江苏省苏州市苏州工业园区苏州工业园区星港学校2023-2024学年九年级下册3月月考数学试题（含解析）

这是一份江苏省苏州市苏州工业园区苏州工业园区星港学校2023-2024学年九年级下册3月月考数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学学科
一、单选题（每题3分，共24分）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．3D．-3
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2
4．已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．54，55B．54，54C．55，54D．52，55
5．如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm2
6．在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（ ）
A．2B．4C．5D．6
7．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）

A．B．C．D．
8．如图，已知上的两条弦和互相垂直于点C，点D在弦上，点E在弦上，且，连接和，点P为中点，点Q为中点，射线与线段交于点N，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．4
二、填空题（每题3分，共24分）
9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．今年“五一”节日期间，我市四个旅游景区共接待游客约303000多人次，这个数据用科学记数法可记为 ．
11．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
12．如图，、是的半径，点C在上，，，则 ．
13．在△ABC中，若，则的度数是 ．
14．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ．
15．如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则= ．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，点M 为边上一点，以点M为圆心，为半径作， 交x轴于点 D， 连接交于点E， 连接， 点 F 为中点，则的最小值为 ．
三、解答题（共82分）
17．计算：．
18．（1）解方程：
（2）解不等式组：
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，已知，，．
求证：（1）；
（2）．
21．为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为、、、，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）本次问卷共随机调查了 名学生，扇形统计图中选项对应的圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1200名学生，试估计该校选择“不了解”的学生有多少人？
22．一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母、、，搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．
（1）第一次摸到字母的概率为 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“”的概率．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点．

(1)求这个一次函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集；
(3)若动点是x轴上的点，若的面积等于6，则点P的横坐标为_____．
24．在学习了测高相关知识后，小明和小丽想利用所学知识测量学校一棵大树的高度，如图所示，大树的影子落在 处，小明站在影子顶端C 处，此时小丽测量小明影子长度，小丽将测倾器插在 D处测得点A 的仰角( ．已知小明的身高，测倾器的高度， 点 B、C、D在同一直线上，， 求大树的高度． (结果精确到．参考数据： )
25．如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E．
(1)求证：；
(2)求证：．
26．在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S．
①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
27．抛物线交轴于，两点（在的左边）．
（1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上．
①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标；
②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标；
（2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据相反数的定义即可解答．
【解答】解：的相反数为．
故选：A．
【点拨】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键．
2．D
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，逐一判断选项，即可．
【解答】解：A. ，不是同类项，不能合并，故该选选错误，
B. ，故该选项错误，
C. ，故该选项错误，
D. ，故该选项正确，
故选D．
【点拨】本题主要考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，是解题的关键．
3．D
【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．
【解答】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．
4．A
【分析】根据中位数和众数的定义，直接求解即可．
【解答】解：58，53，55，52，54，51，55从小到大排序后：51，52，53，54，55，55，58，
中间一个数为54，即中位数为54，
55出现次数最多，即众数为55，
故选A．
【点拨】本题主要考查中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义，是解题的关键．
5．B
【分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）．
故选：B．
【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
6．A
【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】∵在△ABC中，AB=1，BC=，
∴﹣1＜AC＜+1，
∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，
∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形三边关系以及无理数的估算，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答．
7．A
【分析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
【解答】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．

【点拨】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．
8．D
【分析】连接，，，根据圆周角定理得到为直径，根据三角形中位线性质得到，，，，推出为等腰直角三角形，过点Q作交于M，推出为等腰直角三角形，利用解直角三角形得到，，即可解题．
【解答】解：连接，，，
，
，
为直径，
P为的中点，Q为的中点，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点Q作交于M，
则为等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了圆周角定理、三角形的中位线性质、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形，熟练掌握相关知识并灵活运用，即可解题．
9．
【分析】由分式有意义的条件可得答案．
【解答】解：由题意得：

故答案为：
【点拨】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
10．3.03×105
【解答】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于303000有6位整数，所以可以确定n=6-1=5．
解答：303000=3.03×105，
故答案为3.03×105．
点拨：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n的值是解题的关键．
11．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，
∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，
故答案为．
【点拨】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
12．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，先由圆周角定理得到，再由三角形内角和定理得到，据此代值计算即可．
【解答】解：如图所示，设交于H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．##105度
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．
先利用非负数的性质得到，即，则根据特殊角的三角函数值得到的度数，然后根据三角形内角和定理计算出的度数．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．2028
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028．
【点拨】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
15．78
【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，计算即可求解．
【解答】如图，连接BO并延长，
∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90-39=51，
∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，
∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，
∴∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，
而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，
∴51-∠A+2∠A+2∠C+51-∠C+39=180，
∴∠A+∠C=39，
∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78，
故答案为：78．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
16．##
【分析】如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，由矩形的性质得到，进而得到，，证明，则，再证明为的中位线，得到，则点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，故当三点共线且点F在上时，有最小值，利用勾股定理得到，则．
【解答】解；如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，
∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，
∴当三点共线且点F在上时，有最小值，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，矩形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理等等，正确作出辅助线推出点F的运动轨迹是解题的关键．
17．
【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是根据二次根式的性质，特殊角三角函数值，负整数指数幂及绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可．
【解答】解：
．
18．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组：
（1）利用公式法解方程即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）∵
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为
19．，
【分析】本题考查分式的化简求值．根据分式的混合运算法则将分式化简后，再代入求值即可．
【解答】
，
当时，原式．
20．（1）证明见解答；（2）证明见解析．
【分析】（1）先由平行线的性质得∠B=∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF，再由平行线的判定可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴∠AFE=∠DEF，
∴AF∥DE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规范性．
21．（1）60，108；（2）图见解析；（3）该校选择“不了解”的学生有60人．
【分析】（1）先根据B选项的条形统计图和扇形统计图的信息可得调查的总人数，再求出C选项学生人数的占比，然后乘以即可得；
（2）先根据（1）的结论，求出A选项学生的人数，再补全条形统计图即可；
（3）先求出选择“不了解”的学生的占比，再乘以1200即可得．
【解答】（1）本次问卷共随机调查的学生人数为（名）
C选项学生人数的占比为
则
故答案为：60，108；
（2）A选项学生的人数为（名）
因此补全条形统计图如下所示：
（3）选择“不了解”的学生的占比为
则（人）
答：该校选择“不了解”的学生有60人．
【点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，掌握理解统计调查的相关知识是解题关键．
22．（1）；（2）
【分析】（1）用标有字母A的情况数除以总的情况数解答即可；
（2）先画出树状图求出所有等可能的情况数，然后找出两个方格中的字母从左往右恰好组成“”的情况数，再根据概率公式解答．
【解答】解：（1）第一次摸到字母的概率=．
故答案为：；
（2）所有可能的情况如图所示：
由图可知：共有9种等可能的情况，其中两个方格中的字母从左往右恰好组成“”的情况数只有1种，
所以两个方格中的字母从左往右恰好组成“”的概率=．
【点拨】本题主要考查了求两次事件的概率，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握求解的方法是解题的关键．
23．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：
（1）先把A、B坐标代入反比例函数解析式求出A、B坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案；
（3）设直线与x轴交于C，，则，则，再根据建立方程求解即可．
【解答】（1）解：把代入中得：，
∴，
把代入中得：，解得，
∴，
把，代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；
（3）解：设直线与x轴交于C，，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴点P的横坐标为或，
故答案为：或．

24．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点F作于H，交于G，证明四边形和四边形都是矩形，得到，，，由太阳光是平行光线，得到，进而推出，设，则，解得到，解方程即可得到答案．
【解答】解：如图所示，过点F作于H，交于G，
∵，，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵太阳光是平行光线，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴大树的高度约为．
25．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质：
（1）根据角平分线的定义，得出，进而得出，即可求证；
（2）通过证明，推出，进而得出，根据，得出，则，即可求证．
【解答】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴．
26．（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①， t的取值范围是；②．
【分析】(I)过点B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”性质得到，再由∠BOH=45°得到△OBH为等腰直角三角形，进而，由此求得B点坐标；
(II)①由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解；
②画出不同情况下重叠部分的图形，分和和两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解．
【解答】解：(I)如图，过点B作，垂足为H．
由点，得．
∵，
∴．
又∠BOH=45°，
∴△OBH为等腰直角三角形，
∴．
∴点B的坐标为．
(II)①由点，得．由平移知，四边形是矩形，得．
∴，．
∵，，
∴．
∴
∴．
∴．
∴．
∴．
整理后得到：．
当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时，
当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示：
此时，
∴t的取值范围是，
故答案为：，其中：；
②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示：
此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴重叠部分面积，
∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下，
故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，
故将代入，
得到最大值，
将代入，
得到最小值，
当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示：
此时，
和均为等腰直角三角形，
∴，
，
∴重叠部分面积，
∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下，
故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值，
将代入，
得到最小值，
∴的最小值为，最大值为，
故答案为：．
当时，由①知
∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为
∴的最小值为，最大值为，
综上，S的取值范围为，
∴S的取值范围为．
【点拨】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论．
27．（1）①，；②点的坐标是．（2）见解析
【分析】（1）①根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出，点E在抛物线上，求出纵坐标为，再根据平行四边形的性质，求出；
②连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为，设点坐标为，点坐标为，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到，再由则，列出方程求解；
（2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点坐标为，点坐标为，再求出结果．
【解答】（1）解：①∵抛物线交轴于，两点（在的左边），
∴令=0，解得：，，
∴，
∵点E在抛物线上，点的横坐标是，
∴，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴
∴；
②设点坐标为，点坐标为．
∵四边形是平行四边形，
∴将沿平移可与重合，点坐标为．
∵点在抛物线上，∴．
解得，，所以．
连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为．
则，
∵，，
∴．
∴，解得，（不合题意，舍去）．
∴点的坐标是．

（2）方法一：证明：依题意，得，，∴
设直线解析式为，则，解得．
∴直线的解析式为．
同理，直线的解析式为．
设直线的解析式为．
联立，消去得．
∵直线与抛物线只有一个公共点，
∴，．
联立，且，解得，，
同理，得．
∵，两点关于轴对称，∴．
∴．
∴的值为．
方法二：证明：同方法一得直线的解析式为．
设直线的解析式为，与抛物线唯一公共点为．
联立，消去得，∴．
解得．∴直线的解析式为．
联立，且，解得．
∴点坐标为．同理，点坐标为．
∵，∴．
∴的值为．
【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题．