＝，
∴DE＝＝（m），
故答案为：2.8．
18．（2分）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 2 ．
【分析】连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，再根据三角形中位线定理得到EF＝DN，然后结合图形解答即可．
【解答】解：连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）计算：（﹣3）×2+（﹣2）2÷4．
【分析】先算乘方，再算乘除法，然后算加法即可．
【解答】解：（﹣3）×2+（﹣2）2÷4
＝（﹣3）×2+4÷4
＝（﹣6）+1
＝﹣5．
20．（6分）解方程：＝．
【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．依次计算可得．
【解答】解：去分母，得：x＝2（x﹣1），
去括号，得：x＝2x﹣2，
移项，得：x﹣2x＝﹣2，
合并同类项，得：﹣x＝﹣2，
两边同除以﹣1，得：x＝2，
经检验：x＝2是原方程的根，
∴原方程的根为x＝2．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在边BC上求作一点P，使PA＝PB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接AP，若AC＝4，BC＝8，试求线段PA的长．
【分析】（1）作AB的垂足平分线交BC于P，点P即为所求；
（2）设PA＝x＝PB，由勾股定理可得42+（8﹣x）2＝x2，即可解得线段PA的长为5．
【解答】解：（1）作AB的垂足平分线交BC于P，如图：
点P即为所求；
（2）设PA＝x＝PB，则CP＝8﹣x，
∵AC2+CP2＝PA2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴线段PA的长为5．
22．（10分）为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）：
数据整理：
数据分析：
问题解决：
（1）填空：a＝ 4 ，b＝ 7.7 ．
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有 12 名员工获得奖励．
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励：员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
【分析】（1）利用频数和中位数的定义解答即可；
（2）利用表格一的信息解答即可；
（3）利用中位数的定义解答即可．
【解答】解：（1）a＝20﹣3﹣5﹣4﹣4＝4，
将20个数据按由大到小的顺序排列如下：
5.0，5.1，5.2，6.0，6.1，6.2，6.3，6.7，7.5，7.6，7.8，7.9，8.2，8.2，8.2，8.5，9.2，9.4，9.8，9.9，
位置在中间的两个数为7.6，7.8，它们的平均数为7.7，
∴这组数据的中位数为7.7，
∴b＝7.7．
故答案为：4；7.7；
（2）由20个数据可知：不低于7万元的个数为12，
∴若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有12名员工获得奖励，
故答案为：12；
（3）由（1）可知：20名员工的销售额的中位数为7.7万元，
∴20名员工的销售额有一半的人，即10人超过7.7万元，
公司对一半的员工进行了奖励，说明销售额在7.7万元及以上的人才能获得，
而员工甲的销售额是7.5万元，低于7.7万元，
∴员工甲不能拿到奖励．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，BD平分∠ABC，AC与BD相交于E点，AD＝AE．
（1）求证：DA是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝40°，AB＝8，求的长．
【分析】（1）根据角的等量代换和三角形内角和可证明∠DAB＝∠C＝90°，即可证明DA是⊙O的切线；
（2）连接OC，求得∠AOC＝100°，利用弧长公式即可求解．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠CEB＝∠AED，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADB﹣∠DBA＝180°﹣∠CEB﹣∠CBE＝∠C，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠DAB＝90°，
∴DA是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴的长为．
24．（10分）如图，是一种学生双肩背包，其背带由固定带、活动带和调节扣构成．使用时，可以通过调节调节扣使背带的总长度（固定带与活动带使用部分的长度总和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设活动带未使用部分的长度为x cm，背带的总长度为y cm，经测量，得到如下数据：（说明：本题只讨论一条背带）
（1）根据表中数据的规律，填空：m＝ 50 ，n＝ 40 ；
（2）当5≤x≤30时，求y关于x的函数解析式；
（3）在下面的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中的函数图象；
（4）根据小敏的身高和习惯，背带的总长度为52cm时，背起来最合适，请求出此时活动带未使用部分的长度．
【分析】（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题；
（2）列出方程组即可解决问题；
（3）由题意当y＝0，x＝130，当x＝0时，y＝65，可得65≤a≤130．
【解答】解：（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，
则有，
解得，
∴y＝﹣x+70．
当x＝20时，m＝50，当x＝30时，n＝40；
故答案为：m＝50，n＝40；
（2）当5≤x≤30时，y关于x的函数解析式为y＝﹣x+70；
（3）图象如下图：
（4）由题意当y＝52，
∴52＝﹣x+70，
∴x＝18，
∴活动带未使用部分的长度为18cm．
25．（10分）问题探究
（1）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝4，点P为边CD的中点，Q为边AD上一点，且DP+DQ＝5，连接BP、PQ、BQ，求△BPQ的面积；
问题解决
（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形ABCD休闲广场，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝40米，BC＝60米．按照规划要求，点P、Q分别在边CD、AD上，满足DP+DQ＝40米，连接BP、PQ、BQ，其中△PBQ为健身休闲区，其他区域为景观绿化区，为了使绿化面积尽可能大，希望健身休闲区的面积尽可能小，那么按此要求修建的这个健身休闲区（△PBQ）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积及此时DP的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点B作BE⊥AD交DA的延长线于点E，过点P作PM⊥AD于点M，延长MP交BC的延长线于点N，如何根据S△BPQ＝S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ即可得出答案；
（2）由题意可知四边形ABCD是矩形，设DP＝x米，则CP＝（40﹣x）米，DQ＝（40﹣x）米，AQ＝（20+x）米，可得S△BPQ＝S矩形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ＝x2﹣10x+800，然后化为顶点式即可求得结果．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AD交DA的延长线于点E，过点P作PM⊥AD于点M，延长MP交BC的延长线于点N，
∴∠BAE＝∠ABC＝∠DCN＝∠D＝60°，
在菱形ABCD中，AB＝4，点P为边CD的中点，
∴DP＝CP＝2，
∵DP+DQ＝5，
∴DQ＝3，
∴AQ＝1，
在Rt△ABE中，BE＝AB•sin60°＝2，
在Rt△CPN中，PN＝CP•sin60°＝，
在Rt△DPM中，PM＝DP•sin60°＝，
∴S△BPQ＝S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ
＝4×2﹣×1×2﹣×4×﹣×3×
＝．
（2）∵∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝40米，BC＝AD＝60米，
设DP＝x米，则CP＝（40﹣x）米，DQ＝（40﹣x）米，AQ＝（20+x）米，
∴S△BPQ＝S矩形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ
＝40×60﹣×40（20+x）﹣×60×（40﹣x）﹣x（40﹣x）
＝x2﹣10x+800
＝（x﹣10）2+750．
∴当x＝10时，S△BPQ的最小值为750．
∴按此要求修建的这个健身休闲区（△PBQ）存在最小面积，最小面积为750平方米，此时DP的长为10米．
26．（10分）综合与实践段BN．
【问题情境】如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°、30°、15°等大小的角，该怎么办呢？
【实践探究】小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点4落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
（1）直接写出BE和BN的数量关系： BE＝BN ；
（2）请求出∠ABM的度数；
（3）求证：四边形BGHM是菱形．
【分析】（1）根据折叠的性质即可解决问题；
（2）结合（1）证明∠BNE＝30°，由折叠可得BM平分∠ABN，进而可以解决问题；
（3）根据翻折的性质证明△BNM≌△BNG（ASA），得BM＝BG，然后证明四边形BGHM是平行四边形，进而可以解决问题．
【解答】（1）解：BE＝BN，理由如下：
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴AE＝BE＝AB，AB＝BN，
∴BE＝BN，
故答案为：BE＝BN；
（2）解：∵∠BEN＝90°，BE＝BN，
∴sin∠BNE＝＝，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠可知：BM平分∠ABN，
∴∠ABM＝ABN＝30°；
（3）证明：由（1）知：∠NBM＝∠ABM＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠CBN＝30°，
∴∠MBN＝∠CBN＝30°，
由翻折可知：∠BNM＝∠A＝90°，
∵BN＝BN，
∴△BNM≌△BNG（ASA），
∴BM＝BG，
∵AD∥BC，
∴∠BHM＝∠CBN＝30°，
∴∠BHM＝∠MBN＝30°，
∴BM＝HM，
∴BG＝HM，
∵AD∥BC，
∴四边形BGHM是平行四边形，
∵BM＝HM，
∴四边形BGHM是菱形．
5.9
9.9
6.0
5.2
8.2
6.2
7.6
9.4
8.2
7.8
5.1
7.5
6.1
6.3
6.7
7.9
8.2
8.5
9.2
9.8
销售额/万元
5≤x＜6
6≤x＜7
7≤x＜8
8≤x＜9
9≤x＜10
频数
3
5
a
4
4
平均数
众数
中位数
7.44
8.2
b
活动带未使用部分的
长度x（cm分）
5
10
15
20
…
30
背带的总长度y（cm）
65
60
55
m
…
n
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5.2
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销售额/万元
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频数
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长度x（cm分）
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