2024年河北省张家口市中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年河北省张家口市中考一模数学试题（含解析），共27页。

注意事项：1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上．
3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．矩形木框在阳光照射下，在地面上的影子不可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知某一元二次方程的两根分别为，则这个方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )
A．B．C．D．
4．某中学积极响应党的号召，大力开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动小明同学在某学期德智体美劳的评价得分如图所示，则小明同学五项评价的平均得分为（ ）
A．7分B．8分C．9分D．10分
5．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）

A．3个B．4个C．5个D．6个
6．图为函数，，，在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是的图象的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
7．如图，点在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和徍琛的做法．下列说法不正确的是（ ）
A．天翼的做法证明过程没有问题B．徍琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题D．徍琛的做法添加的条件有问题
8．如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形纸片的边数是（ ）

A．4B．5C．6D．7
9．在如图所示的网格中，以点为原点，若、所在直线分别代表轴、轴，则与点在同一反比例函数图象上的是（ ）
A．点B．点C．点D．点
10．如图，是的角平分线，的交点，请用表示．
下列说法正确的是（ ）
A．该同学的做法只用了一次“三角形内角和定理”
B．该结论只适用于锐角三角形
C．若把“是的角平分线，的交点”替换为“是的外心”，该结论不变
D．若把“是的角平分线，的交点”替换为“是的内心”，该结论不变
11．如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（ ）
A．90B．108C．120D．无法判断
12．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离（ ）
A．3.2B．0.32C．2.5D．1.6
13．如图，已知点是边的三等分点，的面积为27，现从边上取一点，沿平行的方向剪下一个面积为10的三角形，则点在（ ）
A．线段上B．线段上，且靠近点P
C．线段上，且靠近点QD．线段上
14．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点与尺下沿的左端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为．若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是（结果精确到，参考数据，，）．（ ）

A．B．C．D．
15．如图是，，…，十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等份．连接和，并延长交于一点，连接和并延长交于一点，则夹角各是多少（ ）
A．和B．和C．和D．和
16．设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为D．当时，函数的最小值为
二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17和18题各3分，19小题有2个空，每空2分）
17．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是 ．
18．如图，正六边形的边长为1，分别以其对角线，为边作正方形，则两个阴影部分的面积差的值为
19．如图①是小明制作的一副弓箭，，分别是弓臂与弓弦的中点，弓弦，沿方向拉弓的过程中，假设弓臂始终保持圆弧形，弓弦长度不变．如图②，当弓箭从自然状态的点拉到点时，有，．
（1）图②中，弓臂两端，之间的距离是 ；
（2）如图③，将弓箭继续拉到点，使弓臂为半圆，则的值为
三、解答题（本大题共7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．如图，在中，，垂足为，，，．
(1)求和的长；
(2)求的值．
21．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
22．2023年春节期间调研小组随机调查了某新开放景区的部分参观群众，为本景区打分（打分按从高到低分为5个分值：5分，4分，3分，2分，1分），并将调查结果绘制成不完整的条形统计图（如图1）和扇形统计图（如图2）．根据以上信息，回答下列问题：

(1)本次共调查了 名参观群众，并补全条形统计图，分值的众数是 ，中位数是 ；
(2)为了进一步研究，调研小组又增加调查了5位参观者，若他们的打分分别为：5，4，4，5，3，则增加调查人数前后，本次活动打分分值的中位数与原来是否相同？并简要说明理由；
(3)若从打分较低的四人中随机抽取2名做情况反馈，发现抽取的2人恰为一成人一儿童的概率为，直接写出这4人中成人与儿童的可能分布情况．
23．如图，点在数轴上对应的数是，以原点为圆心，的长为半径作优弧，使点在原点的左上方，且，点为的中点，点在数轴上对应的数为4．
(1)求扇形的面积；
(2)点是优弧上任意一点，则求的最大值；
24．如图，在中，点，点，双曲线与边交于，两点，点的纵坐标大于点的纵坐标．
(1)当点的坐标为时，求的值；
(2)若，求点的坐标；
(3)连接，记的面积为，若，求的取值范围．
25．如图，在中，，，．动点以每秒2个单位的速度从点出发，沿着的方向运动，当点到达点时，运动停止．点是点关于点的对称点，过点作于点，以，为邻边作平行四边形，设点的运动时间为秒．
(1)求的长；
(2)当时，求证：；
(3)是否存在这样的值，使得平行四边形为菱形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
26．某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的，的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象
(1)若输入，，得到如图①所示的图象，求顶点的坐标及抛物线与轴的交点，的坐标
(2)已知点，．
①若输入，的值后，得到如图②的图象恰好经过，两点，求出，的值；
②淇淇输入，嘉嘉输入，若得到二次函数的图象与线段有公共点，求淇淇输入的取值范围．
参考答案与解析
1．C
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．
【解答】解：矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段，
即相对的边平行或重合，故C不可能，即不会是梯形．故选：C．
【点拨】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，平行物体的影子仍旧平行或重合．
2．A
【分析】分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定义进行判断即可得到答案.
【解答】解：A、，解得：，，符合题意；
B、，解得：，，不符合题意；
C、，解得：，，不符合题意；
D、，解得：，，不符合题意；
故选：A.
【点拨】本题考查了一元二次方程的根，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法.
3．D
【分析】根据俯角的定义可直接得出结果．
【解答】解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，
∴∠DAC为对应的俯角，
故选D．
【点拨】题目主要考查对俯角定义的理解，深刻理解俯角的定义是解题关键．
4．C
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．再根据算术平均数的定义求解即可．
【解答】解：小明同学五项评价的平均得分为
（分），
故选：C．
【点拨】本题主要考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
5．D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【解答】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【点拨】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
6．C
【分析】配方法化抛物线解析式为顶点，确定对称轴的位置，判断即可，本题考查了抛物线的对称轴，平移思想，熟练掌握对称轴计算，平移思想是解题的关键．
【解答】根据题意，得，，，，
图象的对称轴是，即图象中第②个；
图象的对称轴是，即图象中第①个；
图象的对称轴是，即图象中第③个；
图象的对称轴是，即图象中第④个.
故选C．
7．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．
【解答】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，
徍琛的做法添加的条件有问题，应为，故B选项符合题意，
故选：B．
8．C
【分析】先根据正多边形的定义把图形补充完整，再求解．
【解答】解：根据正多边形的定义把多边形补充完整如下图；

有图形得：这个正多边形纸片是六边形，
故选：C．
【点拨】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的定义是解题的关键．
9．C
【分析】由点在反比例函数图象上可求出的值，再求出点、、、的横纵坐标的积，比较后即可得出结论．
【解答】解：反比例函数图象经过点，
．
点的坐标为，，
点不在反比例函数图象上；
点的坐标为，，
点不在反比例函数图象上；
点的坐标为，，
点在反比例函数图象上；
点的坐标为，，
点不在反比例函数图象上；
故选：C．
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
10．D
【分析】根据角平分线的定义，三角形的内角和定理以及三角形的外心、内心的定义，逐项分析判定即可求解．
【解答】解：A. 该同学的做法用了两次“三角形内角和定理” ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 该结论适用于所有三角形，故该选项不正确，不符合题意；
C. 若把“是的角平分线，的交点”替换为“是的内心”，该结论不变，故C错误，D正确，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的外心、内心的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查了弧长的公式的应用，根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得．
【解答】，
解得．
故选：B．
12．A
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题．
以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时x的值的即可得出答案．
【解答】解：如图所示，以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
方法一：，
点B与点D关于对称轴对称，
；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点B代入得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得（舍）或，
所以茶几到灯柱的距离为3.2米，
故选：A．
13．C
【分析】取的中点，作，与交于点，过点作，与交于点，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得与的面积，与7比较便可得出结论．
【解答】解：取的中点，作，与交于点，过点作，与交于点，
，，
，，
即，
，，
现从边一点，沿平行的方向剪下一个面积为7的三角形，
点在线段上，且靠近点，
故选：C．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积，关键是作辅助线求得过中点作的平行线所得的面积．
14．C
【分析】本题考查了解直角三角形，作于，作于，解得到，再证明，即可解求出的长，即可得到答案．
【解答】解：作于，作于，如图：

依题意得：，
在中，，，，
，
，，且，
，
在中，，，，
，即：，
解得：，
点C在尺上的读数约为，
故选：C．
15．D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理．先利用圆周角定理分别求出，，，度数，再利用三角形外角性质和三角形内角和定理分别求出和即可．
【解答】解：如图所示，设直线与直线交于P，直线和直线交于一点Q，
连，
由题意得，
所对圆周角的度数为：，
所对圆周角的度数为：，
∴，
则，
所对圆周角的度数为：，
所对圆周角的度数为：，
∴，
故选：D．
16．A
【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．
【解答】解：令，则，
解得：，，
∴抛物线对称轴为直线
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为．
故A正确，B错误；
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为，
故C、D错误，
故选：A．
【点拨】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
17．
【分析】先把x=2代入原方程即可解出m的值，再用两根之和求解即可
【解答】把x=2代入原方程得22＋5×2－m=0，解得m=14，
∴原方程为
解得x1=-7,x2=2,
故另一个解为.
故答案为：．
【点拨】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是先求出原方程，再进行求解．
18．1
【分析】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，具体的规划是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
求出两个正方形的面积，可得结论．
【解答】解：正六边形的边长为1，
，，
为边的正方形的面积为4，为边的正方形的面积为3，
空白，空白，
两个阴影部分的面积差，
故答案为：1．
19．
【分析】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、弧长公式等知识，
（1）连接，交于点，根据垂径定理可得，，，再根据，即可进行解答；
（2）连接交于点，先求出的长度，再求出所在圆的半径，根据勾股定理求出的长度，最后根据线段之间的和差关系．
【解答】解：连接，交于点，
，
∵点是弓臂的中点，点是所在圆的圆心，
∴，，，
在中，，
∴．
（2）连接交于点，
由（1）可得：，
设所在圆的半径为r，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
20．(1)；；
(2)．
【分析】（）运用正弦函数、余弦函数解直角三角形即可；
（）先求出的长，然后由勾股定理求出的长，再根据正弦的定义即可解答；
本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦、余弦的定义以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
【解答】（1）∵，
∴，
在中，，，
，；
（2）∵，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴．
21．(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【解答】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
22．(1)30，见解析，5，4.5
(2)不相同，增加人数后，5分：17人，4分：13人，3分：3人，2分：1人，1分：1人，中位数是4分，发生了改变
(3)3名成人1名儿童或3名儿童1名成人
【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，用4分的人数除以4分在扇形统计图中的占比即可求出参与调查的人数，用总人数减去1-4分的人数即可得5分的人数，根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）计算增加人数后的中位数，对比即可；
（3）根据题意可理解为当抽取的第一个人是成人（或儿童），抽取的第二个人一定是儿童（或成人），即可求得．
【解答】（1）（人）
即本次共调查了30名参观群众；
5分的人数有（人）
即条形统计图为：

根据统计图可知，人数最多的是5分的，故众数为：5
根据统计图可知，5分的有15人，1-4分的合计也是15人，故中位数为
故答案为：30，5，4.5
（2）不相同；
增加人数后，5分有17人，4分有13人，3分有3人，2分有1人，1分有1人，中位数是4分，发生了改变；
（3）当抽取的第一个人是成人（或儿童），抽取的第二个人一定是儿童（或成人）
故分布情况为3名成人1名儿童或3名儿童1名成人．
【点拨】本题考查了用样本估计总体，众数，中位数，条形统计图，扇形统计图等，关联条形统计图和扇形统计图的信息是解题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查特殊角三角函数值，扇形面积公式，圆的切线：
（1）根据得出，进而得出优弧所对的圆心角，再利用扇形面积公式求解；
（2）当与优弧相切时，最大，根据的正弦值确定度数．
【解答】（1）解：点在数轴上对应的数是，原点为圆心，
，
，
优弧所对的圆心角为：，
．
（2）解：如图，当与优弧相切时，最大，
，
．
24．(1)
(2)点的坐标为
(3)
【分析】本题主要考查反比例函数及其应用，一次函数及其应用，求解一次函数关系是解题的关键．
（1）根据一次函数图象上点的坐标的特征求解点坐标，再代入反比例函数关系式计算可求解值；
（2）由值可得反比例函数解析式，将两解析式联立解析式求解交点坐标，即可求解；
（3）设点坐标为，则，根据三角形的面积公式可求得的取值范围，即可求得的取值范围，再利用反比例函数图象上点的特征可求解．
【解答】（1）解：设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
把代入中，解得，
点的坐标为，
双曲线过点，
；
（2）解：当时，，
，
解得，
直线与双曲线的交点坐标为，，
交点的纵坐标大于交点的纵坐标，
点坐标为，
（3）解：设点坐标为，则，
，
，
，
，
即，
，
，
当时，
．
25．(1)；
(2)证明见解析
(3)存在；当或时，四边形为菱形
【分析】（1）由锐角三角函数的定义即可得出答案；
（2）当时，点在线段上，求出、即可得出结果；
（3）①当点在边上时，证明，得出，求出，，当时，即，解得；
②当点在边上时，证明，得出，求出，当时，即，解得．
【解答】（1）解：在中，，，，
，
，
解得：；
（2）解：当时，，
，
、关于点对称，
，
；
四边形为平行四边形，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
在中，由勾股定理得：，
①当点在边上时，如图1所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，即，
解得：；
②当点在边上时，如图2所示：
，
，
，
，
，即，
，
当时，即：，
解得：，
综上所述，当或时，四边形为菱形；
【点拨】本题是四边形综合题，考查了锐角三角函数的定义、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、分类讨论等知识，综合性强，注意分类讨论是解题的关键．
26．(1)顶点的坐标为，，
(2)①；②或
【分析】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）将，，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）①待定系数法进行求解即可；②将代入解析式，得到抛物线必过点，求出和的函数值，根据拋物线与线段有公共点，列出不等式进行求解即可．
【解答】（1）
解：当，时，，
∴顶点的坐标为：；
当时，，即，
解得：，
∴，；
（2）解：①抛物线恰好经过P，Q两点，
则：，
解得：；
②当时，，
当时，，
∴抛物线过，
当时，，
当点在点上方，或与点重合时，拋物线与线段有公共点，
即：，解得：；
当时，，
当点在点上方，或与点重合时，拋物线与线段有公共点，
即：，；
综上：或．
天翼的做法：添加条件．
证明：，，．（两组角对应相等的两个三角形相似）
徍琛的做法：添加条件．
证明：，，
．（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）
某同学的做法如下：
是的角平分线，的交点，
，，
．
又，
，
在中，．