山东省淄博市沂源县实验中学2023-2024学年八年级下册期中模拟数学试题（含解析）

这是一份山东省淄博市沂源县实验中学2023-2024学年八年级下册期中模拟数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了二次根式有意义，则m的取值为，与是同类二次根式的是，下列各式中正确的是，计算=，一元二次方程的解是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．二次根式有意义，则m的取值为（ ）
A． B． C． D．m取任意实数
2．与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各式中正确的是( )
A． B．=±3 C． D．
4．如果是二次根式，那么x应满足的条件是( )
A．x≠8B．x＜8C．x≤8D．x＞0且x≠8
5．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．给出以下方程的解题过程，其中正确的有（ ）
①解方程，两边同时开方，得，移项得，；②解方程，两边同时除以得，所以原方程的根为；③解方程，由题得，，解得，；④方程的解是，．
A．0个B．2个C．3个D．4个
7．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2=100B．100（1﹣x）2=80C．80（1+2x）=100D．80（1+x2）=100
8．计算=( )
A．B．C．D．
9．一元二次方程的解是（ ）
A．，B．，C．D．，
10．如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）
A．B．C．D．
11．若，则b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，化简二次根式的正确结果为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．计算结果是 ．
14．方程的解为 ．
15．若矩形对角线长为，对角线与一边夹角为，则该矩形的周长是
16．观察下列等式：
第1个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
按上述规律，计算 ．
17．如图，点G是边长为4的正方形ABCD的对角线上一动点，点E在边CD上，CE=1，则DG+GE的最小值为 ．
18．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．

三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
20．解方程：
(1)
(2)．
(3)
(4)
21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求出此时方程的两个根．
22．观察下列等式：回答问题：
①；
②；
③，…
(1)根据上面三个等式的信息，猜想 ；
(2)请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；
(3)验证你的结果．
23．如图所示，，．
(1)求证：；
(2)设E是延长线上的动点，当点E移动到什么位置时，四边形为菱形？说明你的理由．
24．澄城是渭北地区规模最大、品种最全、果质最好的樱桃产区．色泽鲜美、味美形娇的澄城樱桃，备受消费者青睐．某水果商以每斤10元的价格从该县批发樱桃，再按每斤20元价格到市区销售，平均每天可售出100斤，经过调查发现，如果每斤樱桃的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加20斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
(1)若将樱桃每斤的价格降低x元，则每天的销售量是______斤（用含x的代数式表示）；
(2)水果商销售樱桃每天盈利1120元，每斤樱桃的售价应降至每斤多少元？（其他成本忽略不计）
25．如图①，正方形中，点E是对角线上任意一点，连接、．
(1)求证：；
(2)当时，求四边形的面积；
(3)如图②，过点E作交于点F，当时，若，求的长．
26．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE、CE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长．
27．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，AE=CF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）求证：△BOF≌△BCF；
（3）若BC=2，求AB的长．
28．如图，，E、F分别是直线、上一点，连接，、的平分线交于点G，、的平分线交于点H，连接交于点K．如果过点G作，分别交、于点M、N，过点H作，分别交、于点P、Q，得到四边形．求证：四边形是菱形．
29．以的各边，在边的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形，，，试探究：
如图中四边形是什么四边形？并说明理由．
当满足什么条件时，四边形是矩形？
当满足什么条件时，四边形是正方形？
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题关键．根据题意得，解不等式即可求解．
【解答】解：二次根式有意义，
，
，
故选：C．
2．B
【分析】根据同类二次根式的定义进行解答．
【解答】解：的被开方数是2．
A、，是有理数，不是二次根式，故本选项错误；
B、，被开方数是2，所以与是同类二次根式，故本选项正确；
C、=2，2是有理数，不是二次根式，故本选项错误；
D、被开方数是6，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
3．D
【分析】A根据二次根式的性质判断；
根据表示9的算术平方根，求出即可判断B答案；
=2≠4，即可判断C；
根据二次根式的加减法则：把同类二次根式的系数相加，根式不变，求出即可判断D．
【解答】=7≠-7，故A错误；
=3≠±3，故B错误；
=2≠4，故C错误；
，故D正确．
故选D．
【点拨】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减法等知识点的应用，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
4．C
【解答】根据二次根式的性质,被开方数大于等于0可得:,解得:,故选C.
5．C
【分析】通过平行四边形性质，可计算得；再结合AB⊥AC推导得为直角三角形，通过勾股定理计算得，再结合平行四边形性质，计算得到答案．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴∠BAO＝90°，OA＝3
∴，
∴BD＝2BO＝10，
故选：C．
【点拨】此题考查了平行四边形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形和勾股定理的性质．
6．A
【分析】直接开平方法必须具备两个条件：
（1）方程的左边是一个完全平方式；
（2）右边是非负数，将右边看出一个非负已知数，利用数的开方解答.
【解答】解：①应先将系数化为1再开方，所以①错；
②在不知道因式是否为0的情况下，将其作为除数来化简方程，容易造成丢根，所以②错；
③方程右边不为0，不能用因式分解法解，所以③错；
④当n为负数时，不能直接开平方，所以④错.
故选：A.
【点拨】本题主要考查解一元二次方程，避免一些常见错误是解题的关键.
7．A
【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【解答】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即： 80（1+x）2=100，
故选A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
8．C
【分析】根据二次根式的混合运算和根式的性质即可解题.
【解答】解： ,
故选C.
【点拨】本题考查了根式的运算,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键.
9．B
【分析】利用提公因式分进行因式分解，再解方程，即可得到答案．
【解答】解：x（5x-2）=0，
x=0或5x-2=0，
所以或．
故选：B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
10．D
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，
∴．
∴．
又∵，
∴BC·AE=24，
即．
故选D．
点拨：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
11．B
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可得，即可得到．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
12．D
【分析】由，可知和同号，由，可得，，然后根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：，
和同号，
∵，
∴，，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．解题的关键在于确定的正负．
13．
【分析】先根据二次根式的乘法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．
【分析】根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”进行求解．
【解答】解：由，得
或，
解得．
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
15．
【分析】只要证明△AOB是等边三角形，推出OA＝OB＝AB＝6cm，求出AD即可求得周长．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝10cm，AC＝2AO＝2OC，BD＝2OB＝2OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠CAD＝∠BDA＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝6cm，
∴AD＝BC＝6.
∴AC＝2OA＝20cm，
∴该矩形的周长是2（AB+AD）＝2×（6+6）＝.
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形性质，等边三角形性质和判定，主要考查学生运用定理进行计算和推理的能力．
16．##
【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
第个等式：，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
17．
【分析】在线段BC上取一点，使得E'C=EC=1，连接DE'交AC于点G'、连接G'E，由四边形ABCD是正方形，E'C=EC=1，得E'、E关于直线AC对称，从而有DE'的长即为DG+GE的最小值，于是利用勾股定理即可求解．
【解答】在线段BC上取一点，使得E'C=EC=1，连接DE'交AC于点G'、连接G'E，
∵四边形ABCD是正方形，E'C=EC=1，
∴E'、E关于直线AC对称，
∴DE'的长即为DG+GE的最小值，
∵CD=4，CE'=1，
∴在Rt△DCE'中，DE'=，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了最短距离，勾股定理，轴对称，能根据轴对称作出相应辅助线利用勾股定理求解是解题的关键．
18．135
【解答】试题分析：如图，连接EE′，
∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，
∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1．
∴EE′=2，∠BE′E=45°．
∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9．∴E′E2+E′C2=EC2．
∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°．∴∠BE′C=135°．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键；
（1）先根据二次根式的性质化简，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可；
（3）利用平方差公式计算即可；
（4）先根据二次根式的性质化简，再根据乘法分配律展开计算即可．
【解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
20．(1)
(2)，；
(3)，；
(4)无解
【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）利用直接开方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）利用公式法解方程即可．
【解答】（1）解：，
，
，
解得：
（2）解：，
或，
解得：，；
（3）解：，
，
，
，
或，
解得：，；
（4）解：
，，，
，
方程无解．
21．（1）m＜3；（2）x1＝0，x2＝4．
【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】（1）由题意得
整理得
解得；
（2）当时，方程变形为
因式分解，得
即或
故．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解法，主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟记各解法是解题关键．
22．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质与化简，分式的化简，观察等式发现一般规律是解题关键．
（1）根据已知等式完成猜想即可；
（2）根据已知等式发现规律即可
（3）先通分，再结合完全平方公式化简验证即可．
【解答】（1）解：根据上面三个等式的信息，猜想；
故答案为：；
（2）解：由已知等式可知，；
（3）解：
．
23．(1)证明见解析
(2)当点E移动到的位置时，四边形为菱形，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握四条边相等的四边形是菱形是解题关键．
（1）利用“”证明全等即可；
（2）由（1）可知，，得到，进而证明，得到，即可证明．
【解答】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：当点E移动到的位置时，四边形为菱形，理由如下：
由（1）可知，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为菱形．
24．(1)（100+20x）
(2)17
【分析】（1）利用每天的销售量=100+20×降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天的销售量；
（2）根据水果商销售樱桃每天盈利的盈利=每斤的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合为了尽快减少库存，即可确定x的值，将其代入（20-x）中即可求出每斤樱桃的售价．
【解答】（1）解：∵按每斤20元价格到市区销售，平均每天可售出100斤，如果每斤樱桃的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加20斤，
∴将樱桃每斤的价格降低x元，则每天的销售量为（100+20x）斤．
故答案为：（100+20x）．
（2）解∶ 依题意得：（20-x-10）（100+20x）=1120，
整理得：，
解得：，，
又∵为了尽快减少库存，
∴x=3，
∴20-x=17．
答：每斤樱桃的售价应降至17元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每天的销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．(1)证明见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质，易证，即可得出结论；
（2）连接，交于点，根据正方形的性质，得到，再根据四边形的面积，即可得到答案；
（3）过点作于点，根据四边形内角和与等角对等边的性质，证明是等边三角形，设，则，再结合正方形的性质，得到，进而求出，即可得到的长．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，连接，交于点，
四边形是正方形，，
，，，，
，
，
四边形的面积
（3）解：如图，过点作于点，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
设，则，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是解题关键．
26．(1)见解析
(2)
【分析】(1 )先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC = 90°，即可得出结论；
(2)先证△BCD是等边三角形，得BD= BC=2，再由勾股定理得OC=，则AC= 2OC=2，然后由矩形的性质得CE= OD=1，∠OCE= 90°，最后由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝2，
∴OD＝OB＝1，
∴OC＝=，
∴AC＝2OC＝，由（1）得：四边形OCED为矩形，
∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
AE==，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）见解析；（3）6
【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，可以用矩形的性质即可求解；
（2）连接OB，知道四边形ABCD是矩形，可以得到，即可求出△BOF≌△BCF；
（3）根据勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO，
在△AOE和△COF中，
∴ ，
∴OE=OF；
（2）证明：如图，连接OB，
∵
∴，且
∴.
∵四边形ABCD是矩形，

又
∴
∴.
∵
∴
又
∴
（3）解：∵，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴，
又∠BEF=2∠BAC，
∴∠BEF=2∠OBE，
而中，，
∴∠BAC=30°，
∵ ，
∴，
∴
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形的性质，作辅助线和运用勾股定理是解题的关键．
28．见解析
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握特殊的四边形的判定和性质是解题关键．根据平行线的性质和角平分线的定义，证明四边形是矩形，进而证明四边形是菱形，同理可证，四边形、、是菱形，得到，即可证明结论．
【解答】解：，
，，
、的平分线交于点G，、的平分线交于点H，
，，，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
∴，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
同理可证，四边形、、是菱形，
，
，
，，
四边形是菱形．
29．四边形是平行四边形，理由见解析；当时，平行四边形是矩形；当且时，四边形是正方形．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的对应边DE=AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG=180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；
（2）根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°．然后由周角的定义求得∠BAC=135°；
（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG=90°，且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性质证得，AC=AB．
【解答】图中四边形是平行四边形．理由如下：
∵四边形、四边形、四边形都是正方形，
∴，，，．
∴（同为的余角）．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵是正方形的对角线，
∴．
∵，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等）．
当四边形是矩形时，．
则，
即当时，平行四边形是矩形；
当四边形是正方形时，，且．
由知，当时，．
∵四边形是正方形，
∴．
又∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∴当且时，四边形是正方形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定和正方形的判定与性质，熟练掌握这几点是解题的关键.