2024七年级数学下册第05讲二元一次方程组及其解法核心考点讲与练试题（附解析浙教版）

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第05讲二元一次方程（组）及其解法（核心考点讲与练）一．二元一次方程的定义（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．二．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．三．解二元一次方程二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．四．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．五．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．一．二元一次方程的定义（共2小题）1．（上城区期末）下列各式是二元一次方程的是（　　）A．2x2+y＝0 B． C．x﹣y D．【分析】根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可．【解答】解：A．该方程是二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即A选项不合题意；B．是分式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即B选项不合题意；C．不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即C选项不合题意；D．符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，即D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程的定义，解决本题的关键是注意二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．2．（文山市期末）若3x2m﹣3﹣y2n﹣1＝5是二元一次方程，则m＝　2　，n＝　1　．【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．【解答】解：∵3x2m﹣3﹣y2n﹣1＝5是二元一次方程，∴2m﹣3＝1，2n﹣1＝1，解得：m＝2，n＝1，故答案为：2；1【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．二．二元一次方程的解（共6小题）3．（嘉兴）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解　（答案不唯一）　．【分析】把y看做已知数求出x，确定出整数解即可．【解答】解：x+3y＝14，x＝14﹣3y，当y＝1时，x＝11，则方程的一组整数解为．故答案为：（答案不唯一）．【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．（上虞区期末）二元一次方程2x+y＝7中，若x＝2，则y的值是（　　）A．3 B．11 C．﹣3 D．﹣11【分析】根据方程的解的定义解决此题．【解答】解：当x＝2时，2×2+y＝7．∴y＝3．故选：A．【点评】本题主要考查方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解决本题的关键．5．（丽水月考）若是二元一次方程2x+y＝0的一个解（a≠0），则下列结论错误的是（　　）A．a，b异号 B．＝﹣2 C．2﹣6a﹣3b＝2 D．满足条件的数对（a，b）有无数对【分析】将代入二元一次方程2x+y＝0，得到关于ab的关系式，然后对每个选项做出判断即可得出符合题意的选项．【解答】解：将代入二元一次方程2x+y＝0得：2a+b＝0．∴b＝﹣2a．∵a≠0，∴a，b异号．∴A选项不符合题意；∵b＝﹣2a，∴．∴B选项符合题意；∵2﹣6a﹣3b＝2﹣3（2a+b）＝2﹣0＝2，∴C选项不符合题意；∵方程2a+b＝0有无数组解，∴满足条件的数对（a，b）有无数对．∴D选项不符合题意．∴错误的结论是：B．故选：B．【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，求代数式的值，有理数的混合运算．将方程的解代入原方程是解题的关键．6．（江北区期末）已知是方程3x+by＝8的解．当a＝2时，请分别求出b和9a2+6ab+b2+1的值．【分析】将a＝2代入方程即可求出b值，把代数式9a2+6ab+b2+1变形为（3a+b）2+1，然后计算．【解答】解：把x＝a，y＝1代入方程3x+by＝8，得3a+b＝8，∵a＝2，∴b＝2；∵3a+b＝8，∴9a2+6ab+b2+1＝（3a+b）2+1＝82+1＝65．【点评】本题主要考查公式法分解因式，把（3a+b）作为一个整体是解题的关键，而9a2+6ab+b2+1也需要运用公式变形以便计算．7．（长兴县月考）已知二元一次方程3x+2y＝19．（1）用关于x的代数式表示y；（2）写出此方程的正整数解．【分析】（1）先将含x的项移到等式右边，再两边都除以2即可得；（2）取x＝1，3，5分别得到y的值即可．【解答】解：（1）∵3x+2y＝19，∴2y＝19﹣3x，∴y＝，（2）当x＝1时，y＝8；当x＝3时，y＝5；当x＝5时，y＝2∴正整数解为，，．【点评】此题考查的是二元一次方程的解，能够让一个未知数表示另一个未知数是解决此题关键．8．（南浔区期末）定义一种新的运算：a☆b＝2a﹣b，例如：3☆（﹣1）＝2×3﹣（﹣1）＝7．若a☆b＝0，且关于x，y的二元一次方程（a+1）x﹣by﹣a+3＝0，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为　　．【分析】根据“a☆b＝2a﹣b，a☆b＝0”得到b＝2a，代入方程（a+1）x﹣by﹣a+3＝0得到（x﹣2y﹣1）a＝﹣3﹣x，根据“当a，b取不同值时，方程都有一个公共解”，得到关于x、y的方程组，解之即可．【解答】解：∵a☆b＝2a﹣b，a☆b＝0，∴2a﹣b＝0，即b＝2a，则方程（a+1）x﹣by﹣a+3＝0可转化为（a+1）x﹣2ay﹣a+3＝0，则（x﹣2y﹣1）a＝﹣3﹣x，∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，∴，解得，故答案为：．【点评】本题考查了新定义和二元一次方程的解，解题的关键是得到关于x、y的方程组．三．解二元一次方程（共3小题）9．（路北区期末）已知二元一次方程4x+5y＝5，用含x的代数式表示y，则可表示为（　　）A．y＝﹣x+1 B．y＝﹣x﹣1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1【分析】根据等式的性质，等式两边减去﹣4x，得5y＝5﹣4x．等式两边同时除以5，得y＝1﹣，即y＝，故选A．【解答】解：∵4x+5y＝5，∴5y＝5﹣4x．∴y＝．∴y＝1﹣．即y＝．故选：A．【点评】本题主要考查利用等式的性质对等式进行变形，熟练掌握等式的性质是解题的关键．10．（白银期末）已知2x﹣3y＝1，用含x的代数式表示y，则y＝　x　．【分析】首先移项、然后系数化1，继而可求得答案．【解答】解：∵2x﹣3y＝1，∴3y＝2x﹣1，解得：y＝x﹣．故答案为：x﹣．【点评】此题考查了二元一次方程的知识．此题比较简单，注意掌握解方程的步骤．11．（宁波期末）已知等式：①＝；②2x＝5y﹣x；③3x﹣5y＝0；④＝，其中可以通过适当变形得到3x＝5y的等式是　②③④　．（填序号）【分析】对每一个等式进行变形可得：①方程两边同时乘15，得5x＝3y；②移项、合并同类项得，3x＝5y；③移项，得3x＝5y；④先去分母，再移项、合并同类项得，3x＝5y．【解答】解：①＝，方程两边同时乘15，得5x＝3y，不符合题意；②2x＝5y﹣x，移项、合并同类项得，3x＝5y，符合题意；③3x﹣5y＝0，移项，得3x＝5y，符合题意；④＝，方程两边同时乘以3y，得3x﹣3y＝2y，移项、合并同类项得，3x＝5y，符合题意；故答案为：②③④．【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握等式的基本性质，灵活对等式进行变形是解题的关键．四．二元一次方程组的解（共8小题）12．（长兴县月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（　　）A． B． C． D．【分析】运用代入排除法进行选择或分别解每一个方程组求解．【解答】解：A、x＝2，y＝﹣1不是方程x+3y＝5的解，故该选项不合题意；B、x＝2，y＝﹣1不是方程组中每一个方程的解，故该选项不合题意．C、x＝2，y＝﹣1不是方程组中每一个方程的解，故该选项不合题意；D、x＝2，y＝﹣1适合方程组中的每一个方程，故本选项符合题意；故选：D．【点评】此题考查了方程组的解的定义，即适合方程组的每一个方程的解是方程组的解．13．（南浔区期末）已知是二元一次方程组的解，则a﹣3b的值为（　　）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【分析】把代入方程组得到关于a、b的方程组，再将两个方程相减即可得到a﹣3b的值．【解答】解：把代入方程组可得：，①﹣②得a﹣3b＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查二元一次方程组的解，能得出关于a、b的方程组是解题的关键．14．（上城区期末）已知方程组，下列说法正确的有（　　）个①a2+b2＝12；②（a﹣b）2＝8；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据完全平方公式进行变形，利用整体代入思想即可进行计算．【解答】解：因为方程组，①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣4＝12，故①正确；②（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝42﹣8＝8，故②正确；③+＝＝＝2，故③正确；④+＝＝＝6，故④正确．故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是利用完全平方公式进行变形．15．（嵊州市期末）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+y＝16的解，则k的值为　1　．【分析】将方程组中两个方程相加得，2x＝14k，相减得2y＝4k，再由2x+y＝16，即可求k．【解答】解：，①+②得，2x＝14k，①﹣②得，2y＝4k，∴y＝2k，∵2x+y＝16，∴16k＝16，∴k＝1，故答案为1．【点评】本题考查二元一次方程组的解，通过观察方程之间的关系，灵活处理方程组是解题的关键．16．（萧山区期末）若是方程组的解，则a与c的关系是　9a﹣4c＝23　．【分析】将x、y的值代入方程组得到，然后计算①×3﹣②×2即可得出答案．【解答】解：根据题意知，①×3﹣②×2，得：9a﹣4c＝23，故答案为：9a﹣4c＝23．【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．17．（饶平县校级期末）已知的解是，求的解为　　．【分析】把x＝3，y＝4代入第一个方程组，可得关于a1，b1方程组，两方程同时乘5可得出，再结合第二个方程组即可得出结论．【解答】解：把代入方程组得：，方程同时×5，得：，∴方程组的解为．故答案为：．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，发现两方程组之间互相联系是解题的关键．18．（下城区期中）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是　②③⑤　．①当a＝1时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，a＝20；③若z＝（x﹣20）y，则z存在最小值为﹣25；④若22a﹣3y＝27，则a＝2；⑤不存在一个实数a使得x＝y．【分析】先解方程组，用含a的代数式分别表示x，y，再根据条件分别代入求解．【解答】解：，①﹣②×3得：y＝15﹣a③，把③代入②得：x＝25﹣a．①a＝1时，x＝24，不符合题意．②x，y的值互为相反数时15﹣a+25﹣a＝0，解得a＝20，符合题意．③z＝（x﹣20）y＝（25﹣a﹣20）（15﹣a）＝a2﹣20a+75＝（a﹣10）2﹣25，当a＝10时z有最小值﹣25，符合题意．④若22a﹣3y＝27，则2a﹣3y＝7，即2a﹣3（15﹣a）＝7，解得a＝，不符题意．⑤解方程15﹣a＝25﹣a，无解，符合题意．故答案为：②③⑤．【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的计算方法．19．（萧山区校级期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求（a+b）2020的值．【分析】把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值，代入其余的两个方程，得到关于a，b的方程组，解方程组求得a，b的值，代入代数式求值即可．【解答】解：联立，解得：，把x，y的值代入其余的两个方程得：，解得：，则原式＝（1﹣2）2020＝（﹣1）2020＝1．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值是解题的关键．五．解二元一次方程组（共12小题）20．（嘉兴期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（　　）A．①×2+② B．①×2﹣② C．①×3+② D．①×（﹣3）﹣②【分析】根据①×2+②得出5x﹣4y＝23，即可判断A；根据①×2﹣②得出﹣x＝5，即可判断B；根据①×3+②得出6x﹣5y＝30，即可判断C；根据①×（﹣3）﹣②得出﹣6x﹣y＝﹣3，即可判断D．【解答】解：A．，①×2+②，得5x﹣4y＝23，不能消元，故本选项不符合题意；B．，①×2﹣②，得﹣x＝5，能消元，故本选项符合题意；C．，①×3+②，得6x﹣5y＝30，不能消元，故本选项不符合题意；D．，①×（﹣3）﹣②，得﹣6x﹣y＝﹣30，不能消元，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．21．（奉化区校级期末）已知关于x、y的方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是（　　）A． B． C． D．【分析】仿照已知方程组的解，确定出所求方程组的解即可．【解答】解：∵关于x、y的方程组的解是，∴关于x、y的方程组，即的解为，即，故选：B．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．22．（柯城区校级模拟）若a+2b＝5，3a+4b＝13，则a+b的值为　4　．【分析】先得出方程组，①×2﹣②得出﹣a＝﹣3，求出a，再把a＝3代入①求出b即可．【解答】解：根据题意得：，①×2﹣②，得﹣a＝﹣3，解得：a＝3，把a＝3代入①，得3+2b＝5，解得：b＝1，所以a+b＝3+1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．23．（拱墅区校级期中）在关于x、y的方程组中，未知数满足x、y＞0，那么m的取值范围是　﹣＜m＜　．【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，根据x与y大于0，求出m的范围即可．【解答】解：，①×2﹣②得：3x＝9m+6，解得：x＝3m+2，把x＝3m+2代入②得：3m+2+2y＝8﹣m，解得：y＝3﹣2m，∵x＞0，y＞0，∴，解得：﹣＜m＜．故答案为：﹣＜m＜．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．24．（2021•海曙区模拟）已知方程组，则y的值为　﹣1　．【分析】应用加减消元法，求出y的值是多少即可．【解答】解：，①﹣②，可得2y＝﹣2，解得y＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．25．（萧山区模拟）设M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，则P＝　6　．【分析】根据题意得到关于x、y的方程组，利用加减消元法求得方程组的解，即可求得P的值，【解答】解：由题意得，①+②得5x﹣5y＝5，即x﹣y＝1③，①﹣③×2得﹣y＝3，解得y＝﹣3，把y＝﹣3代入③得，x＝﹣2，∴P＝xy＝﹣2×（﹣3）＝6，故答案为6．【点评】本题考查了解一元二次方程组，解方程组的方法有加减消元法和代入消元法．26．（上虞区期末）解二元一次方程组时，为快速求出未知数y的值，宜采用　加减　法消元．【分析】要求出y的值，观察得两方程中x系数相等，故相减即可求出．【解答】解：解二元一次方程组时，为快速求出未知数y的值，宜采用加减法消元．故答案为：加减．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．27．（浦江县期末）解方程组：（1）；（2）．【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．【解答】解：（1），由①，可得：x＝0.6y③，③代入②，可得：0.6y﹣y＝4，解得y＝﹣10，把y＝﹣10代入③，解得x＝﹣6，∴原方程组的解是．（2），①﹣②×7，可得﹣19m＝19，解得m＝﹣1，把m＝﹣1代入①，解得n＝1，∴原方程组的解是．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．28．（永嘉县校级期末）解下列方程组：（1）；（2）．【分析】（1）把①代入②，用代入消元法解即可；（2）先将原方程组化简，再用加减消元法解即可．【解答】解：（1），把①代入②得：3x﹣8（3﹣x）＝9，∴x＝3，把x＝3代入①得：y＝0，∴原方程组的解为；（2）原方程组化简为，②﹣①得：2x＝4，∴x＝2，把x＝2代入①得：y＝﹣，∴原方程组的解为．【点评】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程是解题的关键．29．（嘉兴二模）解方程组：．小海同学的解题过程如下：判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项没有变号，写出正确的解答过程即可．【解答】解：错误的是（1），（2），（3），正确的解答过程：由②得：y＝5﹣x③把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，解得：，把代入③得：，∴此方程组的解为．【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．30．（太康县期末）解下列方程（组）：（1）﹣＝4；（2）．【分析】（1）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：5x+5﹣2x+2＝4，移项合并得：3x＝﹣3，解得：x＝﹣1；（2）方程组整理得：，把①代入②得：﹣7y+3y＝﹣4，解得：y＝1，把y＝1代入①得：x＝7，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．31．（奉化区校级期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a为实数）（1）若方程组的解始终满足y＝a+1，求a的值；（2）已知方程组的解也是方程bx+3y＝1（b为实数，b≠0且b≠﹣6）的解①探究实数a，b满足的关系式；②若a，b都是整数，求b的最大值和最小值．【分析】（1）方程组消去x表示出y，代入y＝2a﹣1中计算即可求出a的值；（2）①表示出方程组的解，代入bx+3y＝1中计算即可求出a与b的关系式；②由a与b的关系式表示出b，根据a，b为整数确定出b的最大值与最小值即可．【解答】解：（1），②﹣①得：3y＝6a﹣3，即y＝2a﹣1，把y＝2a﹣1代入y＝a+1中得：2a﹣1＝a+1，解得：a＝2；（2）①把y＝2a﹣1代入方程组第一个方程得：x＝a+2，方程组的解为，代入bx+3y＝1得：ab+2b+6a﹣3＝1，即ab+6a+2b＝4；②由ab+6a+2b＝4，得到b＝＝＝＝﹣6，∵a，b都是整数，∴a+2＝±1，±2，±4，±8，±16，当a+2＝1，即a＝﹣1时，b取得最大值10；当a+2＝﹣1，即a＝﹣3时，b取得最小值﹣22．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题组A 基础过关练一．选择题（共8小题）1．（萧山区校级期中）下列四组数值是二元一次方程2x﹣y＝6的解的是（　　）A． B． C． D．【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可．【解答】解：A．把代入方程2x﹣y＝6得：左边＝2﹣4＝﹣2，右边＝6，∵左边≠右边，∴不是方程的解，不符合题意；B．把代入方程2x﹣y＝6得：左边＝8﹣2＝6，右边＝6，∵左边＝右边，∴是方程的解，符合题意；C．把代入方程2x﹣y＝6得：左边＝4﹣4＝0，右边＝6，∵左边≠右边，∴不是方程的解，不符合题意；D．把代入方程2x﹣y＝6得：左边＝4﹣3＝1，右边＝6，∵左边≠右边，∴不是方程的解，不符合题意；故选：B．【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．2．（来凤县期末）已知关于x，y的方程组和的解相同，则（a+b）2021的值为（　　）A．0 B．﹣1 C．1 D．2021【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出所求．【解答】解：联立得：，①×5+②×3得：29x＝58，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，代入得：，解得：，则原式＝（﹣2+2）2021＝0．故选：A．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．3．（镇海区期中）|x+2y﹣3|+|x﹣y+3|＝0，则xy的值是（　　）A．﹣1 B．1 C． D．2【分析】根据绝对值的非负性得出方程组，求出方程组的解，再求出答案即可．【解答】解：∵|x+2y﹣3|+|x﹣y+3|＝0∴x+2y﹣3＝0且x﹣y+3＝0，即，①﹣②，得3y＝6，解得：y＝2，把y＝2代入②，得x﹣2＝﹣3，解得：x＝﹣1，∴xy＝（﹣1）2＝1，故选：B．【点评】本题考查了绝对值的非负性和解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．4．（黄石期末）二元一次方程组的解为（　　）A． B． C． D．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：方程组整理得：，①+②得：3x＝﹣9，解得：x＝﹣3，把x＝﹣3代入①得：y＝﹣2，则方程组的解为．故选：A．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5．（潢川县期末）由方程组可得x与y的关系式是（　　）A．3x＝7+3m B．5x﹣2y＝10 C．﹣3x+6y＝2 D．3x﹣6y＝2【分析】方程组消去m即可得到x与y的关系式．【解答】解：，①×2﹣②得：3x﹣6y＝2，故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．6．（奉化区校级期末）用加减法解方程组时，方程①+②得（　　）A．2y＝2 B．3x＝6 C．x﹣2y＝﹣2 D．x+y＝6【分析】方程组两方程相加消去y得到结果，即可作出判断．【解答】解：用加减法解方程组时，方程①+②得：3x＝6．故选：B．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．7．（西湖区校级三模）解方程组加减消元法消元后，正确的方程为（　　）A．6x﹣y＝4 B．3y＝2 C．﹣3y＝2 D．﹣y＝2【分析】方程组中两方程相减即可得到结果．【解答】解：，②﹣①得：3y＝2．故选：B．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（西湖区校级期末）若是的解，则有（　　）A．4b﹣9a＝7 B．9a+4b+7＝0 C．3a+2b＝1 D．4b﹣9a+7＝0【分析】先把解代入方程组，再消去字母c即得结论．【解答】解：把方程的解代入方程组，得，①×3+②×2，得﹣9a﹣4b＝7．∴9a+4b+7＝0．故选：B．【点评】本题考查了解二元一次方程组，理解方程组的解是解决本题的关键．二．填空题（共6小题）9．（鹿城区校级期中）已知y﹣2x＝6，用含x的代数式表示y，则y＝　2x+6　．【分析】把x看做已知数求出y即可．【解答】解：方程y﹣2x＝6，解得：y＝2x+6．故答案为：2x+6．【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．10．（丽水月考）若（m﹣2）x﹣2y|m﹣1|＝3是关于x，y的二元一次方程，则m＝　0　．【分析】直接根据二元一次方程的定义解答即可．【解答】解：根据题意，得m﹣2≠0，|m﹣1|＝1，解得：m＝0．故答案为：0．【点评】此题考查的是二元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题关键．11．（奉化区校级期末）已知关于x，y的方程组的解互为相反数，则常数a的值为　15　．【分析】②﹣①求出2x+2y＝a﹣15，根据已知得出a﹣15＝0，求出即可．【解答】解：∵②﹣①得：2x+2y＝a﹣15，∵关于x，y的方程组的解互为相反数，∴x+y＝0，即2x+2y＝0，∴a﹣15＝0，∴a＝15，故答案为15．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，关键是能得出关于a的方程．12．（奉化区校级期末）已知（m为常数），则x﹣y＝　﹣　．【分析】把两个式子的左右两边分别相加，求出x﹣y的值是多少即可．【解答】解：①+②，可得2x﹣2y＝﹣1，∴x﹣y＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．13．（涟水县期末）已知二元一次方程组，则2a+4b＝　6　．【分析】将两方程相减即可得．【解答】解：，①﹣②，得：2a+4b＝6，故答案为：6．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．14．（乐清市期末）已知方程组的解是方程x﹣2y＝5的一个解，则a的值为　3　．【分析】根据“方程组的解是方程x﹣2y＝5的一个解”可得，求出x，y的值，再代入3x+ay＝﹣3中，即可求出a的值．【解答】解：由题可知：，解得，把代入3x+ay＝﹣3得：3×1﹣2a＝﹣3，解得a＝3．故答案为：3．【点评】本题考查二元一次方程组的解，能求出x、y的值是解题的关键．三．解答题（共7小题）15．（下城区期末）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1．（1）当时，求c的值．（2）当a＝时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解．（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解．【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝，即可求得c＝；（2）当a＝时，方程为+y＝，即x+3y＝5，根据方程即可求得；（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是．【解答】解：（1）∵b＝a+1，c＝b+1．∴c＝a+2，由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝，∴c＝a+2＝；（2）当a＝时，+y＝，化简得，x+3y＝5，∴符合题意的整数解是：，，；（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，∵x、y均为正整数，∴x+y﹣1是正整数，∵a是正整数，∴2﹣y是正整数，∴y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，∴a＝1，此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是．【点评】本题考查了二元一次方程的解，绝对值的性质，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解答此题的关键．16．（兰州期末）若关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．（1）求这个相同的解；（2）求m﹣n的值．【分析】（1）根据题意列不含m、n的方程组求解即可；（2）将（1）求得的方程组的解代入原方程组中含m、n的方程中求得m、n的值即可．【解答】解：（1）∵关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解，∴解得∴这个相同的解为（2）∵关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解，∴解得∴m﹣n＝3﹣2＝1．答：m﹣n的值为1．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是根据题意重新联立方程组．17．（德清县校级模拟）解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：6x＝12，解得：x＝2，把x＝2代入①得：2﹣y＝1，解得：y＝1，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18．（镇海区期中）解下列方程组：（1）；（2）．【分析】（1）把①代入②得出5x+2x﹣3＝11，求出x，把x＝2代入①求出y即可；（2）①+②得出3x＝7，求出x，把x＝代入①求出y即可．【解答】解：（1），把①代入②，得5x+2x﹣3＝11，解得：x＝2，把x＝2代入①，得y＝4﹣3＝1，所以方程组的解是：；（2）整理得：，①+②，得3x＝7，解得：x＝，把x＝代入①，得+5y＝0，解得：y＝﹣，所以方程组的解是：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．19．（西湖区期末）已知是方程3x+by＝的解．（1）当a＝2时，求b的值．（2）求9a2+6ab+b2+1的值．【分析】（1）根据方程解的定义，把和a＝2代入方程3x+by＝，即可得出b的值；（2）把3a+b作为整体，代入9a2+6ab+b2+1＝（3a+b）2+1，求值即可．【解答】解：（1）∵是方程3x+by＝的解，∴3a+b＝，∵a＝2，∴b＝﹣5；（2）∵3a+b＝，∴9a2+6ab+b2+1＝（3a+b）2+1＝5+1＝6．【点评】本题考查了二元一次方程的解，把3a+b作为整体，是数学中常用的整体思想．20．（拱墅区校级期中）已知关于x，y的方程组，以下结论：①k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②论k取什么实数，x+3y的值始终不变；③若z＝﹣xy，则z的最小值为﹣；请判断以上结论是否正确，并说明理由．【分析】①利用消元法解二元一次方程组，然后把x、y的值代入方程x﹣2y＝﹣4即可求解；②利用消元法解二元一次方程组，将用含k的式子表示出的方程组的解代入x+3y，即可得结论；③把z＝﹣xy配方成2（k﹣）2﹣即可得结论．【解答】解：结论正确，理由如下：①当k＝0时，方程组为，解这个方程组，得，把x＝﹣2，y＝1代入x﹣2y＝﹣4中，使方程左右两边相等，所以当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②解方程组得，∴x+3y＝3k﹣2+3（﹣k+1）＝3k﹣2﹣3k+3＝1，所以不论k取什么实数，x+3y的值始终不变．③z＝﹣xy＝﹣（3k﹣2）（﹣k+1）＝2k2﹣k+＝2（k﹣）2﹣，∴当k＝时，z有最小值为﹣．【点评】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是用字母正确表示方程组的解．题组B 能力提升练一．选择题（共2小题）1．（诸暨市月考）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝2，则m的值为（　　）A．3 B．2 C．﹣3 D．0【分析】先求出只含x，y的方程组的解，再将解代入3x+my＝6求解．【解答】解：联立方程，①+②得2x＝6，解得x＝3，将x＝3代入②得3﹣y＝2，解得y＝1，∴方程组的解为，将代入3x+my＝6得9+m＝6，解得m＝﹣3，故选：C．【点评】本题考查二元一次方程组的计算，解题关键是根据题意联立只含x，y的方程求解．2．（绍兴期中）若方程组的解x与y的和为2，则m的值为（　　）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【分析】利用加减消元法解方程组，可得用含m的式子表示的x和y，再根据x+y＝2，即可求出m的值．【解答】解：解方程组，得，因为x+y＝2，所以m+1+＝2，解得m＝1．则m的值为1．故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法．二．填空题（共7小题）3．（奉化区校级期末）已知二元一次方程．若用含x的代数式表示y，可得y＝　2﹣　；方程的正整数解是　　．【分析】先将含x的项移到等式右边，再两边都乘以2即可得，【解答】解：∵，∴，正整数解为．故答案为：2﹣，【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤．4．（奉化区校级期末）已知方程3x﹣y＝5，用含x的代数式表示y，则　y＝3x﹣5　．【分析】把x看做已知数求出y即可．【解答】解：方程3x﹣y＝5，解得：y＝3x﹣5，故答案为：y＝3x﹣5【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．5．（奉化区校级期末）若方程组的解是，则方程组的解为　　．【分析】把x+2018与y﹣2019看做一个整体，根据已知方程组的解确定出所求即可．【解答】解：∵方程组的解是，∴方程组的解为，即，故答案为：【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．6．（奉化区校级期末）若方程x﹣y＝﹣1的一个解与方程组的解相同，则k的值为　﹣4　．【分析】联立不含k的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出k的值．【解答】解：联立得：，解得：，代入方程得：2﹣6＝k，解得：k＝﹣4，故答案为：﹣4【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（长兴县月考）已知二元一次方程组，则8x+7y＝　25　．【分析】方程组中两方程左右两边相加即可求出所求式子的值．【解答】解：，①+②得：8x+7y＝25，故答案为：25．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（奉化区校级期末）已知方程组和方程组有相同的解，则m的值是　5　．【分析】既然两方程组有相同的解，那么将有一组x、y值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出x、y后，代入x+y+m＝0中直接求解即可．【解答】解：解方程组，得，代入x+y+m＝0得，m＝5．【点评】当给出的未知数较多时，应选择只含有2个相同未知数的2个方程组成方程组求解．9．（宁波期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）（其中m，n均为非零常数）．例如：F（1，1）＝2m+2n，F（﹣1，0）＝3m．当F（1，﹣1）＝﹣8，F（1，2）＝13，则F（x，y）＝　9x2+12xy﹣5y2　；当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，则m，n满足的关系式是　3m+n＝0　．【分析】（1）根据新运算F的定义，得m﹣n＝﹣2，m+2n＝13，故m＝3，n＝5．那么，F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）＝（3x+5y）（3x﹣y）＝9x2+12xy﹣5y2．（2）由F（x，y）＝F（y，x），得3mx2+（3n﹣m）xy﹣ny2＝3my2+（3n﹣m）xy﹣nx2，故（3m+n）x2＝（3m+n）y2．由当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，故当x2≠y2时，（3m+n）x2＝（3m+n）y2对任意有理数x，y都成立．那么，3m+n＝0．【解答】解：（1）∵F（1，﹣1）＝﹣8，F（1，2）＝13，∴（m﹣n）×[3﹣（﹣1）]＝﹣8，（m+2n）（3×1﹣2）＝13．∴m﹣n＝﹣2，m+2n＝13．∴m＝3，n＝5．∴F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）＝（3x+5y）（3x﹣y）＝9x2﹣3xy+15xy﹣5y2＝9x2+12xy﹣5y2．（2）∵F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y），F（y，x）＝（my+nx）（3y﹣x），∴F（x，y）＝3mx2﹣mxy+3nxy﹣ny2＝3mx2+（3n﹣m）xy﹣ny2．F（y，x）＝3my2﹣mxy+3nxy﹣nx2＝3my2+（3n﹣m）xy﹣nx2．若当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，∴当x2≠y2时，3mx2+（3n﹣m）xy﹣ny2＝3my2+（3n﹣m）xy﹣nx2对任意有理数x，y都成立．∴当x2≠y2时，（3m+n）x2＝（3m+n）y2对任意有理数x，y都成立．∴3m+n＝0．故答案为：9x2+12xy﹣5y2，3m+n＝0．【点评】本题主要考查整式的运算以及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法以及整式的运算是解题的关键．三．解答题（共7小题）10．已知方程x﹣y＝7，用含x的代数式表示y．【分析】将x看做已知数，求出y即可．【解答】解：方程x﹣y＝7，去分母得：5x﹣3y＝105，解得：y＝．【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数，y看做未知数．11．已知关于x，y的二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a＝0，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解．（1）求出这个公共解；（2）请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a＝0的解．【分析】（1）先把原方程去括号整理得出（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6＝0，再由题意得出，解方程即可；（2）按照（1）的思路去做即可．【解答】解：（1）原方程去括号整理得：（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6＝0，由题意得：，解得；（2）∵把（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a＝0化为下面的形式：（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6＝0，∴，解得（3分）∴无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a＝0的解（2分）【点评】本题考查了二元一次方程的解，难度适中，是个不错的题目．12．（舟山）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：解法一：由①﹣②，得3x＝3．解法二：由②，得3x+（x﹣3y）＝2，③把①代入③，得3x+5＝2．（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“ד．（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．【分析】（1）观察两个解题过程即可求解；（2）根据加减消元法解方程即可求解．【解答】解：（1）解法一中的解题过程有错误，由①﹣②，得3x＝3“×”，应为由①﹣②，得﹣3x＝3；（2）由①﹣②，得﹣3x＝3，解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入①，得﹣1﹣3y＝5，解得y＝﹣2．故原方程组的解是．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．（长兴县月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组，求xy的值．【分析】（1）由②变形得：3（3x﹣2y）+2y＝19③，把①代入③得：15+2y＝19，即y＝2即可；（2）由②变形化简得x2+4y2＝18﹣③，整体代入即可．【解答】解：（1）由②变形得：3（3x﹣2y）+2y＝19③，把①代入③得：15+2y＝19，即y＝2，把y＝2代入①得：x＝3，则方程组的解为；（2）由②变形得：2（x2+4y2）+xy＝36，即：x2+4y2＝18﹣③，由①变形得：3（x2+4y2）﹣2xy＝47④，把③代入④得：3×（18﹣）﹣2xy＝47，∴xy＝2．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握整体代入是解本题的关键．14．（岳麓区校级月考）已知关于x，y的方程组（1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解；（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；（3）m≠﹣3时，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？（4）如果方程组有整数解，求整数m的值．【分析】（1）把y看做已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可；（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；（3）方程变形后，确定出公共解即可；（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．【解答】解：（1）方程x+2y＝5，解得：x＝﹣2y+5，当y＝1时，x＝3；y＝2，x＝1；（2）联立得：，解得：，代入得：﹣5﹣10﹣5m+9＝0，解得：m＝﹣；（3）∵x﹣2y+mx+9＝0，即（1+m）x﹣2y+9＝0总有一个解，∴方程的解与m无关，∴mx＝0，x﹣2y+9＝0，解得：x＝0，y＝，则方程的公共解为；（4），①+②得：（m+2）x＝﹣4，解得：x＝﹣，把x＝﹣代入①得：y＝，当m+2＝2，1，﹣2，﹣1，4，﹣4时，x为整数，此时m＝0．﹣1，﹣3，﹣4，2，﹣6，当m＝﹣1时，y＝，不符合题意；当m＝﹣3时，y＝，不符合题意；当m＝2时，y＝3，符合题意；当m＝﹣6时，y＝2，符合题意，当m＝0时，y＝，不符合题意；当m＝﹣4时，y＝，不符合题意，综上，整数m的值为﹣6或2．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（邗江区期中）已知关于x，y的方程组（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？【分析】（1）将方程x+2y﹣6＝0化为y＝3﹣二分之一x，再由x，y为正整数，即可得出结论；（2）将x+y＝0与x+2y﹣6＝0组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：x﹣2y+mx+5＝0中，可得m的值；（3）根据方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，可得这个解．【解答】解：（1）∵x+2y﹣6＝0，∴y＝3﹣x，又因为x，y为正整数，∴3﹣x＞0，即：x只能取2或4；∴方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解：，；（2）由题意得：，解得把代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m＝﹣；（3）∵方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，∴x＝0，把x＝0代入x﹣2y+mx+5＝0中得：y＝2.5，∴x＝0，y＝2.5．【点评】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．16．（2绍兴期末）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把c看错了，得，试求出a，b，c的值．【分析】把，代入方程ax+by＝3即可得到一个关于a，b的方程组，即可求得a，b的值，把代入方程5x﹣cy＝1即可求得c的值．【解答】解：根据题意得：，解得：，把代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c＝1，解得：c＝3．故a＝3，b＝﹣1，c＝3．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，方程的解的定义，正确理解定义是解题的关键．