2024年陕西省宝鸡市凤翔区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省宝鸡市凤翔区中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．B．2C．0.2D．
2．（3分）各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）计算：3a（a2b3+2ab2）＝（ ）
A．3a2b3+2ab2B．3a3b3+6ab2
C．3a3b3+2ab2D．3a3b3+6a2b2
4．（3分）如图，AB∥CD，∠BAE＝150°，∠AEF＝70°，则∠EFD的度数为（ ）
A．150°B．140°C．130°D．120°
5．（3分）已知直线y＝kx+b（k≠0）不经过第四象限，且点（3，1）在该直线上，设m＝3k﹣b，则m的取值可能是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．D．3
6．（3分）如图，在⊙O中，∠CBD＝20°，∠BAC＝30°，则∠BDO＝（ ）
A．40°B．42°C．50°D．52°
7．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为直线x＝1，与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且2＜x2＜3，下列结论正确的是（ ）
A．c＜0B．x1+x2＝1C．4a﹣2b+c＜0D．c﹣a＜0
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8．（3分）＝ ．
9．（3分）“染色体”是人类“生命之书”中最长也是最后被破解的一章．据报道，在1号染色体内，缠绕了大约245520000个核苷酸碱基对，大概包含了人类细胞中8%的DNA，将数据245520000用科学记数法表示为 ．
10．（3分）如图，EF是正五边形ABCDE的外角∠AEG的平分线，连接EC，则∠CEF＝ ．
11．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点，且AB＝7，AC＝5，则四边形AEDF的周长为 ．
12．（3分）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为2，则该反比例函数的表达式为 ．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别是AB和BC上的动点，且AE＝BF，AF和DE相交于点P，连接BP，则BP的最小值为 ．
三、解答题(共14小题，计81分．解答应写出过程)
14．（4分）解不等式：4（x+5）≥x+2．
15．（4分）计算：．
16．（4分）化简：．
17．（4分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，，请用尺规作图的方法在AC边上求作一点E，使得AC＝3AE．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BD上一点，∠A＝∠BEC．且AD＝BE．求证：AB＝EC．
19．（5分）随着经济复苏，旅游业也越来越火，某工厂接到一批兵马俑纪念品的生产任务，景点要求6天内完成．若工厂安排10位工人生产，则6天后剩余1200套兵马俑纪念品未生产；若安排15位工人生产，则恰好提前一天完成生产任务．每位工人每天可以生产多少套兵马俑纪念品？
20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝8，∠B＝30°，AD⊥BC，，求边AC的长．
21．（5分）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．
（1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是多少？
（2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？
22．（6分）为了学生的身心健康，提高学生就餐满意度，某学校对全体学生开展了食堂满意度问卷调查，满意度以分数呈现，从低到高为1分，2分，3分，4分，5分共五档，调查人员随机抽取了40份调查问卷，将数据整理成如下统计图．
（1）这40份调查问卷的众数是 分，中位数是 分；
（2）学校规定：若学生所评分数的平均数低于3.5分，则食堂需要进行整改．根据这40份调查问卷的评分，判断学校食堂是否需要整改；
（3）若全校共收回600份调查问卷，请估计这600份调查问卷中，评分在4分及以上（含4分）的有多少人？
23．（7分）榕榕在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）．
24．（7分）公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线OAB表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）分别求OA段和AB段所对应的函数表达式；
（2）试营销这段时间，日销售利润不低于640元的天数共有多少天？
25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CD交BA的延长线于点D，过点O作OE∥AC交切线DC的延长线于点E，交BC于点F．
（1）求证：∠B＝∠ACD；
（2）若AB＝8，BC＝6，求OE的长．
26．（8分）悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔AD＝BC＝12m，间距AB为40m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m，如图2，以DC的中点为原点O，DC所在直线为x轴，过点O且垂直于DC的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求主索抛物线的函数表达式；
（2）距离点P水平距离为4m和10m处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？
27．（10分）提出问题：
（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，则BC边上的高AD的长为 ；
问题探究：
（2）如图2，△ABC内接于⊙O，弦BC＝10，半径为6，求△ABC面积的最大值；
问题解决：
（3）如图3，某园区内有一块直角三角形ABC的空地，在空地边BC的中点D处修建了一个儿童游乐场，为了吸引更多人来园区，在空地外E处修建一个大型商场，且满足游乐场D到商场E的路线与商场E到点C处的路线垂直（即DE⊥CE），连接AE，在△ADE处种植绿植，其中∠ABC＝90°，测得AB＝300米，米，请问绿植面积能否取到最大？若能，请求出△ADE面积的最大值，若不能，请说明理由．
2024年陕西省宝鸡市凤翔区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．B．2C．0.2D．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣，
故选：A．
2．（3分）各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（3分）计算：3a（a2b3+2ab2）＝（ ）
A．3a2b3+2ab2B．3a3b3+6ab2
C．3a3b3+2ab2D．3a3b3+6a2b2
【分析】先根据单项式乘多项式法则：让单项式乘以多项式的每一项，再把所得积相加，进行计算，然后判断即可．
【解答】解：原式＝3a•a2b3+3a•2ab2
＝3a3b3+6a2b2，
故选：D．
4．（3分）如图，AB∥CD，∠BAE＝150°，∠AEF＝70°，则∠EFD的度数为（ ）
A．150°B．140°C．130°D．120°
【分析】由平行线的性质推出∠A+∠C＝180°，而∠BAE＝150°，求出∠C＝30°，由三角形外角的性质求出∠EFC＝∠AEF﹣∠C＝40°，由邻补角的性质得到∠EFD＝180°﹣40°＝140°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠BAE＝150°，
∴∠C＝30°，
∵∠AEF＝70°，
∴∠EFC＝∠AEF﹣∠C＝70°﹣30°＝40°，
∴∠EFD＝180°﹣40°＝140°．
故选：B．
5．（3分）已知直线y＝kx+b（k≠0）不经过第四象限，且点（3，1）在该直线上，设m＝3k﹣b，则m的取值可能是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．D．3
【分析】由直线y＝kx+b（k≠0）不经过第四象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出k＞0，b≥0，由点（3，1）在直线y＝kx+b（k≠0）上，可得出1＝3k+b，结合m＝3k﹣b，可得出m＝1﹣2b，由k＞0，b≥0及1＝3k+b，可得出﹣1＜m≤1，再对照四个选项，即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝kx+b（k≠0）不经过第四象限，
∴k＞0，b≥0；
∵点（3，1）在直线y＝kx+b（k≠0）上，
∴1＝3k+b，
∴3k＝1﹣b，
∴m＝3k﹣b＝1﹣b﹣b＝1﹣2b．
∵k＞0，1＝3k+b，
∴b＜1，
又∵b≥0，
∴﹣1＜1﹣2b≤1，
即﹣1＜m≤1，
∴m的取值可能是．
故选：C．
6．（3分）如图，在⊙O中，∠CBD＝20°，∠BAC＝30°，则∠BDO＝（ ）
A．40°B．42°C．50°D．52°
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOD的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠CBD＝20°，∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，∠DOC＝2∠CBD＝40°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝60°+40°＝100°，
∵OB＝OD，
∴∠BDO＝＝40°．
故选：A．
7．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为直线x＝1，与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且2＜x2＜3，下列结论正确的是（ ）
A．c＜0B．x1+x2＝1C．4a﹣2b+c＜0D．c﹣a＜0
【分析】根据题意，画出示意图，并对四个选项依次进行判断即可．
【解答】解：抛物线如图所示，
因为抛物线与y轴的交点在正半轴，
所以c＞0．
故A选项中的结论错误．
因为抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以，
即x1+x2＝2．
故B选项中的结论错误．
因为抛物线上横坐标为﹣2的点，其纵坐标小于零，
所以4a﹣2b+c＜0．
故C选项中结论正确．
因为c＞0，a＜0，
所以c﹣a＞0．
故D选项中的结论错误．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8．（3分）＝ 5 ．
【分析】根据，即可求解．
【解答】解：＝4+1＝5，
故答案为：5．
9．（3分）“染色体”是人类“生命之书”中最长也是最后被破解的一章．据报道，在1号染色体内，缠绕了大约245520000个核苷酸碱基对，大概包含了人类细胞中8%的DNA，将数据245520000用科学记数法表示为 2.4552×108 ．
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：245520000＝2.4552×108，
故答案为：2.4552×108．
10．（3分）如图，EF是正五边形ABCDE的外角∠AEG的平分线，连接EC，则∠CEF＝ 108° ．
【分析】根据多边形的内角和与外角和，正多边形的性质求得∠D，∠AEG的度数，然后利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求得∠CED的度数，再利用角平分线的定义求得∠GEF的度数，再利用角的和差即可求得答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠D＝＝108°，∠AEG＝＝72°，CD＝DE，
∴∠CED＝＝36°，
∵EF平分∠AEG，
∴∠GEF＝∠AEG＝36°，
∴∠CEF＝180°﹣∠CED﹣∠GEF＝108°，
故答案为：108°．
11．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点，且AB＝7，AC＝5，则四边形AEDF的周长为 12 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DE、DF，根据线段中点的概念分别求出AE、AF，进而求出四边形AEDF的周长．
【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AB＝3.5，DF＝AC＝2.5，AE＝AB＝3.5，AF＝AC＝2.5，
∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝12，
故答案为：12．
12．（3分）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为2，则该反比例函数的表达式为 y＝ ．
【分析】用点A的横纵坐标去表示△ABC的面积，再将点A坐标代入反比例函数解析式即可解决问题．
【解答】解：令A点坐标为（a，b），
则AB＝﹣b，且△ABC的AB边上高为a，
因为△ABC的面积为2，
所以，
则ab＝﹣4．
令反比例函数的解析式为y＝，
将点A坐标代入函数解析式得，
k＝ab＝﹣4，
所以反比例函数的表达式为．
故答案为：．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别是AB和BC上的动点，且AE＝BF，AF和DE相交于点P，连接BP，则BP的最小值为 3﹣3 ．
【分析】由“SAS”可证△ADE≌△BAF，可得∠BAF＝∠ADE，可证∠APD＝90，即点P在以AD为直径的圆上运动，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠EAD＝∠FBA＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∴∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠APD＝90，
∴点P在以AD为直径的圆上运动，
如图，取AD的中点O，连接BO，OP，
∴AO＝3．
如图，取AD的中点O，连接BO，OP，
∴AO＝3，
∴BO＝，
∴当点P在线段BO上时，BP有最小值为．
三、解答题(共14小题，计81分．解答应写出过程)
14．（4分）解不等式：4（x+5）≥x+2．
【分析】不等式去括号，移项，合并，把x系数化为1，求出解集即可．
【解答】解：4（x+5）≥x+2，
去括号，得 4x+20≥x+2，
移项，得4x﹣x≥2﹣20，
合并同类项，得 3x≥﹣18，
不等式两边同时除以3，得x≥﹣6．
15．（4分）计算：．
【分析】先化简，然后计算加减法即可．
【解答】解：
＝
＝．
16．（4分）化简：．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2a﹣4．
17．（4分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，，请用尺规作图的方法在AC边上求作一点E，使得AC＝3AE．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作DE∥AB即可．
【解答】解：如图，作DE∥AB，
∵BD＝DC，
∴，
∵DE∥AB，
∴＝，
∴AC＝3AE．
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BD上一点，∠A＝∠BEC．且AD＝BE．求证：AB＝EC．
【分析】结合平行线的性质，由“ASA”可证△ABD≌△ECB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBE，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA），
∴AB＝EC．
19．（5分）随着经济复苏，旅游业也越来越火，某工厂接到一批兵马俑纪念品的生产任务，景点要求6天内完成．若工厂安排10位工人生产，则6天后剩余1200套兵马俑纪念品未生产；若安排15位工人生产，则恰好提前一天完成生产任务．每位工人每天可以生产多少套兵马俑纪念品？
【分析】设每位工人每天生产x套兵马俑纪念品，根据纪念品的总量相等列方程即可．
【解答】解：设每位工人每天生产x套兵马俑纪念品，
根据题意得：6×10•x+1200＝15x（6﹣1），
解得：x＝80，
答：每位工人每天可以生产80套兵马俑纪念品．
20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝8，∠B＝30°，AD⊥BC，，求边AC的长．
【分析】先利用30°角的正弦值可求出AD的长，再根据∠ACD的正切值可求出CD长，最后用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：由题知，
在Rt△ABD中，
sinB＝，
则，
所以AD＝4．
在Rt△ACD中，
tan∠ACD＝，
则，
所以CD＝3，
则AC＝．
21．（5分）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．
（1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是多少？
（2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，
∴小周将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钾溶液（呈碱性）变红，
∴结果变红的概率：＝；
（2）列表如下：
由表知，共有12种可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色（D，C），（C，D）共2种结果，
所以两瓶溶液恰好都变红色的概率＝＝．
22．（6分）为了学生的身心健康，提高学生就餐满意度，某学校对全体学生开展了食堂满意度问卷调查，满意度以分数呈现，从低到高为1分，2分，3分，4分，5分共五档，调查人员随机抽取了40份调查问卷，将数据整理成如下统计图．
（1）这40份调查问卷的众数是 4 分，中位数是 3.5 分；
（2）学校规定：若学生所评分数的平均数低于3.5分，则食堂需要进行整改．根据这40份调查问卷的评分，判断学校食堂是否需要整改；
（3）若全校共收回600份调查问卷，请估计这600份调查问卷中，评分在4分及以上（含4分）的有多少人？
【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想求解即可．
【解答】解：（1）由条形统计图可知，4分的最多，所以众数是4（分），
从低到高排列后，第20个和21个数据分别为3分和4分，所以中位数是＝3.5（分）；
故答案为：4，3.5；
（2）学生所评分数的平均数为（1×3+2×5+3×12+4×16+5×4）÷40＝3.325（分），
∵3.325＜3.5，
∴学校食堂需要整改；
（3）600×＝300（人），
答：估计评分在4分及以上（含4分）的有300人．
23．（7分）榕榕在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）．
【分析】根据题意得四边形BDCE是矩形，则可得CG＝BD，CD＝BG＝6.9m，然后分别在Rt△BCG与Rt△ACG中，利用三角函数的知识，求得CG与AG的长，进而可得AB．
【解答】解：根据题意得：四边形BDCG是矩形，
∴CG＝BD，CD＝BG＝6.9m，
在Rt△BCG中，∠BCG＝13°，
∴BG＝CG•tan13°，
∴6.9≈CG×0.2，
∴CG＝34.5（m），
在Rt△ACG中，∠ACG＝22°，
∴AG＝CG•tan22°≈34.5×0.40＝13.80（m），
∴AB＝AG+BG＝13.80+6.9≈21（m）．
答：教学楼的高度约为21m．
24．（7分）公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线OAB表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）分别求OA段和AB段所对应的函数表达式；
（2）试营销这段时间，日销售利润不低于640元的天数共有多少天？
【分析】（1）OA段的函数为正比例函数，设y＝k1x（k≠0），把点（17，340）代入可求得k1的值，进而可得OA段的函数解析式；AB段的函数为一次函数，可设y＝kx+b（k≠0），把点（22，340）和点（30，300）代入可得k和b的值，即可求得AB段的函数解析式；
（2）若日销售利润为640元，则销售量为：640÷（8﹣6）＝320（件），把y＝320分别代入（1）中得到的两个函数解析式中，可求得相应的时间，即可求得日销售利润不低于640元的天数．
【解答】解：（1）设OA段所对应的函数表达式为y＝k1x（k≠0），
将（17，340）代入 y＝k1x 中，得：
340＝17k1．
解得：k1＝20，
∴OA段所对应的函数表达式为：y＝20x．
设AB段所对应的函数表达式为 y＝kx+b（k≠0）．
∵经过点（22，340），（30，300），
∴．
解得：．
∴AB段所对应的函数表达式为：y＝﹣5x+450；
（2）640÷（8﹣6）＝320（件）．
在OA段，当 y＝320时，320＝20x，
解得：x＝16．
在AB段，当 y＝320 时，320＝﹣5x+450，
解得：x＝26．
26﹣16+1＝11（天）．
∴试营销这段时间，日销售利润不低于640元的天数共有11天．
25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CD交BA的延长线于点D，过点O作OE∥AC交切线DC的延长线于点E，交BC于点F．
（1）求证：∠B＝∠ACD；
（2）若AB＝8，BC＝6，求OE的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质，得到∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝90°，圆周角定理得到∠ACB＝∠OCB+∠ACO＝90°，推出∠OCB＝∠ACD，根据等边对等角，得到∠B＝∠OCB，即可得证；
（2）勾股定理求出AC的长，证明△ACB∽△OCE，得到，即可得解．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠OCB+∠ACO＝90°，
∴∠OCB＝∠ACD．
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∴∠B＝∠ACD；
（2）解：连接OC，
∵∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴．
∵OC＝OA＝OB，
∴．
∵OE∥AC，
∴∠ACD＝∠E，
∴∠B＝∠E．
∵∴∠ACB＝∠OCE＝90°，
∴△ACB∽△OCE，
∴． 且 ，
∴．
26．（8分）悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔AD＝BC＝12m，间距AB为40m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m，如图2，以DC的中点为原点O，DC所在直线为x轴，过点O且垂直于DC的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求主索抛物线的函数表达式；
（2）距离点P水平距离为4m和10m处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？
【分析】（1）由图可知，点C的坐标为（20，0）．设该抛物线的函数表达式为 y＝ax2+c（a≠0），又因为点P坐标为 （0，﹣10），则，解得则主索抛物线的函数表达式为 ；
（2）由题意，当x＝4时，，此时吊索的长度为 ．由抛物线的对称性得，当x＝﹣4时，此时吊索的长度也为 ．当x＝10时， 此时吊索的长度为 ，由抛物线的对称性得，当 x＝﹣10 时，此时吊索的长度也为 ．．
【解答】解：（1）由图可知，点C的坐标为（20，0）．
设该抛物线的函数表达式为 y＝ax2+c（a≠0），
又∵点P坐标为 （0，﹣10），
∴，
∴
∴主索抛物线的函数表达式为 ；
（2）由题意，当x＝4时，，此时吊索的长度为 ．
由抛物线的对称性得，当x＝﹣4 时，此时吊索的
长度也为 ．
当x＝10时， 此时吊索的长度为 ，
由抛物线的对称性得，当x＝﹣10时，此时吊索的长度也为 ．
∴四根吊索总长度为米．
27．（10分）提出问题：
（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，则BC边上的高AD的长为 ；
问题探究：
（2）如图2，△ABC内接于⊙O，弦BC＝10，半径为6，求△ABC面积的最大值；
问题解决：
（3）如图3，某园区内有一块直角三角形ABC的空地，在空地边BC的中点D处修建了一个儿童游乐场，为了吸引更多人来园区，在空地外E处修建一个大型商场，且满足游乐场D到商场E的路线与商场E到点C处的路线垂直（即DE⊥CE），连接AE，在△ADE处种植绿植，其中∠ABC＝90°，测得AB＝300米，米，请问绿植面积能否取到最大？若能，请求出△ADE面积的最大值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理求出BC，根据三角形ABC的面积可求出答案；
（2）连接AO，OB，过点O、点A分别作OD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E．当A、O、D三点共线时，此时AE取最大值．根据三角形面积公式可得出答案；
（3）取DC中点O，过点E作EG⊥AD，交AD的延长线于点G，连接EO，过点O作OH⊥AH，垂足为H．证明Rt△ABD∽Rt△OHD，得出，即，求出OH的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，
∴BC＝＝＝2，
∵AD⊥BC，
∴，
∴AD＝，
故答案为：；
（2）如图1，连接AO，OB，过点O、点A分别作OD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E．
∵⊙O中，BC是弦，OD⊥BC，
∴，
在Rt△BOD中，OB＝6，由勾股定理，得OD＝．
∵AE≤AO+OD，
∴当A、O、D三点共线时，此时AE取最大值．
∵，
∴△ABC面积的最大值＝
＝，
∴△ABC面积的最大值为 ；
（3）绿植面积能取到最大．
∵点D是BC的中点，米，
∴米．
如图2，在Rt△ABD中，AB＝300米，BD＝400米，
由勾股定理，得AD2＝AB2+BD2＝410000，
∴米，
∵DE⊥EC，
∴取DC中点O，过点E作EG⊥AD，交AD的延长线于点G，连接EO，过点O作OH⊥AH，垂足为H．
∵在四边形EGHO中，EG≤EO+OH，
∴如图3，当E、O、H三点共线时，EG取最大．
∵点O是DC的中点，
∴ 米．
∵在Rt△DEC 中，OE是中线，
∴米．
在Rt△ABD与Rt△OHD中，∠ODH＝∠ADB，∠ABD＝∠DHO，
∴Rt△ABD∽Rt△OHD，
∴，即，
∴．
∵，
∴△ADE面积的最大值＝
＝ 平方米．
∴△DEF面积的最大值为 平方米．
课题
测量教学楼高度
图示

测得数据
CD＝6.9m，∠ACG＝22°，∠BCG＝13°．
参考数据
sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin13°≈0.22，cs13°≈0.97，tan13°＝0.2．
A
B
C
D
A
﹣
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
﹣
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
﹣
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
﹣
课题
测量教学楼高度
图示

测得数据
CD＝6.9m，∠ACG＝22°，∠BCG＝13°．
参考数据
sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin13°≈0.22，cs13°≈0.97，tan13°＝0.2．