2024年河南省漯河高级中学高考数学检测试卷（3月份）（一）(含解析）

这是一份2024年河南省漯河高级中学高考数学检测试卷（3月份）（一）(含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l的方向向量是a=(3,2,1)，平面α的一个法向量是n=(1,−1,−1)，则l与α的位置关系是( )
A. l⊥αB. l/​/αC. l与α相交但不垂直D. l/​/α或l⊂α
2.已知i是虚数单位，a∈R，则“(a+i)2=2i”是“a2=1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华一王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A. f(x)=3sinxB. f(x)=3csxC. f(x)=(13)sinxD. f(x)=(13)csx
4.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为α(0°b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为23，若A和B为椭圆C上在x轴上方的两点，且BF1=2AF2，则直线AF2的斜率为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an−2(n∈N*)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=an,(n=2k,k∈N*)lg2an,(n=2k−1,k∈N*)，求数列{bn}的前2n+1项的和．
18.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，已知AB/​/CD，AB⊥AD，BC⊥PA，AB=2AD=2CD=2，PA= 6，PC=2，E是线段PB上的点．
(1)求证：PC⊥底面ABCD；
(2)是否存在点E使得PA与平面EAC所成角的余弦值为 53？若存在，求出BEBP的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
有如图所示的四边形ABCD．

(1)在△ABC中，三内角为A，B，C，求当A为何值时，csA+2csB+C2取得最大值，并求出这个最大值；
(2)若∠CAB为(1)中所得值，∠BAD=90°，∠BCD=120°，AC=2，记∠ABC=θ．
(ⅰ)求用含θ的代数式表示DC；
(ⅱ)求△BCD的面积S的最小值．
20.(本小题12分)
某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目．
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望．
21.(本小题12分)
已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为2 3，过点P(1,0)斜率存在且不为0的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆左右顶点为M，N，设AB中点为Q，直线OQ交直线x=4于点R，kBN(kAM−kPR)是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinx−ln(1+ax)．
(1)若x∈[0,π2]时，f(x)≥0，求实数a的取值范围；
(2)设n∈N*，证明：sin13+ln32−lnn+2n+10)，
则u′(x)=x−(lnx+1)⋅2xx4=−(2lnx+1)x3，
令u′(x)>0，得00，
即|PB|2=(x0−1)2+y02=10，所以(x0−1)2+(12x0−1)2=10，
即5x02−12x0−32=0，可得x0=4(负值舍)，则|y0|=1，
故|PA|= (x0+1)2+y02= 26；
若||PA|−|PB|=a>0，结合双曲线定义知：P在以A，B为焦点的双曲线上，但不含顶点，
该双曲线为x2(a2)2−y21−(a2)2=1，即4x2a2−4y24−a2=1，
双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线12|x|−|y|=1有交点，
即双曲线的渐近线和曲线12|x|−|y|=1有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12，
所以0< 4−a2a2