贵州省2024届高三下学期4月适应性考试数学试卷

这是一份贵州省2024届高三下学期4月适应性考试数学试卷，共9页。
2024.4
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上.
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回.
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点是角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
2．若集合，其中且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．设正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，则与的关系是（ ）
A．B．C．D．
5．已知过点的动直线交抛物线于，两点（，不重合），为坐标原点，则（ ）
A．一定是锐角B．一定是直角C．一定是钝角D．是锐角、直角或钝角都有可能
6．2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕。某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（ ）
A．18B．36C．54D．72
7．下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．设方程的两根为，，则（ ）
A．，B．
C．D．
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．若事件和事件互斥，
B．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11
C．若随机变量，，则
D．已知关于的回归方程为，则样本点的残差的绝对值为2.2
10．已知非零函数的定义域为，为奇函数，且，则（ ）
A．B．4是函数的一个周期
C．D．在区间上至少有1012个零点
11．如图，正四棱锥每一个侧面都是边长为4的正三角形，若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（ ）
A．当为的中点时，异面直线与所成角为
B．当平面时，点的轨迹长度为
C．当时，点到的距离可能为
D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入正四棱锥内
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知向量，，则，则实数___________.
13．设，分别为双曲线的左、右焦点，过与该双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为___________.
14．如果复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，，复数满足，且，则的最大值为___________.
四、解答题：共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知在中，，
（1）求；
（2）若点是边上一点，，的面积为，求的最小值.
16．（本小题满分15分）
如图，正三棱柱中，，.设点为上的一点，过，作平面的垂面.
（1）画出平面与正三棱柱表面的交线（保留作图痕迹，不需证明）；
（2）若到平面的距离为，求与平面所成角的正弦值.
17．（本小题满分15分）
已知椭圆的左顶点为，右焦点为，椭圆上的点到的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与相交于，两点，直线的倾斜角为锐角.若点到直线的距离为，求直线与直线的斜率之和.
18．（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；
（2）已知，，（其中且，，成等比数列）是曲线上三个不同的点，判断直线与曲线在点处的切线能否平行？请说明理由.
19．（本小题满分17分）
甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第轮猜错，则他的轮也猜错的概率为；乙如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第轮猜错，则他的轮也猜错的概率为.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响.
（1）若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；
（2）若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为，则称为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数的信息熵.
（3）如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了轮游戏，求证：.
2024年高三年级适应性考试
参考答案与评分建议
2024.4
一、选择题（每小题5分，共40分）
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.2 13. 14.
四、解答题（共5小题，共77分）
15.解：（1）因为，所以， 2分
即， 4分
因为，所以， 5分
所以，. 6分
（2）因为，所以， 8分
因为的面积为，所以，所以 10分
12分
上式当且仅当即，时取得“=”号，
所以的最小值是. 13分
16.（1）
6分
（2）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则点的坐标为. 8分
设平面的法向量为，
则，又因为，，
所以，，令，则，
所以 11分
又因为，所以到平面的距离，解得 13分
因为，与平面所成角等于与平面所成角，
所以. 15分
17.解：（1）由题意知， 2分
得，由，得，化简得，
所以， 4分
又因为椭圆过点，所以， 5分
所以，解得. 6分
所以，，即的方程为. 7分
（2）设直线的方程为，，由点到直线与的距离为，
得，解得. 10分
联立，整理得.
设，，则，， 12分
所以直线与直线的斜率的和为
15分
18.解：（1）令，由题设知方程有两个实数根 1分
因为，所以 2分
4分
当及时，，且，
当时，且时. 6分
所以当时，与有两个不同的交点，
即有两个不同的零点. 7分
（2）因为且，，成等比数列，设公比为，
则，， 8分
直线的斜率
， 10分
函数在点处的切线斜率， 11分
假设直线与函数在点处的切线平行，则，
整理成， 12分
令，，则
， 14分
所以在单调递增，所以，
所以在时无实数解，
所以直线与函数在点处的切线不能平行. 17分
19.（1）解：设“甲在第轮活动中猜对成语”，“乙在第轮活动中猜对成语”，
“甲乙在第轮活动中都都猜对成语”，，则
5分
故. 7分
（2）由题意知，
由（1）知，
同理可得，
故的信息熵. 12分
（3）第二轮甲猜对的概率为，
第二轮乙猜对的概率为，
所以，，每一轮甲乙都猜错的概率为，
因此， 15分
则，①
所以，②
①-②得，
所以. 17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
A
B
B
D
C
题号
9
10
11
答案
BD
ABD
ACD
0
单调递减
极小值
单调递增