2024七年级数学下册第2章二元一次方程组典型30题专练试题（附解析浙教版）

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第2章二元一次方程组（典型30题专练）一．选择题（共6小题）1．（抚顺期末）秀山到怀化路程全长288km，一辆小汽车和一辆客车同时从秀山、怀化两地相向而行，经过1小时50分钟相遇，相遇时小汽车比客车多行驶40km，设小汽车和客车的平均速度分别为xkm/h和ykm/h，则下列方程组正确的是（　　）A． B． C． D．【分析】1小时50分钟＝小时，根据路程＝速度×时间，结合“经过1小时50分钟两车相遇，且相遇时小汽车比客车多行驶40km”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：1小时50分钟＝小时．依题意得：．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．（奉化区校级期末）若x|a|﹣1+（a﹣2）y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝（　　）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【分析】根据二元一次方程的定义得出a﹣2≠0且|a|﹣1＝1，求出即可．【解答】解：∵方程x|a|﹣1+（a﹣2）y＝1是关于x、y的二元一次方程，∴a﹣2≠0且|a|﹣1＝1，解得：a＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能根据二元一次方程的定义得出a﹣2≠0且|a|﹣1＝1是解此题的关键．3．（济南期末）下到方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）A． B． C． D．【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可．【解答】解：A、属于二元一次方程组，符合题意；B、不属于二元一次方程组，不符合题意；C、属于二元二次方程组，不符合题意；D、属于二元二次方程组，不符合题意，故选：A．【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．4．（文成县模拟）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹价值x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）A． B． C． D．【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：．故选：A．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．5．（下城区模拟）王阿姨以每个m元的价格买进苹果100个，现以每个比进价多20%价格卖出70个后，再以每个比进价低n元的价格将剩下的30个卖出，则全部卖出100个苹果所得的金额是W元，下列方程正确的是（　　）A．70m+30（m﹣n）＝W B．70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W C．70×（1+20%）m+30n＝W D．100×（1+20%）m﹣30（m﹣n）＝W【分析】王阿姨全部苹果共卖得金额＝先卖70个苹果的总价+剩下的30个苹果卖出的总价．根据等量关系直接列出方程即可．【解答】解：依题意得，先卖70个苹果的单价是m（1+20%）元，剩下的30个苹果卖出的单价是（m﹣n）元，∴全部苹果共卖得金额是：70×（1+20%）×m+30（m﹣n）元．∴70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确理解文字语言中的关键词，从而明确其中的运算关系．注意多每个比进价多20%是原来的价钱m再加上20%m．6．（宁波模拟）我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马价x两，牛价y两，可列方程组为（　　）A． B． C． D．【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”列出方程组即可．【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：．故选：A．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．二．填空题（共12小题）7．（江汉区期末）把方程（1﹣y）﹣x＝0写成用含有x的式子表示y的形式，得y＝　1﹣3x　．【分析】将x看作已知数，y看作未知数，求出y即可．【解答】解：（1﹣y）﹣x＝0，1﹣y﹣3x＝0，即y＝1﹣3x．故答案为：1﹣3x．【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数，y看作未知数．8．（满洲里市期末）如果方程组的解为，那么“*”表示的数是　2　．【分析】根据已知条件可得x＝6是方程2x﹣y＝16的解，进而可得y的值，再代入计算即可．【解答】解：将x＝6代入2x﹣y＝16，得12﹣y＝16，解得y＝﹣4，∴x+y＝6﹣4＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法．9．（奉化区校级期末）如图，6块同样大小的长方形复合地板刚好拼成一个宽为30cm的大长方形，则这个大长方形的长是　40　cm．【分析】设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的对边相等已经宽为30cm，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（1+2y）中即可求出结论．【解答】解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：，解得：，∴x+2y＝40．故答案为：40．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10．（白银期末）已知2x﹣3y＝1，用含x的代数式表示y，则y＝　x　．【分析】首先移项、然后系数化1，继而可求得答案．【解答】解：∵2x﹣3y＝1，∴3y＝2x﹣1，解得：y＝x﹣．故答案为：x﹣．【点评】此题考查了二元一次方程的知识．此题比较简单，注意掌握解方程的步骤．11．（金华）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是　2　．【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，∴m＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了二元一次方程的解，把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程是解题的关键．12．（南京模拟）解方程组，若设（x+y）＝A，（x﹣y）＝B，则原方程组可变形为　　．【分析】把x+y换为A，x﹣y换为B得到新方程组即可．【解答】解：解方程组，若设（x+y）＝A，（x﹣y）＝B，则原方程组可变形为．故答案为：．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（饶平县校级模拟）若关于x，y的方程2x|n|+3ym﹣2＝0是二元一次方程，则m+n＝　2或4　．【分析】根据二元一次方程的定义得到|n|＝1，m﹣2＝1，然后解不等式和方程得到满足条件的m、n的值，然后把m、n的值代入m+n中计算即可．【解答】解：根据题意得：|n|＝1，m﹣2＝1，解得：n＝±1，m＝3，∴m+n＝3+1＝4，m+n＝3﹣1＝2，∴m+n的值是2或4，故答案为：2或4．【点评】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．14．（2020秋•五常市期末）已知方程4x﹣3y﹣6＝0，用含y的代数式表示x，则x＝　y+　．【分析】把y看作已知数求出x即可．【解答】解：方程4x﹣3y﹣6＝0，移项得：4x＝3y+6，解得：x＝y+．故答案为：y+．【点评】此题考查了解二元一次方程，以及列代数式，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．15．（无锡模拟）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是　70　岁．【分析】设小民爷爷是x岁，小民是y岁，根据爷爷及小民年龄之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设小民爷爷是x岁，小民是y岁，依题意得：，解得：．故答案为：70．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．16．（福田区校级期末）对x，y定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1※1＝4，1※2＝3．则2※1的值是　9　．【分析】由已知条件，根据所给定义可得到关于m、n的方程组，则可求得m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵1※1＝4，1※2＝3，∴，解得：，则x※y＝5x﹣y∴2※1＝2×5﹣1＝9，故答案为：9．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（李沧区期末）如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方形的面积为　63　．【分析】设左下角的小正方形边长为x，左上角最大的正方形的边长为y，根据矩形的长和宽列出方程组求解即可．【解答】解：设左下角的小正方形边长为x，左上角最大的正方形的边长为y，由题意得：，解得：，∴矩形的长＝2+2+2+3＝9，宽＝2+5＝7，S矩形＝7×9＝63，故答案为：63．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．（奉化区校级期末）若方程组的解是，则方程组的解是x＝　﹣1　，y＝　﹣3　．【分析】把代入方程组可求出c1﹣c2＝2（a1﹣a2），c1﹣2a1＝3，再根据方程组，即可求出x、y的值．【解答】解：把代入方程组得，，所以c1﹣c2＝2（a1﹣a2），c1﹣2a1＝3，方程组，①﹣②得，（a1﹣a2）x＝a1﹣a2﹣（c1﹣c2），所以（a1﹣a2）x＝﹣（a1﹣a2），因此x＝﹣1，把x＝﹣1代入方程组中的方程①得，﹣a1+y＝a1﹣c1，所以y＝2a1﹣c1＝﹣（c1﹣2a1）＝﹣3，故答案为：﹣1，﹣3．【点评】本题考查二元一次方程组及其解法，掌握方程组的解法是解决问题的关键，解二元一次方程组的基本思想是消元．三．解答题（共12小题）19．（拱墅区校级期中）解下列方程组：（1）．（2）．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1），②×2﹣①得：7y＝﹣7，解得：y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得：2x+3＝3，解得：x＝0，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，①+②得：6x＝18，解得：x＝3，把x＝3代入②得：9﹣2y＝8，解得：y＝，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．20．（娄星区期末）解下列方程组：（1）；（2）．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1），②﹣①×3得：x＝5，把x＝5代入①得：10﹣y＝5，解得：y＝5，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，②×4﹣①×3得：﹣7y＝﹣28，解得：y＝4，把y＝4代入②得：3x﹣16＝2，解得：x＝6，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．21．（扶风县期末）解下列方程组：（1）；（2）．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1），①×2得：2x+4y＝6③，②+③得，7x＝7，解得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝1，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，①﹣②得：6y＝18，解得：y＝3，把y＝3代入①得：3x+12＝36，解得：x＝8，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．22．（江北区期中）解下列方程组：（1）；（2）．【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；（2）利用加减消元法解方程组即可．【解答】解：（1），①代入②，得3x+2（4x﹣13）＝7，解得x＝3，把x＝3代入①，得y＝﹣1，所以原方程组的解为：；（2），①+②，得4x＝4，解得x＝1，把x＝1代入①，得y＝﹣2，所以原方程组的解为：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．23．（拱墅区校级期中）已知关于x，y的方程组，其中a是实数．（1）若x＝y，求a的值；（2）若方程组的解也是方程x﹣5y＝3的一个解，求（a﹣4）2019的值；（3）求k为何值时，代数式x2﹣kxy+9y2的值与a的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值．【分析】（1）把a看做已知数，利用加减消元法求出解即可；（2）把方程组的解代入方程计算求出a的值，代入原式计算即可求出值；（3）将代数式x2﹣kxy+9y2的配方＝（x﹣3y）2+6xy﹣kxy＝25+（6﹣k）xy，即可求解．【解答】解：（1）方程组，①×3+②得：5x＝15a﹣5，解得：x＝3a﹣1，把x＝3a﹣1代入①得：y＝a﹣2，则方程组的解为，令3a﹣1＝a﹣2，解得a＝；（2）把方程组代入方程得：3a﹣1﹣5a+10＝3，解得：a＝3，则（a﹣4）2019＝（﹣1）2019＝﹣1；（3）∵x2﹣kxy+9y2＝（x﹣3y）2+6xy﹣kxy＝25+（6﹣k）xy，且代数式x2﹣kxy+9y2的值与a的取值无关，∴当k＝6时，代数式x2﹣kxy+9y2的值与a的取值无关，定值为25．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（鹿城区校级一模）为了推进现代化教育，教育局决定给某区每所中学配备m台电脑，每所小学配备n台电脑．现有甲、乙两家企业愿意捐赠其结对的学校所需的电脑（结对学校数的情况如图），甲企业计划捐赠295台，乙企业计划捐赠305台．（1）求m，n的值．（2）现两家企业决定在计划购买电脑总金额1650000元不变的情况下，统一购买A，B两种型号电脑（单价如下表）．在实际购买时，商家给予打折优惠：A，B两种型号电脑分别打a折和b折（a≤b＜10，a、b都是整数），最后购进的电脑总数比计划多100台．求实际购买的A，B两种型号电脑各多少台．【分析】（1）由题意得出方程组，解方程组即可；（2）设购买的A，B两种型号电脑分别为x台、（295+305+100﹣x）台，即（700﹣x）台，由题意得出方程，进而得出得＜700，则a＞，再由∵a≤b＜10，a、b都是整数，得出有三种情况，即可解决问题．【解答】解：（1）由题意得：，解得：；（2）设购买的A，B两种型号电脑分别为x台、（295+305+100﹣x）台，即（700﹣x）台，由题意得：3000×0.1ax+2500×0.1b（700﹣x）＝1650000，整理得：x＝，∵A型电脑台数小于700台，∴＜700，解得：a＞，又∵a≤b＜10，a、b都是整数，∴有三种情况：①，②，③，代入方程检验得：①x＝625，②x＝500，③x不是整数，舍去；∴实际购买A型625台，B型电脑75台或A型500台，B型电脑200台．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据题意列出正确的方程组和不等式是本题的关键．25．（澄城县期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　﹣4　，x+y＝　6　；（2）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元，若该公益组织实际捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，则购买这批防疫物资共需多少元？（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax﹣by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么求1*1的值．【分析】（1）由方程组的两式相减与相加即可得出结果；（2）设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元，由题意列出方程组，即可得出结果；（3）由定义新运算列出方程组，求出a﹣b+c＝﹣11，即可得出结果．【解答】解：（1），由②﹣①得：x﹣y＝﹣4，①+②得：5x+5y＝30，∴x+y＝6，故答案为：﹣4，6；（2）设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元，由题意得：，由①+②得：50m+5n+10p＝3350，∴100m+10n+20p＝3350×2＝6700，答：购买这批防疫物资共需6700元；（3）由题意得：，由3×①﹣2×②可得：a﹣b+c＝﹣11，∴1*1＝a﹣b+c＝﹣11．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．26．（章丘区模拟）疫情期间，为保护学生和教师的健康，某学校用33000元购进甲、乙两种医用口罩共计1000盒，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲，乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照教育局要求，学校必须储备足够使用十天的口罩，该校师生共计800人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足教育局的要求？【分析】（1）设学校购进甲种口罩x盒，购进乙种口罩y盒，根据学校33000元购进甲、乙两种医用口罩共计1000盒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用总数量＝每盒的数量×盒数可求出购买的口罩总数，利用全校师生两周需要的用量＝师生数×每天的用量×时间（2周）可求出全校师生两周需要的用量，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设学校购进甲种口罩x盒，购进乙种口罩y盒，依题意，得：，解得：．答：学校购进甲种口罩400盒，购进乙种口罩600盒．（2）购买的口罩总数为：400×20+600×25＝23000（个），全校师生两周需要的用量为：800×2×10＝16000（个）．∵23000＞16000，∴购买的口罩数量能满足教育局的要求．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．27．（阜南县期末）若关于x、y的二元一次方程组的解x、y互为相反数，求m的值．【分析】利用x，y的关系代入方程组消元，从而求得m的值．【解答】解：将x＝﹣y代入二元一次方程租可得关于y，m的二元一次方程组，解得m＝23．【点评】考查了解二元一次方程的能力和对方程解的概念的理解．28．（杭州期末）解三元一次方程组：．【分析】因为三个方程中z的系数相同或互为相反数，应用加减法来解．【解答】解：①+②得5x+2y＝16④，③+②得3x+4y＝18⑤，得方程组，解得，代入③得，2+3+z＝6，∴z＝1．∴方程组的解为．【点评】解三元一次方程组要注意以下几点：方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组．29．把数字1，2，3，…，9分别填入图中的9个圈内，要求三角形ABC和三角形DEF的每条边上三个圈内数位之和等于18．（1）给出符合要求的填法；（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．【分析】（1）先确定D、E、F三处的数字之和应该是24，再进一步分析其它的数字；（2）把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为x；D，E，F三处圈内的三个数之和记为y；其余三个圈所填的数位之和为z．结合图形和已知条件得到方程组，进而求得y＝24，再进一步分析即可．【解答】解：（1）右图给出了一个符合要求的填法；（2）共有6种不同填法把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为x；D，E，F三处圈内的三个数之和记为y；其余三个圈所填的数位之和为z．显然有x+y+z＝1+2+…+9＝45①，图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有z+3y+2x＝6×18＝108②，②﹣①，得x+2y＝108﹣45＝63③，把AB，BC，CA每一边上三个圈中的数的和相加，则可得2x+y＝3×18＝54④，联立③，④，解得x＝15，y＝24，继而解之z＝6．在1，2，3，…，9中三个数之和为24的仅为7，8，9，所以在D，E，F三处圈内，只能填7，8，9三个数，共有6种不同填法．显然，当这三个圈中的数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内的数也随之确定，从而得结论，共有6种不同的填法．【点评】此题中要特别注意三角形的顶点的数字的重复使用，能够根据各边的数字之和列方程组求解．30．（奉化区校级期末）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越•温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中A型1张，B型2张，C型2张，如下表：在此次活动中，小明父母领到多期消费券．（1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张A型消费券，5张B型的消费券，则用了　7　张C型的消费券．（2）若小明父母使用消费券共减了230元．①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知C型比A型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？②若他们共领到6期消费券（部分未使用），用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张．【分析】（1）根据小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，列出算式计算即可求解；（2）①设A型消费券x张，B型消费券y张，C型消费券z张，根据等量关系列出方程组计算即可求解；②6期消费券有A型6张，B型12张，C型12张，找到用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费共减了230元的情况即可求解．【解答】解：（1）（199﹣38×3﹣5×10）÷5＝7（张）．故用了7张C型的消费券．故答案为：7；（2）①设A型消费券x张，B型消费券y张，C型消费券z张，依题意有，解得．故A型消费券5张，B型消费券1张，C型消费券6张；②6期消费券有A型6张，B型12张，C型12张，∵38×5+10×4＝230（元），38×5+5×8＝230（元），∴A型消费券5张，B型消费券4张或A型消费券5张，C型消费券8张．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．型号AB单价（元/台）30002500A型B型C型满168元减38元满50元减10元满20元减5元