初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.2 消元---解二元一次方程组教学设计

这是一份初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.2 消元---解二元一次方程组教学设计，共17页。教案主要包含了【单元目标】，【单元知识结构框架】，【学情分析】，【教学设计思路/过程】，【教学问题诊断分析】，【教学成果自我检测】，【教学反思】等内容，欢迎下载使用。
通过情境引入，引起学生学习的兴趣，同时引发学生思考二元一次方程组的解法；可以在课堂上进行分组讨论，调动每个学生的积极性，用不同的方法来解决问题，促进学生思维的发散性；
（1）通过列举《一千零一夜》里面的故事，引发孩子将故事里面的文字转化为数学问题，并自己列出二元一次方程组；再抛出问题——如何解出这个二元一次方程组，加深学生对二元一次方程组的理解，并对二元一次方程组的解有清晰的认识；
（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，用头脑风暴的方式激发学生的积极性，同时对二元一次方程组的解法有更加深刻的理解；
（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；
（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；
二、【单元知识结构框架】
消元—解二元一次方程组代入法加减法
三、【学情分析】
1．认知基础
代入法和加减法解二元一次方程组，是解决二元一次方程组问题的关键，也是最基础的计算技巧；通过了解代入法和加减法，可以发现二元一次方程组的解法核心就是“消元”，将二元转化为一元，从而达到解二元一次方程组的目的；
2.认知障碍
学生在使用代入法还是加减法解二元一次方程组时，会纠结用哪个方法比较好，解的过程中会出现计算错误，尤其是带有复杂系数的二元一次方程组；另外就是对于算出的结果不进行检验，导致答案错误；对于一些需要整体代入的二元一次方程组，往往会出现手足无措的情况，做题技巧单一；
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约2课时
教学重点：代入法解二元一次方程组，加减法解二元一次方程组，整体代入解二元一次方程组；
教学难点： 整体代入解二元一次方程组；
五、【教学问题诊断分析】
【情境引入】
《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上，另一部分在地上．树上的一只鸽子对地上的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子为整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、地上的鸽子一样多．”你知道树上、地上各有多少只鸽子吗？
我们可以设树上有x只鸽子，地上有y只鸽子，得到方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝3（y－1），,x－1＝y＋1.))可是这个方程组怎么解呢？有几种解法？
5.1.1用代入法解二元一次方程组
问题1：（用代入法解二元一次方程组）用代入法解下列方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝－19，①,x＋5y＝1；②)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＝1，①,\f(y＋1,4)＝\f(x＋2,3).②))

【破解方法】对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x＝1－5y，然后代入①求解；对于方程组(2)，应将方程组变形为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＝1，③,4x－3y＝－5，④))观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x＝eq \f(3y＋1,2).
【解析】解：(1)由②，得x＝1－5y.③
把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19，
2－10y＋3y＝－19，－7y＝－21，y＝3.
把y＝3代入③，得x＝－14.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－14，,y＝3；))
(2)将原方程组整理，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＝1，③,4x－3y＝－5.④))
由③，得x＝eq \f(3y＋1,2).⑤
把⑤代入④，得2(3y＋1)－3y＝－5，
3y＝－7，y＝－eq \f(7,3).
把y＝－eq \f(7,3)代入⑤，得x＝－3.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－\f(7,3).))
问题2：（整体代入法解二元一次方程组）解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,3)＝2y，①,2（x＋1）－y＝11.②))
【破解方法】当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．
【解析】由①，得x＋1＝6y.把x＋1＝6y代入②，得2×6y－y＝11.解得y＝1.把y＝1代入①，得eq \f(x＋1,3)＝2×1，x＝5.所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝1.))
问题3：（已知方程的解，用代入法求待定系数的值）已知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋by＝7，,ax－by＝1))的解，则a－b的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．3
【破解方法】解这类题就是根据方程组解的定义求，将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．
【解析】把解代入原方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＋b＝7，,2a－b＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3，))所以a－b＝－1.故选B.
5.1.2加减消元法解二元一次方程组
问题4： 用加减消元法解下列方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋3y＝3，①,3x－2y＝15；②))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－0.3（y－2）＝\f(x＋1,5)，①,\f(y－1,4)＝\f(4x＋9,20)－1.②))
【破解方法】(1)观察x，y的两组系数，x的系数的最小公倍数是12，y的系数的最小公倍数是6，所以选择消去y，把方程①的两边同乘以2，得8x＋6y＝6③，把方程②的两边同乘以3，得9x－6y＝45④，把③与④相加就可以消去y；(2)先化简方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝14，③,4x－5y＝6.④))观察其系数，方程④中x的系数恰好是方程③中x的系数的2倍，所以应选择消去x，把方程③两边都乘以2，得4x＋6y＝28⑤，再把方程⑤与方程④相减，就可以消去x.
【解析】：(1)①×2，得8x＋6y＝6.③
②×3，得9x－6y＝45.④
③＋④，得17x＝51，x＝3.
把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，y＝－3.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－3；))
(2)先化简方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝14，③,4x－5y＝6.④))
③×2，得4x＋6y＝28.⑤
⑤－④，得11y＝22，y＝2.
把y＝2代入④，得4x－5×2＝6，x＝4.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝2.))
问题5：（用加减法整体代入求值）已知x、y满足方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y＝5，,3x＋y＝－1，))求代数式x－y的值．
【破解方法】观察两个方程的系数，可知两方程相减得2x－2y＝－6，从而求出x－y的值．
【解析】解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y＝5，①,3x＋y＝－1，②))②－①，得2x－2y＝－1－5，③ eq \f(③,2)，得x－y＝－3.
问题6：（构造二元一次方程组求值）已知xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，求m和n的值．
【破解方法】根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n.
【解析】解：因为xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－n＋1＝n－1，①,3m－2n－5＝1.②))
整理，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2n＋2＝0，③,3m－2n－6＝0.④))
④－③，得2m＝8，所以m＝4.把m＝4代入③，得2n＝6，所以n＝3.所以当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝4，,n＝3))时，xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项．
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．方程，用含的代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等式的性质即可求解．
【详解】解：
，
故选：．
【点睛】本题主要考查等式的性质，理解并掌握等式的性质，代数式的意义是解题的关键．
2．用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A．由①得B．由①得C．由②得D．由②得
【答案】D
【分析】用代入法解二元一次方程，由于②中的系数为，故对②进行变形比较容易．
【详解】解：观察可知，由②得代入后化简比较容易，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法．
3．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】B
【分析】将代入原方程组，可得出关于a，b的二元一次方程组，利用①﹣②，可求出代数式的值．
【详解】解：将代入原方程组得，
①﹣②得：，
∴代数式的值是2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解即使方程组中每个方程都成立的一组未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
4．将方程变形成用的代数式表示，则___________．
【答案】
【分析】要用含y的代数式表示x，一般要先移项使方程的左边只有含有字母x的项，再把系数化1．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化成1得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的变形，利用解一元一次方程的步骤解出所要表示的未知数即可．
5．若x，y满足方程组，则______．
【答案】5
【分析】由，即可求解．
【详解】解：，
由得：．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
6．解下列方程组；
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两个方程相减，得出，求出代入②求出x即可；
（2）①+②×2，得出，求出代入①求出y即可．
【详解】（1）解：
整理得：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
故方程组的解为；
（2）解：，
①+②×2得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
故方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
【变式1】下列选项为二元一次方程组的解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用加减消元法解二元一次方程即可选择．
【详解】解：，
①，得③，
②③，得，
解得，
将代入①得，，
∴原方程组的解为，
故选：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，掌握加减消元思想是解题的关键．
【变式2】已知，是关于x，y的二元一次方程的解，则k，b的值是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】根据二元一次方程解的定义把，分别代入二元一次方程中得到关于k、b的方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵，是关于x，y的二元一次方程的解，
∴，
解得，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
【变式3】关于x、y的二元一次方程组，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用得到的方程是______．
【答案】
【分析】利用加减消元法进行计算即可．
【详解】解：解二元一次方程组时，
用得到的方程是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．
【变式4】已知，则____________．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性及完全平方的非负性得到正确的结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴得：，
∴．
故答案为：8.
【点睛】本题考查了绝对值的非负性及完全平方的非负性，解二元一次方程组，熟记绝对值的非负性及完全平方的非负性是解题的关键．
【变式5】解下列方程组
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用代入法解答即可；
（2）利用加减法解答即可；
（3）化简后利用代入法解答即可；
（4）化简后利用加减法解答．
【详解】（1）解：．
把①代入②得：．
解得：．
把代入①得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：，
①②得：，
∴，
把代入①得：，
∴，
∴原方程组的解为：；
（3）解：原方程组变为：．
把①代入②得：．
∴．
把代入①得：，
∴原方程组的解为：；
（4）解：原方程组变为：，
①②得：．
∴．
②①得：．
∴．
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，恰当的使用代入法和加减法是解题的关键．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1．方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求的值，然后代入①式求的值，然后可得结果．
【详解】解：，
得，，
解得，，
将代入式得，
解得，，
∴方程组的解为，
故选C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组．解题的关键在于正确的运算．
2．已知是二元一次方程组的解，则的立方根为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】先将与的值代入方程组，解出即可与的值，然后再把与的值代入代数式，结合立方根的定义，计算即可．
【详解】解：∵是二元一次方程组的解，
∴把代入二元一次方程组，可得：，
解得：，
∴，
∵，
∴的立方根．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、求代数式的值、立方根的定义，解本题的关键在求出与的值．
3．在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度得到点，若点A与点B关于y轴对称，则的值是：（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据点平移的规律，得出点向右平移4个单位长度后的坐标为，再结合题意，列出方程组，解出、的值，然后代入代数式，计算即可得出答案．
【详解】解：∵点向右平移4个单位长度后的坐标为，
又∵点向右平移4个单位长度得到点，
∴可得：，
∴解得：，
∴，
∴的值是．
故选：A
【点睛】本题考查了平移、解二元一次方程组，解本题的关键在正确求出、的值．
4．二元一次方程组的解是_________.
【答案】
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，根据方程组中未知数系数的特点选择恰当的方法消元是解决此题的关键．
5．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ______ ．
【答案】####1.5
【分析】求得原方程组的解，再将方程组的解代入，得到关于的方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：，
①②得：
，
，
①②得：
，
，
原方程组的解为：．
关于，的二元一次方程组的解满足，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
6．解下列方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
把①代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
所以原方程组的解是；
（2）方程组整理得：，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法．
7．关于x、y的方程组．
(1)当时，解方程组；
(2)若方程组的解满足，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入方程组，解方程组即可；
（2）根据，可得，代入方程组解关于x、k的方程组即可．
【详解】（1）解：当时，可得：，
解得；
（2）解：∵方程组的解满足，
，
把代入方程组可得：，
解得，
．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
七、【教学反思】