广东省四会中学、广信中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

这是一份广东省四会中学、广信中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题，共15页。试卷主要包含了下列求导正确的是，函数的图象可能是，若，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列对函数表达不正确的是（ ）
A.在处取极小值 B.在处取极小值
C.在上为减函数 D.在上为增函数
3.高二某班4名同学分别从3处不同风景点中选择一处进行旅游观光，则共有多少种选择方案（ ）
A.种 B.种 C.种 D.种
4.春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力.它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想.甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚汮》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A.192 B.240 C.96 D.48
5.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（ ）
A.0 B. C.1 D.
6.函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
10.身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A.三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B.与同学不相邻，共有种站法
C.三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共有144种站法
D.不在排头，不在排尾，共有504种站法
11.已知函数，其导函数为，且，记，则下列说法正确的是（ ）
A.恒成立
B.函数的极小值为0
C.若函数在其定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围是
D.对任意的，都有
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.计算__________.（用数字作答）
13.的展开式中，的系数为__________.
14.已知偶函数的定义域是，其导函数为，对任意，都有成立，则不等式的解集为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.
（1）求的值.
（2）求的展开式中的常数项.
（3）求展开式中所有系数的和.
16.男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（最后结果用数字作答）
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）队长中至少有1人参加；
（3）既要有队长，又要有女运动员.
17.已知在处取得极小值.
（1）求的解析式；
（2）求在处的切线方程；
（3）若方程有且只有一个实数根，求的取值范围.
18.在暑假期间，小明同学到某乡镇参加社会调查活动.小明利用所学知识帮一苹果农户解决年利润最大问题.经小明调查，对苹果精包装需要投入年固定成本3万元，每加工万斤苹果，需要流动成本万元.当苹果年加工量不足10万斤时，；当苹果年加工量不低于10万斤时，.通过市场分析，加工后的苹果每斤售价7元，当年加工的苹果能全部售完.
（1）求年利润关于年加工量的解析式；（年利润=年销售收入-流动成本-年固定成本）
（2）当年加工量为多少万斤时，该苹果农户获得年利润最大，最大年利润是多少？（参考数据：）
19.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明不等式.
2023-2024学年第二学期数学科第一次联考
参考答案
1.D
【分析】根据初等函数的求导法则依次讨论即可.
【详解】解：对于选项，，故错误；
对于选项，，故错误；
对于选项，，故错误；
对于选项，，故正确；
故选：D
2.A
【分析】根据图象可得的符号，进而可得的单调性和极值，逐项分析判断即可.
【详解】由导函数的图像可知：当或时，；当或时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故C､D正确；
函数在处取到极大值，在处取到极小值，
故A不正确，B正确；
故选：A.
3.D
【分析】利用分步乘法计数原理即可得解.
【详解】由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位同学选择，故共有种选择方法.
故选：D
4.A
【分析】
丙坐在七人的正中间，则需列举出甲､乙两人相邻的情况，安排甲乙的顺序，再用排列法计算其他人即可.
【详解】
解：丙在正中间（4号位），甲､乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，考虑到甲､乙的顺序有种情况，
剩下的4个位置其余4人坐，有种情况，
故不同的坐法的种数为.
故选：A.
5.C
【分析】根据曲率的定义求解即可.
【详解】因为，
所以，所以，
所以曲线在处的曲率.
故选：C.
6.A
【分析】根据函数的奇偶性，结合函数值，以及函数的变化趋向，即可判断选项.
【详解】函数的定义域为，满足，
所以函数是奇函数，故排除D，
设，
，所以在上单调递增，，
，所以当时，，故排除B；
当时，，故排除C.
故选：A
7.C
【分析】将给定不等式分离参数，构造函数并借助导数探讨其最值即可得解.
【详解】，
令，则，
于是得在上单调递增，，则，
所以实数的取值范围为.
故选：C
8.B
【分析】
由题得在区间无解，在区间有2两个不同解，然后参变分离，转换成图像交点问题即可.
【详解】由题在区间无解，
即在区间无解，设，则，
所以当时，单调减，当时，单调增，
所以，显然当趋于无穷大时，趋于无穷大，
所以
又函数在区间有2个极值点，所以在区间有2
两个不同解，
即在区间有2两个不同解，设，则，
所以当时，单调减，当时，单调增，
所以，显然当趋于无穷大和0时，都趋于无穷大，
所以，所以实数的取值范围是，
故选：B.
9.ACD
【分析】将代入判断，利用二项式展开式的通项公式判断B即可.
【详解】将代入得，解得
正确；
由二项式定理可知展开式的通项为，
令得，所以错误；
将代入得
，
即，正确；
将代入得
，
即①，
将代入得
，
即②，
①+②得，所以，
①-②得，所以，
所以，D正确；
故选：ACD
10.ABD
【分析】根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.
【详解】对于个人全排列有种方法，全排列有种方法，
则从左到右按高到矮的排列有种方法，正确；
对于，先排列除与外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空，
利用插空法将和插入5个空，有种方法，则共有种方法，正确；
对于必须排在一起且在中间的排法有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有种方法，则共有种方法，错误；
对于个人全排列有种方法，当在排头时，有种方法，当在排尾时，有种方法，
当在排头且在排尾时，有种方法，则不在排头，不在排尾的情况共有
种，正确.
故选：ABD
11.CD
【分析】根据题意求得，由，可得判定A不正确；由，结合的值不能确定，可判定B错误；结合的单调性，结合图象，可判定C正确；结合递增，且递增，结合图象，可判定D正确.
【详解】由函数，因为，可得，所以，
对于中，由，因为，
所以不恒成立，所以不正确；
对于中，由，可得，
其中无意义，所以的极小值一定不为0，所以错误；
对于中，由，
当时，可得；当时，可得，
所以函数在上单调递减，在在上单调递增，
且当时，，当时，，当时，，
函数的图象，如图所示，
结合图象得，当时，函数与的图象有两个不同的交点，
所以函数在其定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围是，
所以正确；
对于中，由，
设，可得，
所以单调递增，即单调递增，
所以为单调递增函数，且单调递增函数，且，
所以函数的图像，如图所示，函数图象为凸函数，
所以，当且仅当时，等号成立，所以正确.
故选：CD
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1､通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2､利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
3､根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
12.【分析】根据排列数､组合数公式展开计算，即可得出答案.
【详解】.
13.21
【分析】已知式变形为，根据二项式的展开式的通项公式可得答案.
【详解】，
展开式通项，
展开式中的系数为展开式中的系数为，
则，
故答案为：21.
14.
【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断函数为增函数，将不等式化为（2），利用单调性即可求解.
【详解】当时，由，
得，即.
令，则在上也为偶函数，
且当时，总成立，在上是增函数.
不等式可化为，
则，又，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查了构造函数，判断函数的单调性，利用单调性解不等式，属于中档题.
15.（1）
（2）-672
（3）-1
【分析】（1）根据二项式系数的关系求得.
（2）根据二项式展开式的通项公式求得常数项.
（3）令求得所有系数的和.
【详解】（1）依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，
即，解得.
（2）二项式展开式的通项公式为，令，解得，
故常数项为.
（3）由令得，
即展开式中所有系数的和为-1.
16.【详解】（1）分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有种选法；
第二步，选2名女运动员，有种选法.由分步乘法计数原理可得，共有（种）选法.
（2）方法一（直接法）可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为；
“只有女队长”的选法种数为；
“男､女队长都入选”的选法种数为，
所以共有（种）选法.
方法二（间接法）从10人中任选5人有种选法，
其中不选队长的方法有种.所以“至少有1名队长”的选法有（种）.
（3）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有（种）.
17.（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）求出，由题意可的，由此即可求出答案；
（2）分别求出的值，再利用点斜式写出直线；
（3）将问题转化为函数与有且只有一个交点，求出函数的单调性与极值，即可求出的取值范围.
【详解】（1）由题意知，
因为在处取得极小值
则，解得：
经检验，满足题意，所以，
所以
（2）由题意知，
所以，所以切点坐标为，斜率
所以切线方程为：，即.
（3）令，解得或，
则的关系如下表：
则，
方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，
等价于函数与有且只有一个交点，
即或，解得：或，
所以.
18.（1）
（2）当年加工量为12万斤时，该苹果农户获得最大年利润为45万元
【分析】（1）分和时，根据年利润年销售收入-流动成本-年固定成本求解；
（2）根据（1）的结果，分和，分别利用导数法和基本不等式法求解.
【详解】（1）解：当时，；当时，，
所以；
（2）当时，，
当时，；当时，，
所以在内单调递增，在内单调递减，
此时.
当时，，
当且仅当，即时取得等号.
因为，所以当年加工量为12万斤时，该苹果农户获得最大年利润为45万元.
19.（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）结合函数定义域，分两种情况分析和的解即可得答案；
（2）问题等价于恒成立，求出函数的最小值可得答案；
（3）即证明，结合函数单调性可证明结论.
【详解】（1）由题，.
当时，，从而，函数在单调递减；
当时，若，则，从而，
若，则，从而，
则函数在单调递减，在单调递增.
综上，当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增；
（2）根据（1）函数的极值点是，若，则，
，即，
，即，
令，则，
注意到.
得是函数在内的唯一极小值点，也是最小值点，
故，故；
（3）由即，构造函数，则，又令在上单调递增.
注意到时，，
时，在递增，
，
.-2
2
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增