江苏省苏州吴江高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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出卷人：梁秋健 审卷人：鲍芳
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则的值为
A. B. C. D.
4. 设，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知锐角满足，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知点是边长为2的正三角形的边上的动点，则（ ）

A. 最大值为8B. 为定值6
C. 最小值为2D. 与的位置有关
7. 若向量，，，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数，，满足，若，在有两个实根，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D. 与的夹角为
11. 将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位.得到函数的图象.则下列结论正确的是（ ）
A
B. 是图象的一条对称轴
C. 是图象的一个对称中心
D. 在上单调递减
12. 已知的重心为G，点E是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则面积是面积的
C. 若，，则
D. 若，，则当取得最小值时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分.
13. 已知正，则向量与夹角为______.（用弧度表示）
14. 已知向量，若，则______.
15. 已知，，,若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于________.
16. 已知，则的值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，．
（1）若与向量垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．
18. 已知函数的最大值为.
（1）求常数m的值，并求函数取最大值时相应x的集合；
（2）求函数的单调递增区间.
19. 如图，在中，，点E为中点，点F为上的三等分点，且靠近点C，设.

（1）用表示；
（2）如果，且，求.
20. 已知函数，其中.如图是函数在一个周期内的图象，A为图象的最高点，为图象与x轴的交点，为等边三角形，且是偶函数.

（1）求函数的解析式；
（2）解不等式，实数x的取值范围；
（3）若在只有两条对称轴，求m的取值范围.
21. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点P为半圈上一点（异于），点H在线段上，且满足.已知，设.

（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大，当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.
22. 直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）求的取值范围．