18.1平行四边形的性质与判定

18.1平行四边形的性质与判定一．选择题（共10小题）1．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　）A．1：2：2：1 B．1：2：3：4 C．2：1：1：2 D．2：1：2：12．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则图中全等三角形的对数为（　　）A．4 B．3 C．2 D．13．在四边形ABCD中，AB＝CD，要判定此四边形是平行四边形，还需要满足的条件是（　　）A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠D＝180° C．∠A+∠B＝180° D．∠A+∠D＝180°4．如果四边形ABCD的对角线相交于点O，且AO＝CO，那么下列条件中不能判断四边形ABCD为平行四边形的是（　　）A．OB＝OD B．AB∥CD C．AB＝CD D．∠ADB＝∠DBC5．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝10，AB＝4，则△OCD的周长为（　　）A．8 B．10 C．12 D．146．如图，已知平行四边形ABCD中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（　　）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣2，﹣1）7．如图，▱ABCD中，AB＝3，BE平分∠ABC，交AD于点E，DE＝2，点F，G分别是BE和CE的中点，则FG的长为（　　）A．3 B．2.5 C．2 D．58．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　）A．2 B．5 C．7 D．99．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为（　　）A． B． C．4 D．610．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共10小题）11．在▱ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠C的度数为　 　．12．▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝60°，BE＝3cm，DF＝5cm，则▱ABCD的面积为　 　．13．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是 　 　．14．在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的两个顶点坐标分别为A（m，2），B（m+1，3），则顶点C的坐标为 　 　．15．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，DE＝4，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AB的长为 　 　．16．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交边BC于E，连接AE，若∠ABC＝60°，∠BAE＝∠DAC，则∠BAE＝　 　°．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝4.9，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别交BA，CD的延长线于点M，N，且∠BMF＝∠CNF，则CD的长为 　 　．18．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是 　 　．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝8cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C向点B运动，当点P、Q中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则 　 　s后四边形PQCD是平行四边形．20．如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，则下列结论不成立的是 　 　．（填序号）①OE＝OF；②AE＝BF；③∠DOC＝∠OCD；④∠CFE＝∠DEF三．解答题（共6小题）21．如图，在▱ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝DH，AF＝CG．求证：EF＝HG．22．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求DM的长．23．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠FPE的度数．24．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．25．如图所示，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD于F．（1）求证：CE＝CF；（2）延长AD、EF交于点H，延长BA到G，使AG＝CF，若AD＝7，DF＝3，EH＝2AE，求GF的长．26．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．18.1平行四边形的性质与判定参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　）A．1：2：2：1 B．1：2：3：4 C．2：1：1：2 D．2：1：2：1【分析】根据平行四边形对角相等即可判断选择哪一个．【解答】解：由于平行四边形对角相等，所以对角的比值数应该相等，其中A，B，C都不满足，只有D满足．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的对角相等是解决问题的关键．2．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则图中全等三角形的对数为（　　）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝CB，∠BAD＝∠DCB，∠ABC＝∠CDA，OA＝OC，OB＝OD，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BAD≌△DCB、△ABC≌△CDA、△AOB≌△COD、△AOD≌△COB，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC、BD相交于点O，∴AB＝CD，AD＝CB，∠BAD＝∠DCB，∠ABC＝∠CDA，OA＝OC，OB＝OD，∵∠AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，AD＝CB，∴△BAD≌△DCB（SAS）；∵AB＝CD，∠ABC＝∠CDA，CB＝AD，∴△ABC≌△CDA（SAS）；∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，∴△AOB≌△COD（SAS），∵OA＝OC，∠AOD＝∠COB，OD＝OB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴图中有4对全等三角形，故选：A．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据平行四边形的性质得到相等的线段和相等的角，再根据全等三角形的判定定理证明四对三角形全等是解题的关键．3．在四边形ABCD中，AB＝CD，要判定此四边形是平行四边形，还需要满足的条件是（　　）A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠D＝180° C．∠A+∠B＝180° D．∠A+∠D＝180°【分析】利用平行四边形的判定方法可得答案．【解答】解：A、添加∠A+∠C＝180°不能判定此四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B、添加∠B+∠D＝180°不能判定此四边形是平行四边形，故此选项不合题意；C、添加∠A+∠B＝180°可得AD∥CB，再加上AB＝CD不能判定此四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；D、添加∠A+∠D＝180°可得AB∥CD，再加上AB＝CD可判定此四边形是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．4．如果四边形ABCD的对角线相交于点O，且AO＝CO，那么下列条件中不能判断四边形ABCD为平行四边形的是（　　）A．OB＝OD B．AB∥CD C．AB＝CD D．∠ADB＝∠DBC【分析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可．【解答】解：A、加上BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B、加上条件AB∥CD可证明△AOB≌△COD可得BO＝DO，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；C、加上条件AB＝CD不能证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意；D、加上条件∠ADB＝∠DBC可利用ASA证明△AOD≌△COB，可证明BO＝DO，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．5．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝10，AB＝4，则△OCD的周长为（　　）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝3，OB＝OD＝5，∴△OCD的周长＝3+4+5＝12，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．6．如图，已知平行四边形ABCD中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（　　）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣2，﹣1）【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝4，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵A（﹣1，2），D（3，2），∴AD＝4＝BC，∵C（2，﹣1），∴B（﹣2，﹣1），故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．7．如图，▱ABCD中，AB＝3，BE平分∠ABC，交AD于点E，DE＝2，点F，G分别是BE和CE的中点，则FG的长为（　　）A．3 B．2.5 C．2 D．5【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，进而利用平行线的性质和三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE＝3，∴AD＝BC＝AE+ED＝3+2＝5，∵点F，G分别是BE和CE的中点，∴FG是△BEC的中位线，∴FG＝BC＝2.5，故选：B．【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AD∥BC解答．8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　）A．2 B．5 C．7 D．9【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．9．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为（　　）A． B． C．4 D．6【分析】根据平行四边形对边平行可得AB∥CD，再利用两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECG，根据线段中点的定义可得BE＝CE，然后利用“角边角”证明△BEF和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CG，再解直角三角形求出EF、BF，求出DG，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，延长DC和FE交于点G，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∵E为BC的中点，∴，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴BF＝CG，∵∠B＝60°，∴∠FEB＝30°，∴，∴，∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，∵EF⊥AB，AB∥CD，∴DG⊥FG，∴，故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，熟记各性质是解题的关键．10．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB＝BC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S平行四边形ABCD＝AB⋅AC；根据AB＝BC，OB＝BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；可得OE是三角形的中位线，证得④OE＝BC；由等边三角形的性质得到∠AEC＝120°，根据等腰三角形的性质可得∠AEO＝∠AEC＝60°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，∵∠ABE＝∠ADC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴BE＝BC，∴BE＝CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，∴∠ECA＝30°，∴∠CAD＝∠ECA＝30°，故①正确；∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确；AB⊥OA，∴OB＞AB，∴OB≠AB，故③错误；∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD//BC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE＝AB＝BC，故④正确；∵△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵CE＝AE，OA＝OC，∴∠AEO＝∠CEO＝∠AEC＝60°，故⑤正确．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．二．填空题（共10小题）11．在▱ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠C的度数为　55°或35°　．【分析】由平行四边形的性质和题意画出图形，由直角三角形的性质得出∠BDE＝70°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠A的度数、分两种情况，然后利用平行四边形的性质求得∠C的度数即可．【解答】解：根据平行四边形的性质和题意画出图形，分2种情况：①如图1所示∵BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，∴∠BDE＝90°﹣20°＝70°，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝（180°﹣70°）＝55°，∴∠C＝∠A＝55°；②如图2所示：同①得：∠BDE＝70°，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∴∠C＝∠A＝70°÷2＝35°；上所述：∠C的度数为55°或35°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；根据题意画出图形是解决问题的关键．12．▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝60°，BE＝3cm，DF＝5cm，则▱ABCD的面积为　30cm2　．【分析】根据四边形的内角和为求得∠C；根据平行四边形的性质得到∠B与∠C互补，即可求得∠B＝60°，在直角三角形ABE中求得AB的长，同理求得AD的长，继而求得平行四边形ABCD的面积．【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，∴∠AEB＝∠AEC＝∠AFC＝∠AFD＝90°，∴∠C＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠B+∠C＝180°，∴∠B＝∠D＝60°，∴∠BAE＝∠FAD＝30°，∵BE＝3cm，FD＝5cm，∴AB＝6cm，BC＝AD＝10cm，AF＝5，∴S四边形ABCD＝CD•AF＝6×5＝30cm2．故答案为：30cm2．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．还考查了直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，正确求得∠B和∠DAF的度数是关键．13．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是 　（2，﹣3），（6，3），（﹣2，3）　．【分析】（1）当BC∥OA，BC＝OA时，C和B的纵坐标相等，因为OA＝2﹣0＝2；当C在B左边时，横坐标为1﹣2＝﹣1，当C在B右边时，横坐标为1+2＝3；（2）当AB∥OC，AB＝OC时，由点B平移到点A，是横坐标加1，纵坐标减1，那么由点O平移到C也应如此移动：0+1＝1，0﹣1＝﹣1．【解答】解：当BC∥OA，BC＝OA时，C和B的纵坐标相等，若选择AB为对角线，则C1（3，1）；若选择OB为对角线，则C2（﹣1，1）；当AB∥OC，AB＝OC时，选择OA为对角线，则C3（1，﹣1）．故第四个顶点坐标是：C1（3，1），C2（﹣1，1），C3（1，﹣1）．【点评】本题考查了平行四边形的性质，关键是围绕三条线段分别作为平行四边形的对角线，根据平行四边形的性质，利用形数结合求解．14．在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的两个顶点坐标分别为A（m，2），B（m+1，3），则顶点C的坐标为 　（1，1）　．【分析】根据题意画图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作x轴的垂线，过点A作x轴的平行线，两线相交于点D，然后证明△BAD≌△COE（AAS），可得AD＝OE，BD＝CE，根据A（m，2），B（m+1，3），可得BD＝3﹣2＝1，AD＝m+1﹣m＝1，进而可以解决问题．【解答】解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作x轴的垂线，过点A作x轴的平行线，两线相交于点D，在▱OABC中，∵AB∥OC，AB＝OC，∴∠BAO+∠COA＝180°，∴∠BAD+∠DAO+∠COA＝180°，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠EOA＝180°，∴∠DAO+∠COA+∠COE＝180°，∴∠BAD＝∠COE，在△BAD和△COE中，，∴△BAD≌△COE（AAS），∴AD＝OE，BD＝CE，∵A（m，2），B（m+1，3），∴BD＝3﹣2＝1，AD＝m+1﹣m＝1，∴C（1，1）．故答案为：（1，1）．【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，DE＝4，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AB的长为 　6　．【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝10，由平行线的性质和角平分线的性质可求AB＝AE，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝10．∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，求出AB＝AE的长是本题的关键．16．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交边BC于E，连接AE，若∠ABC＝60°，∠BAE＝∠DAC，则∠BAE＝　40　°．【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AO＝CO，可求∠BAD的度数，由线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，由等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠ACE，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠DAC＝∠ACB，∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，∵OE⊥AC，∴AE＝EC，∴∠CAE＝∠ACE，∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＝∠DAC＝∠EAC，∴∠BAE＝40°，故答案为：40；【点评】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝4.9，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别交BA，CD的延长线于点M，N，且∠BMF＝∠CNF，则CD的长为 　4.9　．【分析】连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG，根据E，G分别是AD，BD的中点，得到GE为△ABD的中位线，，同理得到GF为△BDC的中位线，，根据GE为△ABD的中位线，得到GE∥MB，推出∠GEF＝∠BMF，同理∠GFE＝∠CNF，结合∠BMF＝∠CNF，得到∠GEF＝∠GFE，GE＝GF，AB＝CD，结合AB＝4.9，即可求出CD的长．【解答】解：连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG，∵E，G分别是AD，BD的中点，∴GE为△ABD的中位线，∴，∵F，G分别是BC，BD的中点，∴GF为△BDC的中位线，∴，∵GE为△ABD的中位线，∴GE∥MB，∴∠GEF＝∠BMF，∵GF为△BDC的中位线，∴GE∥CN，∴∠GFE＝∠CNF，又∵∠BMF＝∠CNF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∴AB＝CD，∵AB＝4.9，∴CD＝AB＝4.9．故答案为：4.9．【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造中位线；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．18．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是 　　．【分析】取AB的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AD、CB的中点，∴EG∥BD且EG＝BD＝×12＝6，FG∥AC且FG＝AC＝×10＝5，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝8cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C向点B运动，当点P、Q中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则 　　s后四边形PQCD是平行四边形．【分析】当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，由此得出方程，解方程即可．【解答】解：设运动了x秒．根据题意有AP＝x cm，CQ＝2x cm，PD＝（8﹣x）cm，∵AD∥BC，∴当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，∴8﹣x＝2x，解得：x＝，∴s时，四边形PDCQ是平行四边形，故答案为：．【点评】此题考查了平行四边形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．20．如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，则下列结论不成立的是 　②③④　．（填序号）①OE＝OF；②AE＝BF；③∠DOC＝∠OCD；④∠CFE＝∠DEF【分析】首先可根据平行四边形的性质及全等三角形的判定推出△AEO≌△CFO，从而进行分析即可．【解答】解：∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO又∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF，①成立；∴AE＝CF，但不一定得出BF＝CF，则AE不一定等于BF，②不一定成立；若∠DOC＝∠OCD，则DO＝DC，由题意无法明确推出此结论，③不一定成立；由△AEO≌△CFO得∠CFE＝∠AEF，但不一定得出∠AEF＝∠DEF，则∠CFE不一定等于∠DEF，④不一定成立；故答案为：②③④．【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形判定和性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．三．解答题（共6小题）21．如图，在▱ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝DH，AF＝CG．求证：EF＝HG．【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，∠A＝∠C，证明△AEF≌△CHG（SAS），由全等三角形的性质可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C，∵BE＝DH，∴AB﹣BE＝CD﹣DH，即AE＝CH，在△AEF和△CHG中，，∴△AEF≌△CHG（SAS），∴EF＝HG．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△AEF≌△CHG是解题的关键．22．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求DM的长．【分析】由于DM无法直接求出，因此可通过构建三角形来得出与DM相关联的线段，延长BD交AC于E．AD是∠BAC的平分线，那么∠BAD＝∠CAD，AD⊥BE，又有一条公共边，那么△ABD和△ADE全等．那么AB＝AE，BD＝DE，又有BM＝MC，那么DM是三角形BCE的中位线，那么DM＝CE，又因为CE＝AC﹣AE＝AC﹣AB＝6，因此DM＝3．【解答】解：延长BD交AC于E∵BD⊥AD∴∠ADB＝∠ADE＝90°∵AD是∠A的平分线∴∠BAD＝∠EAD在△ABD与△AED中∴△ABD≌△AED（ASA）∴BD＝ED，AE＝AB＝12，∴EC＝AC﹣AE＝18﹣12＝6，∵M是BC的中点∴DM＝EC＝×6＝3．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定．利用全等三角形来得出线段相等是解决此类问题的关键．23．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠FPE的度数．【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，进而可得出结论．【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，∴△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝30°，∴∠PEF＝∠PFE＝30°，∴∠FPE＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．24．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．【分析】先根据SSS证出△BEA≌△DFC，从而得到∠EAB＝∠FCD，根据等角的补角相等可得∠BAC＝∠DCA，从而得到AB∥DC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：在△BEA和△DFC中，∴△BEA≌△DFC（SSS），∴∠EAB＝∠FCD，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥DC，∵AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键在于先通过全等三角形证出AB∥CD．25．如图所示，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD于F．（1）求证：CE＝CF；（2）延长AD、EF交于点H，延长BA到G，使AG＝CF，若AD＝7，DF＝3，EH＝2AE，求GF的长．【分析】（1）由题意可得：∠DAE＝∠BAE＝∠AEB＝∠BAD＝∠C，则∠C+∠FEC＝90°，根据三角形内角和可得∠C+∠EFC＝90°，则∠CEF＝∠CFE，即可得结论；（2）连接AC，作AP⊥BC于P，由题意可求AB＝BE＝CD＝5，CE＝CF＝2，即可求DH＝3，根据勾股定理可求AE的长，根据勾股定理可列出方程，可求出 BP，AP，PE，PC的长度，再根据勾股定理可求AC的长，由题意可证AC＝GF，即可得GF的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠BAD＝∠C，AD∥BC∴∠DAE＝∠AEB∵AE平分∠DAB∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD∴∠BAE＝∠AEB＝∠BAD∴AB＝BE∵AE⊥EF∴∠AEF＝90°∴∠AEB+∠FEC＝90°，即∠BAD+∠FEC＝90°∴∠C+∠FEC＝90°∵∠C+∠FEC+∠EFC＝180°∴∠C+∠EFC＝90°∴∠EFC＝∠FEC∴CE＝CF（2）如图连接AC，作AP⊥BC于P∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AD＝BC＝7，AB∥CD∵CE＝CF∴BC﹣BE＝CD﹣DF，且AB＝BE＝CD∴7﹣AB＝AB﹣3∴AB＝5＝BE＝CD∴CE＝CF＝2∵AD∥BC∴∠H＝∠FEC，且∠FEC＝∠EFC，∠DFH＝∠EFC∴∠H＝∠DFH∴DH＝DF＝3∴AH＝10在Rt△AEH中，AH2＝AE2+EH2，且EH＝2AE∴5AE2＝100∴AE＝2在Rt△ABP和Rt△APE中AP2＝AB2﹣BP2，AP2＝AE2﹣PE2．∴AB2﹣BP2＝AE2﹣PE2．∴25﹣BP2＝20﹣（5﹣BP）2．∴BP＝3∴AP＝4，PE＝2，PC＝4在Rt△APC中，AC＝＝4∵AB∥CD，AG＝CF∴四边形AGFC是平行四边形∴GF＝AC＝4【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．26．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中点P，连接EP、FP，由三角形中位线定理得PE∥AB，且PE＝5，PF∥CD，且PF＝12，再证∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出结论；（2）由三角形中位线定理得PE∥AB，且，PF∥CD，且，再证∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出结论．【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP，∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝10，CD＝24，∴PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，∴PE∥AB，且，且，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，在Rt△EPF中，由勾股定理得：，即EF的长为13；（2）证明：由（1）可知，PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，∴PE∥AB，且，PF∥CD，且，∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°﹣∠BDC．∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，∴∠BDC＝90°+∠ABD，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，∴，∴AB2+CD2＝4EF2．【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理以及平行线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/11 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