山西省朔州市应县第一中学校2024届高三下学期一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数的共轭复数为，则（ ）
A. B. C. 4D. 2
3. 已知，且，则（ ）
A. B. C. 4D.
4. 已知是偶函数，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
5. 已知一组样本数据分别为，若这组数据的平均数为4，则数据，的方差为（ ）
A. B. 8C. 16D. 24
6. 已知椭圆与双曲线有且仅有两个交点，若椭圆的离心率为，则椭圆的短轴长为（ ）
A. 2B. 4C. D.
7. 设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. 3C. D. 5
8. 在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆锥的侧面积为，底面圆的周长为，则（ ）
A. 圆锥的母线长为4
B. 圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
C. 圆锥体积为
D. 沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为
10. 将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是的一个对称中心
C. 的单调递增区间为
D. 在上恰有3个零点
11. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ）
A. 若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数为______．
13. 若，则______．
14. 已知点是双曲线的右焦点，过的直线与交于两点，点与点关于原点对称，．若为线段上靠近点的四等分点，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角的对边分别为，向量，且．
（1）求；
（2）求的最小值．
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，分别为上的点，平面．
（1）若，求的长；
（2）若为中点，求平面与平面夹角的余弦值．
17. 甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球，已知甲首先发球，连续传球次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为．
（1）当时，求球又回到甲手中的概率；
（2）当时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；
（3）记，求证：数列从第3项起构成等比数列，并求．
18. 已知抛物线的准线方程为，直线与圆相切于点，且圆心在直线上．
（1）求抛物线和圆标准方程；
（2）若是轴上的两点，是抛物线上的动点，且直线与圆均相切，，求的周长最小时，点的坐标．
19. 已知函数为导函数．
（1）若函数在处的切线的斜率为2，求的值；
（2）求证：．