江苏省南通市崇川区南通大学附属初级中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省南通市崇川区南通大学附属初级中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含江苏省南通市崇川区南通大学附属初级中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题原卷版docx、江苏省南通市崇川区南通大学附属初级中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 我国已经进入5G时代，自动驾驶技术和远程外科手术技术得以进一步发展．下列通信公司标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．
2. 黄河是中华民族的母亲河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，长度约为5464000米，请将数据5464000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
【详解】解：根据科学记数法要求5464000的5后面有6位数，从而用科学记数法表示为，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
3. 如图是从不同方向看某个立体图形所得到的平面图形，则这个立体图形是（ ）
A. 三棱柱B. 三棱锥C. 圆柱D. 圆锥
【答案】A
【解析】
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：由主视图和左视图为长方形判断出是柱体，由俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：A．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为三角形就是三棱柱．
4. 学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是，求两种球各有多少个？若设篮球有x个，排球有y个，根据题意得方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可直接进行排除选项．
【详解】解：设篮球有x个，排球有y个，根据题意得：
，
故选D．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
5. 如图,直线l1∥l2,线段AB交l1,l2于D,B两点,过点A作AC⊥AB,交直线l1于点C,若∠1＝15,则∠2＝（ ）

A. 95B. 105C. 115D. 125
【答案】B
【解析】
【分析】利用垂直定义和三角形内角和定理计算出∠ADC的度数,再利用平行线的性质可得∠3的度数,再根据邻补角的性质可得答案．
【详解】解：∵AC⊥AB,
∴∠A＝90,
∵∠1＝15,
∴∠ADC＝180-90-15＝75,
∵l1∥l2,
∴∠3＝∠ADC＝75,
∴∠2＝180-75＝105,
故选：B．
【点睛】此题主要运用垂直定义、三角形内角和定理以及平行线的性质,解决角之间的关系,本题关键是掌握两直线平行,同位角相等．
6. 已知二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求得抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线的开口方向即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
抛物线的开口向上，
∴当，随的增大而减小，
∵，
∴，
故选：B．
7. 如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于( )
A. 20°B. 25°C. 30°D. 32.5°
【答案】A
【解析】
【分析】连接OD，根据三角形内角和定理和等边对等角求出∠DOB＝40°，再根据圆周角定理即可求出∠BAD的度数．
【详解】解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆和三角形的问题，掌握三角形内角和定理、等边对等角、圆周角定理是解题的关键．
8. 已知关于x的分式方程=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A. m＞2B. m≥2C. m≥2且m≠3D. m＞2且m≠3
【答案】C
【解析】
【详解】分式方程去分母得：m-3=x-1，
解得：x=m-2，
由方程的解为非负数，得到m-2≥0，且m-2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选C．
9. 如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠ACN=∠B，
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，
∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为（ ）
A. 6B. 12C. 18D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】先证明OB∥AE，得出S△ABE=S△OAE=18，设A的坐标为（a，），求出F点的坐标和E点的坐标，可得S△OAE=×3a×=18，求解即可．
【详解】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，
∴AO=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，
∴S△OAE=18，
设A的坐标为（a，），
∵AF=EF，
∴F点的纵坐标为，
代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，），
∴E点的坐标为（3a，0），
S△OAE=×3a×=18，
解得k=12，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出S△ABE=S△OAE=18是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题3分，共30分）
11. 若二次根式实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
【答案】x≤ 2
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：由题意得-x+2≥0，
∴x≤2，
故答案为：x≤2．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
12. 若圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是______ ．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了扇形的弧长的计算，设这个圆锥的母线长是，先求得扇形的弧长，再根据弧长公式即可求解，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键．
【详解】解：设这个圆锥的母线长是，
依题意得：圆锥的底面周长为：，
则展开后扇形的弧长为，
即：，
解得：，
这个圆锥的母线长是，
故答案为：6．
13. 把抛物线向左平移3个单位，再向上平移6个单位平移所得的新的抛物线解析式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据二次函数平移的性质：左加右减，上加下减求解即可．
【详解】解：抛物线向左平移3个单位，再向上平移6个单位，得到的抛物线的解析式为，
即
故答案为：．
14. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时处与处的距离为______海里(结果保留根号)．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；根据题意得出，从而知，由，根据，即可求出，．
【详解】解：过作，垂足为，
一艘海轮位于灯塔北偏东方向，距离灯塔海里的处，
，
海里，
，
．
在中，由勾股定理，得
海里，
海里，
海里，
故答案为：．
15. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且∠DBA=∠C，若AD=2cm，AB=4cm，那么CD的长等于________cm．

【答案】6
【解析】
【分析】由条件可证得△ABC∽△ADB，可得到=，从而可求得AC的长，最后计算CD的长．
【详解】∵∠DBA=∠C，∠A是公共角，∴△ABC∽△ADB，∴=，即=，解得：AC=8，∴CD=8﹣2=6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键．
16. 若关于x的方程的两根互为倒数，则m的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据方程的两根互为倒数结合根的判别式以及根与系数的关系，即可得出关于m的一元二次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根互为倒数，
∴，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根的判别式及根与系数的关系找出关于m的一元二次不等式以及一元二次方程是解题的关键．
17. 如图，直线与（）的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解是___________．
【答案】
【解析】
【分析】满足关于的不等式就是在轴的右侧直线位于直线的下方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可．
【详解】直线与的交点的横坐标为，
关于的不等式的解集为，
整数解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系是解题关键．
18. 如图，正方形ABCD的边长为2，点P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足，则线段的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，取中点M，连接，根据证明，得出，再证，得出，根据直角三角形斜边中线的性质求出，再利用勾股定理计算出，然后利用三角形三边关系求解．
【详解】解：连接，取中点M，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等，解题关键是证明，求出．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），2
【解析】
【分析】本题考查含特殊角三角函数值的计算，零指数幂，负指数幂和分式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
（1）先化简绝对值、计算零指数幂，负指数幂和特殊角的三角函数值，再进行加减计算；
（2）先对括号内的分式进行通分，再将除法变为乘法进行计算，对原分式进行化简后，再代入求值即可．
【详解】解：（1）
（2）
当时，原式．
20. 为培养学生良好运动习惯，提高学生的身体素质，我校开展了“花样跳绳”和“春季长跑”等体育活动.体育老师随机抽取了八年级男、女各60名学生的长跑成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：
数据分为A，B，C，D四个等级，分别是：
A：，B：，C：，D：
60名男生成绩的条形统计图以及60名女生成绩的扇形统计图如图：
男生成绩位于B等级前10名的分数为：
95，95，95，94，94，94，92，91，90，90.
60名男生和60名女生成绩的平均数，中位数，众数如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）计算抽取的男生成绩在B等级的人数，并补全条形统计图；
（3）根据以上数据，你认为在此次活动中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由（说明一条理由即可）．
（4）若该年级有800名学生，估计成绩为A等级的学生约为______人．
【答案】（1）93，30
（2）抽取的男生成绩在B等级的人数是16，补全条形统计图见解析
（3）女生的成绩较好．理由见解析
（4）320
【解析】
【分析】（1）先求解B等级的人数，再确定第第30个，第31个数据分别为：94分，92分，从而可得中位数，利用1减去女生A，C，D组的百分比可得答案；
（2）由（1）可得B等级的人数，再补全统计图即可；
（3）从平均数或中位数进行分析即可；
（4）由该年级有800名学生，由800乘以成绩为A等级的百分比即可得到答案.
【小问1详解】
解：B等级的人数有（人），
所以排序后排在第30个，第31个数据的平均数为中位数，
而第30个，第31个数据分别为：94分，92分，
所以平均数为：（分），
【小问2详解】
解：由（1）得：男生B组有16人，补全图形如下：
【小问3详解】
解：女生的成绩较好．
理由：从平均数看，女生成绩平均数95大于男生成绩平均数94 ，说明女生平均成绩略高于男生；
或从中位数看，女生成绩中位数94大于男生成绩中位数93，说明有一半女生成绩不低于94分，说明女生成绩好于男生.
小问4详解】
解： （人）．
所以该年级有800名学生，估计成绩为A等级的学生约为320人.
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21. 如图，已知，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】可证出和，从而可证，即可得证.
【详解】证明：，
，
，
，
，
在和中
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
22. 桌面上有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀．
（1）随机翻开一张卡片，正面所标数字大于的概率为 ；
（2）随机翻开一张卡片，从余下的三张卡片中再翻开一张，求翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）直接根据概率公式即可求解；(2)根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果,根据概率公式即可求得答案.
试题解析：
（1）；
（2）“翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数”记为事件A，用树状图列出翻开的两张卡片正面所标数字的所有可能的结果如下：
从上图可以看出，翻开的两张卡片，其正面所标数字之和共有12种结果，且每种结果都是等可能的，其中事件A包含4种可能的结果，所以.
答：翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率是.
23. 如图,CE是⊙O的直径,BC切⊙O于点C,连接OB,作ED∥OB交⊙O于点D,BD的延长线与CE的延长线交于点A．
（1）求证:AB是⊙O的切线;
（2）若⊙O的半径为1,tan∠DEO =,求AE的长．
【答案】（1）见解析;（2）AE=2．
【解析】
【分析】（1）连接OD,由ED∥OB,得到∠1=∠4,∠2=∠3,从而得到,再利进而得到 ,得出结论．
（2）连接CD,则,再由（1）可知 从而得到 ,得到,,故有,从而得出答案．
【详解】（1）连接OD,如图．

∵ED∥OB,
∴∠1=∠4,∠2=∠3,
∵OD=OE,
∴∠3=∠4,
∴∠1=∠2．
在△DOB与△COB中,
,
∴△DOB≌△COB,
∴∠ODB=∠OCB
∵BC切⊙O于点C,
∴∠OCB=90°,
∴∠ODB=90°,
∴AB是⊙O的切线;
（2）连接CD．
∵半径为1,
∴OC=1,CE=2,
∵CE是⊙O的直径,
∴ ,
由（1）知 ,
∴,
又∵ ,
∴△ACD∽△ADE
∴,即,
∵,
∴,即 ,
∴AE=2．
【点睛】本题主要考查了切线的判定,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义,熟练掌握切线的判定,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义是解题的关键．
24. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．
【答案】（1）；（2）这一周该商场的最大利润为540000元，售价为120元；（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w=（x-30）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；
（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），
把x=40，y=10000和x=50，y=9500代入得，
，
解得，，
∴y=-50x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，30≤x≤120，
设利润为w元，根据题意得，
w=（x-30）y=（x-30）（-50x+12000）=-50x2+13500x-360000=-50（x-135）2+551250，
∴对称轴为直线x=135，
∵-50＜0，
∴当x＜135时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤120，且x为正整数
∴当x=120时，w取最大值为：-50×（120-135）2+551250=540000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元；
（3）根据题意得，w=（x-30-m）（-50x+12000）=-50x2+（13500+50m）x-360000-12000m，
∴对称轴为x=-=135+0.5m，
∵-50＜0，
∴当x＜135+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
对称轴x=135+0.5m，m大于等于10，则对称轴大于等于140，由于x取整数，
实际上x是二次函数的离散整数点，
只需保证x=150时利润大于x=149时即可满足要求，所以对称轴要大于149.5就可以了，
故135+0.5m＞149.5，
解得m＞29，
∵10≤m≤60，
∴29＜m≤60．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．
25. 如图，点P是正方形内的一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）延长交直线于点E．
①如图2，当点E在线段上时，求证：；
②若正方形的边长为10，，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②线段的长为或
【解析】
【分析】（1）根据正方形和旋转的性质得出，，，，求出，即可证明；
（2）①如图2，交于F，由全等三角形的性质可得，再根据，证明即可；
②分情况讨论：当点E在线段上时，如图2；当点E在线段的延长线上时，如图3；分别证明，求出，设，则，，在中，利用勾股定理求出x，得到的长，然后证明即可．
【小问1详解】
证明：在正方形中，，，
由旋转得：，，
∴，
∴；
【小问2详解】
设交于F，
①如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当点E在线段上时，如图2，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得（舍去），
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
当点E在线段的延长线上时，如图3，延长、交于点F，
∵，
∴，
∴，即，
∴
设，则，，
在中，，
∴，
解得（舍去），，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
综上，线段的长为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质等，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
性别
平均数
中位数
众数
男生
94
a
96
女生
95
94
96
x（元/件）
40
50
60
y（件）
10000
9500
9000