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2024七年级数学下册第5章分式压轴30题专练试题（附解析浙教版）
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这是一份2024七年级数学下册第5章分式压轴30题专练试题（附解析浙教版），共23页。
第5章分式（压轴30题专练）一．选择题（共2小题）1．（拱墅区校级模拟）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）A． B． C． D．【分析】设第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个图可得空余部分的体积，进而可得玻璃瓶的容积，让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可．【解答】解：设规则瓶体部分的底面积为s平方厘米．倒立放置时，空余部分的体积为bs立方厘米，正立放置时，有墨水部分的体积是as立方厘米，因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的＝．故选：A．【点评】考查列代数式；用墨水瓶的底面积表示出墨水的容积及空余部分的体积是解决本题的突破点．2．（汉阳区校级自主招生）已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则的值为（ ）A．﹣1 B． C．2 D．【分析】由a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac＝；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．【解答】解：由a+b+c＝2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝4，将已知代入，得ab+bc+ac＝；由a+b+c＝2得：c﹣1＝1﹣a﹣b，∴ab+c﹣1＝ab+1﹣a﹣b＝（a﹣1）（b﹣1），同理，得bc+a﹣1＝（b﹣1）（c﹣1），ca+b﹣1＝（c﹣1）（a﹣1），∴原式＝++＝＝＝＝＝﹣．故选：D．【点评】本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．二．填空题（共4小题）3．（射洪市校级月考）若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围为 m＞4 ．【分析】若分式不论x取何实数总有意义，则其分母x2+4x+m会写成（a+b）2+k（k＞0）的形式，利用k＞0，求字母的范围．【解答】解：方法一、∵当Δ＝b2﹣4ac＜0时，x2+4x+m＝0无解，即42﹣4m＜0，解得m＞4，∴当m＞4时，不论x取何实数，分式总有意义．方法二、∵x2+4x+m＝x2+4x+4﹣4+m＝（x+2）2﹣4+m，∴当﹣4+m＞0时，分式不论x取何实数总有意义，∴m＞4，故答案为m＞4．【点评】此题主要考查了分式的意义，要求掌握．意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．当分母是个二项式时，分式有意义的条件是分母能整理成（a+b）2+k（k＞0）的形式，即一个完全平方式与一个正数的和的形式．只要这样不论未知数取何值，式子（a+b）2+k（k＞0）恒大于零，分式总有意义．4．（乐清市月考）已知x为整数，则能使代数式的值为整数的x值之和为 ﹣4 ．【分析】将分式化成一个整式加上一个真分式的形式，然后只需要2是x+1的倍数即可，最后求和即可．【解答】解：＝＝＝x+1﹣3+＝x﹣2+，∵分式的值为整数，∴x+1＝±1，±2，∴x＝0，﹣2，1，﹣3．∴0+（﹣2）+1+（﹣3）＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了分式的整数值，考核学生的计算能力，将分式变形是解题的关键．5．（沂源县期中）若＝2，则＝ 【分析】由＝2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可．【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy则＝＝＝．故答案为．【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．6．（金华模拟）化简：＝ ．【分析】根据同分母分式加减的运算法则可知：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，故可将直接原式进行化简．【解答】解：原式＝．【点评】本题考查了同分母分式加减的运算，关键在于学生熟练掌握运算法则进行化简．三．解答题（共24小题）7．（永川区期末）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣3．【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，求出结果，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝[]•＝•＝，当x＝﹣3时，原式＝＝2．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．8．（二七区校级期中）阅读下面材料，并解答问题．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b．则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b∴，∴∴＝＝﹣＝（x2+2）﹣这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式﹣的和．根据上述作法，将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．【分析】根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可．【解答】解：＝＝x2+7﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（江津区期末）先化简，再求值：，其中x从﹣1、+1、﹣2，﹣3中选出你认为合理的数代入化简后的式子中求值．【分析】先把括号内通分后进行同分母的减法运算，再把分子分母因式分解和把除法运算化为乘法运算，然后约分后得到原式＝，根据分式有意义的条件，把x＝﹣3代入计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝，当x＝﹣3时，原式＝＝2．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．10．（婺城区校级期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；（3）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且120＜a＜136，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．【分析】（1）设原计划每天加工纸箱x个，则现在每天加工1.5x个，根据题意列出分式方程解答即可；（2）折竖式纸盒，横式纸盒各加工x、y个，根据购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，恰好能将购进的纸板全部用完列出方程组解答即可；（2）设x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出y的取值范围即可．【解答】解：（1）设原计划每天加工纸箱x个，则现在每天加工1.5x个，由题意得﹣2＝解得x＝20经检验x＝20是原分式方程的解，答：原计划每天加工纸箱20个．（2）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，依题意，得解得：答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个；（3）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，依题意得：∴y＝40﹣，∵y、a为正整数，∴a为5的倍数，∵120＜a＜136∴满足条件的a为：125，130，135．当a＝125时，x＝20，y＝15；当a＝130时，x＝22，y＝14；当a＝135时，x＝24，y＝13据符合题意，∴a所有可能的值是125，130，135【点评】本题考查分式方程、二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题找出等量关系式解答即可．11．（前郭县期末）学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定日期内完成．如果由甲工程小组做，恰好按期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定日期3天．结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是几天？【分析】由题意可知甲的工作效率＝1÷规定日期，乙的工作效率＝1÷（规定日期+3）；根据“结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成”可知甲做两天的工作量+乙做规定日期的工作量＝1，由此可列出方程．【解答】解：设规定日期为x天，根据题意，得2（+）+×（x﹣2）＝1解这个方程，得x＝6经检验，x＝6是原方程的解．∴原方程的解是x＝6．答：规定日期是6天．【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题主要考查的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1．12．（婺城区校级期末）“十•一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8＝360（元），获得优惠额为：450×0.2+30＝120（元）．设购买商品的优惠率＝．试问：（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？【分析】（1）由800元×80%得出消费金额，再根据表中规定应享受100元优惠．则根据题目提供的优惠计算方法即可求出优惠额，从而得到优惠率；（2）因为西服标价高于700元，低于850，所以其消费额最小为700×0.8＝560（元），最大为850×0.8＝680（元），500≤p＜700，因此获得的奖券金额为100元，设西服标价x元，根据题意可列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）消费金额为800×0.8＝640（元），获得优惠额为：800×0.2+100＝260（元），所以优惠率为：＝32.5%；（2）因为西服标价高于700元，低于850，所以其消费额最小为700×0.8＝560（元），最大为850×0.8＝680（元），500≤p＜700，设西服标价x元，根据题意得，解得x＝750，经检验，x＝750是原方程的根．答：该套西装的标价为750元．【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．要注意题中给出的判断条件．此题关键是套用优惠率的公式．13．（建平县期末）先化简，再求值：，其中m＝5．【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．【解答】解：原式＝＝＝；当m＝5时，原式＝8．【点评】本题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键．14．（南召县模拟）先化简，再求值：（）÷，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝•＝2x+8，当x＝1时，原式＝2+8＝10．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．15．（内乡县一模）先化简代数式（1﹣）÷，再从﹣2≤a≤2中选一个恰当的整数作为a的值代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a＝0时，原式＝＝2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．16．（安徽模拟）（1）解下列方程：①根为 x1＝1，x2＝2 ；②根为 x1＝2，x2＝3 ；③根为 x1＝3，x2＝4 ；（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为 x+＝2n+1 ，其根为 x1＝n，x2＝n+1 ．（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程（n为正整数）的根．【分析】（1）首先去分母，即可化成一元二次方程，解方程求得x的值，然后进行检验，即可求得方程的解；（2）根据（1）中的三个方程的特点以及解的关系即可求解；（3）根据（3）的结果，把所求的方程化成x﹣3+＝2n+1的形式，把x﹣3当作一个整体即可求解．【解答】解：（1）①去分母，得：x2+2＝3x，即x2﹣3x+2＝0，（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0，x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝2，经检验：x1＝1，x2＝2都是方程的解；②去分母，得：x2+6＝5x，即x2﹣5x+6＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，则x﹣2＝0，x﹣3＝0，解得：x1＝2，x2＝3，经检验：x1＝2，x2＝3是方程的解；③去分母，得：x2+12＝7x，即x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，则x1＝3，x2＝4，经检验x1＝3，x2＝4是方程的解；（2）出第n个方程为x+＝2n+1，解是x1＝n，x2＝n+1；（3），即x﹣3+＝2n+1，则x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，解得：x1＝n+3，x2＝n+4．【点评】本题考查了分式方程的解法，注意方程的式子的特点，以及对应的方程的解之间的关系是解决本题的关键．17．（谷城县校级自主招生）若关于x的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解．【分析】先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k的值．【解答】解：原方程化为kx2+（2﹣3k）x﹣1＝0①．（1）当k＝0时，原方程有一个解，x＝；（2）当k≠0时，方程①△＝5k2+4（k﹣1）2＞0，总有两个不同的实数根，由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根，故x＝1，得k＝．综上可知，k的值为0或，当k＝0时，方程的解为x＝；k＝时，方程的解为x＝﹣2．【点评】本题考查了解分式方程．注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．18．（鄞州区期末）已知：a﹣b＝m，b﹣c＝n．（1）m＝3，n＝4，求代数式（a﹣c）2，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．（2）若m＜0，n＜0，判断代数式的值与0的大小关系并说明理由．【分析】（1）由a﹣b＝m，b﹣c＝n．化简出a﹣c的值，可求（a﹣c）2，再配方即可求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值；（2）由m＜0，n＜0，可得m+n小于0及mn大于0，将要求得式子通分，配方化简，利用完全平方式可得结论．【解答】解：（1）∵a﹣b＝m，b﹣c＝n，m＝3，n＝4∴a﹣c＝m+n＝7，a﹣b＝3，b﹣c＝4∴（a﹣c）2＝49a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝＝＝37∴（a﹣c）2的值为49，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为37．（2）代数式＜0，理由如下：∵a﹣b＝m，b﹣c＝n，a﹣c＝m+n，m＜0，n＜0∴m+n＜0，mn＞0∴＝＝＝＝＝＜0故代数式的值小于0．【点评】本题综合考查了分式的化简求值及配方法在化简求值中的应用，题目计算难度较大，综合性较强．19．（西湖区校级月考）某火车站在检票前若干分钟就开始排队，排队人数按一定的速度增加，如果开放一个检票口，则要40分钟检票口前的队伍才能消失，如果同时开放两个检票口，则16分钟队伍就消失了，设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，要多少时间检票口队伍才会消失？【分析】可以设检票口等候检票的人为a人，每个检票口每分钟检票为x人，每分钟新增加排队的为y人，根据“开放一个检票口，要40分钟检完票”和“开放两个检票口，16分钟检完标”可得到两个方程，解方程组即可得到一个关于检票时间的代数式，注意用代和消元法求解．【解答】解：设检票口等候检票的人有a人，每个检票口每分钟检票x人，每分钟新增加排队的有y人（5分）则（10分）消去a得：x＝3y∴a＝40（x﹣y）＝80y，当开放三个窗口时，检票时间为：（分钟）答：同时开放三个检票口，10分钟队伍消失．（18分）解法二：可以设每个检票口每分钟检票的人数为1份，则每分钟新增的人数为：（40×1×1﹣2×1×16）÷（40﹣16）＝1/3份，∴原有人数为40﹣40×1/3＝80/3份，∴同时开放三个检票口要用80/3÷（3﹣1/3）＝10分钟队伍消失．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用分式方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．20．（黄石期末）阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3＝（﹣x2+1）（x2+a）+b则﹣x4﹣x2+3＝（﹣x2+1）（x2+a）+b＝﹣x4﹣ax2+x2+a+b＝﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a＝2，b＝1．∴＝+．这样，分式被拆分成了一个整式（x2+2）与一个分式的和．解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．（2）当﹣1＜x＜1时，试求的最小值．（3）如果的值为整数，求x的整数值．【分析】（1）仿照阅读材料中的方法求出a与b的值，即可得到结果；（2）根据（1）中的结果，利用基本不等式求出最小值为8即可；（3）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，再根据分式值为整数，即可得到x的整数值．【解答】解：（1）由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣6x2+8＝（﹣x2+1）（x2+a）+b，则﹣x4﹣6x2+8＝（﹣x2+1）（x2+a）+b＝﹣x4﹣ax2+x2+a+b＝﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b），∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a＝7，b＝1，∴＝＝+＝x2+7+，这样，分式被拆分成了一个整式x2+7与一个分式的和．（2）＝x2+7+，∵x2≥0，∴x2+7≥7，此时﹣1＜x＜1，当x＝0时，取得最小值0，∴当x＝0时，x2+7+最小值为8，即的最小值为8．（3）＝＝＝2﹣；∵的值为整数，且x为整数；∴x+1为3的约数，∴x+1的值为1或﹣1或3或﹣3；∴x的值为0或﹣2或2或﹣4．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．21．（定州市期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：＝＝1﹣；再如：＝＝＝x+1+．解决下列问题：（1）分式是 真 分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式 1﹣ 的形式；（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为 0，﹣2，2，﹣4 ．【分析】（1）根据阅读材料中真分式与假分式的定义判断即可；（2）原式变形，化为带分式即可；（3）分式化为带分式后，即可确定出x的整数值．【解答】解：（1）分式是真分式；（2）＝＝1﹣；（3）＝＝2﹣为整数，则x的可能整数值为 0，﹣2，2，﹣4．故答案为：（1）真；（2）1﹣；（3）0，﹣2，2，﹣4【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（上虞区期末）先阅读下列解题过程，再回答问题：计算：+解：原式＝﹣…①＝﹣…②＝4﹣（x+2）…③＝2﹣x…④（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是 ③ ，错误做法是 去分母 ．（2）请你给出正确的解答．【分析】（1）观察解题过程找出出错的步骤序号，并找出原因即可；（2）写出正确的解题过程即可．【解答】解：（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是③，错误做法是去分母，故答案为：③；去分母；（2）正确解法为：原式＝﹣＝﹣＝＝﹣＝﹣．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．（秀洲区校级月考）小丽妈妈在网上做淘宝生意，专门销售女式布鞋，一次，小丽发现一个进货单上的一个信息是：A款鞋的进价比B款鞋进价多20元，花500元进A款鞋的数量和花400元进B款鞋的数量相同．（1）问A、B款鞋的进价分别是多少元？（2）小丽在销售单上记录了两天的数据如下表：请问两种鞋的销售价分别是多少？【分析】（1）设B款鞋的进价是每双x元，则A款鞋的进价是每双（x+20）元，然后根据花500元进A款鞋的数量和花400元进B款鞋的数量相同即可列方程求解；（2）设A款鞋的销售价是每双a元，B款鞋的销售价是每双b元，根据表中的数据即可列方程组求解．【解答】解：（1）设B款鞋的进价是每双x元，则A款鞋的进价是每双（x+20）元，根据题意得＝，解得x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，x+20＝80+20＝100．答：A款鞋的进价是每双100元，B款鞋的进价是每双80元；（2）设A款鞋的销售价是每双a元，B款鞋的销售价是每双b元，根据题意得，解得．答：A款鞋的销售价是每双120元，B款鞋的销售价是每双100元．【点评】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．24．（垦利县期末）为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成．（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．【分析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．【解答】解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．根据题意得：方程两边同乘以2x，得2x＝30解得：x＝15经检验，x＝15是原方程的解．∴当x＝15时，2x＝30．答：甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天；（2）因为甲乙两工程队均能在规定的40天内单独完成，所以有如下三种方案：方案一：由甲工程队单独完成．所需费用为：4.5×15＝67.5（万元）；方案二：由乙工程队单独完成．所需费用为：2.5×30＝75（万元）；方案三：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（4.5+2.5）×10＝70（万元）．∵75＞70＞67.5∴应该选择甲工程队承包该项工程．【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．25．（南浔区期末）某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？【分析】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a+b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a+b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可；（2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m﹣1）遍、走过楼梯（n﹣1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n+m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m﹣n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果．【解答】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．由题意得：，①÷②得：，整理得：b＝2a，代入②得x＝48．答：扶梯露在外面的部分有48级；（2）设追上乙时，甲扶梯走了m遍，楼梯走了n遍，则乙走扶梯（m﹣1）遍，走楼梯（n﹣1）遍．由题意得：，整理得：m+6n＝16，这里m，n中必有一个是整数，且0≤m﹣n≤1．①若m为整数，则，∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件）（不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去）②若n为整数，m＝16﹣6n，∴，这些均不符合要求，∴，此时，甲在楼梯上．他已走动的级数是（级）．【点评】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．26．（来凤县期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是 ② （填写序号即可）；（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；（3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形：小东：＝＝小强：＝＝显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： 小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母 ，请你接着小强的方法完成化简．【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；（2）根据和谐分式的定义可以得到a的值；（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．【解答】解：（1）②分式＝，不可约分，∴分式是和谐分式，故答案为：②；（2）∵分式为和谐分式，且a为正整数，∴a＝4，a＝5；（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，原式＝＝＝＝故答案为：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答．27．（安岳县一模）计划在某广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？【分析】（1）首先设A种花木的数量为x棵，B种花木的数量为y棵，根据题意可得等量关系：①A、B两种花木共6600棵；②A花木数量＝B花木数量的2倍﹣600棵，根据等量关系列出方程，再解即可；（2）首先设应安排a人种植A花木，则安排（26﹣a）人种植B花木，由题意可等量关系：种植A花木所用时间＝种植B花木所用时间，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：（1）设A种花木的数量为x棵，B种花木的数量为y棵，由题意得：，解得：，答：A种花木的数量为4200棵，B种花木的数量为2400棵；（2）设应安排a人种植A花木，由题意得：＝，解得：a＝14，经检验：a＝14是原方程的解，26﹣a＝12，答：应安排14人种植A花木，应安排，12人种植B花木，才能确保同时完成各自的任务．【点评】此题主要考查了二元一次方程组和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程或方程组．28．（越秀区一模）广州火车南站广场计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；（2）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，最后要检验．【解答】解：（1）设B花木的数量是x棵，则A花木的数量是（2x﹣600）棵，x+（2x﹣600）＝6600，解得，x＝2400，∴2x﹣600＝4200即A花木的数量是4200棵，B花木的数量是2400棵；（2）设安排y人种植A花木，则安排（26﹣y）人种植B花木，解得，y＝14，经检验，y＝14是原方程的解，∴26﹣y＝12，即安排14人种植A花木，12人种植B花木，才能确保同时完成各自的任务．【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次方程．29．（成都）金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元，工程预算的施工费用为50万元．为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天，工程任务是1，工作效率分别是：；工作量＝时间×工作效率，等量关系为：前10天甲的工作量+后30天甲乙合做工作量＝1．据此可列方程求解．（2）在（1）的基础上，求得甲乙单独完成这项需要的天数，得到甲乙的工作效率，用（甲的工作效率+乙的工作效率）×合做天数＝1得出合做天数，再进一步计算出每个队的费用，回答题目的问题．【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天．根据题意得：+30×（+）＝1．解得：x＝90．经检验：x＝90是原方程的根．∴x＝×90＝60．答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要60天和90天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天．可得：y（+）＝1．解得：y＝36．需要施工费用：36×（0.84+0.56）＝50.4．∵50.4＞50∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算0.4万元．【点评】通过第一问可以得出甲、乙两队单独完成这项工程各需要天数，也就知道了甲乙的工作效率，在第二问中甲乙工作效率是没有变的，要充分运用这个结论．找到合适的等量关系是解决问题的关键．30．（玉林）今年五月，某工程队（有甲、乙两组）承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．【分析】（1）因为甲、乙两组合做24天后完成了总工程1，所以在知道他们各自工效的情况下，可列方程进行解答．（2）在（1）的基础上，先求出完成总工作的情况下用去了多少天，即留给他们的时间还有多少，然后考虑，在已知的工效前提下，甲乙完成剩下的各需多少天，从而进行解答．【解答】解：（1）设规定时间为x天，则．解之，得x1＝28，x2＝2．经检验可知，x1＝28，x2＝2都是原方程的根，但x2＝2不合题意，舍去，取x＝28．由24＜28知，甲、乙两组合做可在规定时间内完成．（2）设甲、乙两组合做完成这项工程的用去y天，则．解之，得y＝20（天）．由（1）得，甲单独完成需要60天，乙单独完成需要40天，则剩余的工作量，甲独做剩下工程所需时间：10（天）．因为20+10＝30＞28，所以甲独做剩下工程不能在规定时间内完成；乙独做剩下工程所需时间：（天）．因为20+＝26＜28．所以乙独做剩下工程能在规定时间内完成．所以我认为抽调甲组最好．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 消费金额p（元）的范围200≤p＜400400≤p＜500500≤p＜700700≤p＜900…获得奖券金额（元）3060100130…日期A款女鞋销量B款女鞋销量销售总额6月1日12双8双2240元6月2日8双10双1960元
第5章分式（压轴30题专练）一．选择题（共2小题）1．（拱墅区校级模拟）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）A． B． C． D．【分析】设第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个图可得空余部分的体积，进而可得玻璃瓶的容积，让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可．【解答】解：设规则瓶体部分的底面积为s平方厘米．倒立放置时，空余部分的体积为bs立方厘米，正立放置时，有墨水部分的体积是as立方厘米，因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的＝．故选：A．【点评】考查列代数式；用墨水瓶的底面积表示出墨水的容积及空余部分的体积是解决本题的突破点．2．（汉阳区校级自主招生）已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则的值为（ ）A．﹣1 B． C．2 D．【分析】由a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac＝；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．【解答】解：由a+b+c＝2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝4，将已知代入，得ab+bc+ac＝；由a+b+c＝2得：c﹣1＝1﹣a﹣b，∴ab+c﹣1＝ab+1﹣a﹣b＝（a﹣1）（b﹣1），同理，得bc+a﹣1＝（b﹣1）（c﹣1），ca+b﹣1＝（c﹣1）（a﹣1），∴原式＝++＝＝＝＝＝﹣．故选：D．【点评】本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．二．填空题（共4小题）3．（射洪市校级月考）若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围为 m＞4 ．【分析】若分式不论x取何实数总有意义，则其分母x2+4x+m会写成（a+b）2+k（k＞0）的形式，利用k＞0，求字母的范围．【解答】解：方法一、∵当Δ＝b2﹣4ac＜0时，x2+4x+m＝0无解，即42﹣4m＜0，解得m＞4，∴当m＞4时，不论x取何实数，分式总有意义．方法二、∵x2+4x+m＝x2+4x+4﹣4+m＝（x+2）2﹣4+m，∴当﹣4+m＞0时，分式不论x取何实数总有意义，∴m＞4，故答案为m＞4．【点评】此题主要考查了分式的意义，要求掌握．意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．当分母是个二项式时，分式有意义的条件是分母能整理成（a+b）2+k（k＞0）的形式，即一个完全平方式与一个正数的和的形式．只要这样不论未知数取何值，式子（a+b）2+k（k＞0）恒大于零，分式总有意义．4．（乐清市月考）已知x为整数，则能使代数式的值为整数的x值之和为 ﹣4 ．【分析】将分式化成一个整式加上一个真分式的形式，然后只需要2是x+1的倍数即可，最后求和即可．【解答】解：＝＝＝x+1﹣3+＝x﹣2+，∵分式的值为整数，∴x+1＝±1，±2，∴x＝0，﹣2，1，﹣3．∴0+（﹣2）+1+（﹣3）＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了分式的整数值，考核学生的计算能力，将分式变形是解题的关键．5．（沂源县期中）若＝2，则＝ 【分析】由＝2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可．【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy则＝＝＝．故答案为．【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．6．（金华模拟）化简：＝ ．【分析】根据同分母分式加减的运算法则可知：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，故可将直接原式进行化简．【解答】解：原式＝．【点评】本题考查了同分母分式加减的运算，关键在于学生熟练掌握运算法则进行化简．三．解答题（共24小题）7．（永川区期末）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣3．【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，求出结果，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝[]•＝•＝，当x＝﹣3时，原式＝＝2．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．8．（二七区校级期中）阅读下面材料，并解答问题．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b．则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b∴，∴∴＝＝﹣＝（x2+2）﹣这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式﹣的和．根据上述作法，将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．【分析】根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可．【解答】解：＝＝x2+7﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（江津区期末）先化简，再求值：，其中x从﹣1、+1、﹣2，﹣3中选出你认为合理的数代入化简后的式子中求值．【分析】先把括号内通分后进行同分母的减法运算，再把分子分母因式分解和把除法运算化为乘法运算，然后约分后得到原式＝，根据分式有意义的条件，把x＝﹣3代入计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝，当x＝﹣3时，原式＝＝2．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．10．（婺城区校级期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；（3）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且120＜a＜136，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．【分析】（1）设原计划每天加工纸箱x个，则现在每天加工1.5x个，根据题意列出分式方程解答即可；（2）折竖式纸盒，横式纸盒各加工x、y个，根据购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，恰好能将购进的纸板全部用完列出方程组解答即可；（2）设x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出y的取值范围即可．【解答】解：（1）设原计划每天加工纸箱x个，则现在每天加工1.5x个，由题意得﹣2＝解得x＝20经检验x＝20是原分式方程的解，答：原计划每天加工纸箱20个．（2）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，依题意，得解得：答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个；（3）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，依题意得：∴y＝40﹣，∵y、a为正整数，∴a为5的倍数，∵120＜a＜136∴满足条件的a为：125，130，135．当a＝125时，x＝20，y＝15；当a＝130时，x＝22，y＝14；当a＝135时，x＝24，y＝13据符合题意，∴a所有可能的值是125，130，135【点评】本题考查分式方程、二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题找出等量关系式解答即可．11．（前郭县期末）学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定日期内完成．如果由甲工程小组做，恰好按期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定日期3天．结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是几天？【分析】由题意可知甲的工作效率＝1÷规定日期，乙的工作效率＝1÷（规定日期+3）；根据“结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成”可知甲做两天的工作量+乙做规定日期的工作量＝1，由此可列出方程．【解答】解：设规定日期为x天，根据题意，得2（+）+×（x﹣2）＝1解这个方程，得x＝6经检验，x＝6是原方程的解．∴原方程的解是x＝6．答：规定日期是6天．【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题主要考查的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1．12．（婺城区校级期末）“十•一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8＝360（元），获得优惠额为：450×0.2+30＝120（元）．设购买商品的优惠率＝．试问：（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？【分析】（1）由800元×80%得出消费金额，再根据表中规定应享受100元优惠．则根据题目提供的优惠计算方法即可求出优惠额，从而得到优惠率；（2）因为西服标价高于700元，低于850，所以其消费额最小为700×0.8＝560（元），最大为850×0.8＝680（元），500≤p＜700，因此获得的奖券金额为100元，设西服标价x元，根据题意可列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）消费金额为800×0.8＝640（元），获得优惠额为：800×0.2+100＝260（元），所以优惠率为：＝32.5%；（2）因为西服标价高于700元，低于850，所以其消费额最小为700×0.8＝560（元），最大为850×0.8＝680（元），500≤p＜700，设西服标价x元，根据题意得，解得x＝750，经检验，x＝750是原方程的根．答：该套西装的标价为750元．【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．要注意题中给出的判断条件．此题关键是套用优惠率的公式．13．（建平县期末）先化简，再求值：，其中m＝5．【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．【解答】解：原式＝＝＝；当m＝5时，原式＝8．【点评】本题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键．14．（南召县模拟）先化简，再求值：（）÷，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝•＝2x+8，当x＝1时，原式＝2+8＝10．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．15．（内乡县一模）先化简代数式（1﹣）÷，再从﹣2≤a≤2中选一个恰当的整数作为a的值代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a＝0时，原式＝＝2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．16．（安徽模拟）（1）解下列方程：①根为 x1＝1，x2＝2 ；②根为 x1＝2，x2＝3 ；③根为 x1＝3，x2＝4 ；（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为 x+＝2n+1 ，其根为 x1＝n，x2＝n+1 ．（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程（n为正整数）的根．【分析】（1）首先去分母，即可化成一元二次方程，解方程求得x的值，然后进行检验，即可求得方程的解；（2）根据（1）中的三个方程的特点以及解的关系即可求解；（3）根据（3）的结果，把所求的方程化成x﹣3+＝2n+1的形式，把x﹣3当作一个整体即可求解．【解答】解：（1）①去分母，得：x2+2＝3x，即x2﹣3x+2＝0，（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0，x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝2，经检验：x1＝1，x2＝2都是方程的解；②去分母，得：x2+6＝5x，即x2﹣5x+6＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，则x﹣2＝0，x﹣3＝0，解得：x1＝2，x2＝3，经检验：x1＝2，x2＝3是方程的解；③去分母，得：x2+12＝7x，即x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，则x1＝3，x2＝4，经检验x1＝3，x2＝4是方程的解；（2）出第n个方程为x+＝2n+1，解是x1＝n，x2＝n+1；（3），即x﹣3+＝2n+1，则x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，解得：x1＝n+3，x2＝n+4．【点评】本题考查了分式方程的解法，注意方程的式子的特点，以及对应的方程的解之间的关系是解决本题的关键．17．（谷城县校级自主招生）若关于x的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解．【分析】先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k的值．【解答】解：原方程化为kx2+（2﹣3k）x﹣1＝0①．（1）当k＝0时，原方程有一个解，x＝；（2）当k≠0时，方程①△＝5k2+4（k﹣1）2＞0，总有两个不同的实数根，由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根，故x＝1，得k＝．综上可知，k的值为0或，当k＝0时，方程的解为x＝；k＝时，方程的解为x＝﹣2．【点评】本题考查了解分式方程．注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．18．（鄞州区期末）已知：a﹣b＝m，b﹣c＝n．（1）m＝3，n＝4，求代数式（a﹣c）2，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．（2）若m＜0，n＜0，判断代数式的值与0的大小关系并说明理由．【分析】（1）由a﹣b＝m，b﹣c＝n．化简出a﹣c的值，可求（a﹣c）2，再配方即可求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值；（2）由m＜0，n＜0，可得m+n小于0及mn大于0，将要求得式子通分，配方化简，利用完全平方式可得结论．【解答】解：（1）∵a﹣b＝m，b﹣c＝n，m＝3，n＝4∴a﹣c＝m+n＝7，a﹣b＝3，b﹣c＝4∴（a﹣c）2＝49a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝＝＝37∴（a﹣c）2的值为49，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为37．（2）代数式＜0，理由如下：∵a﹣b＝m，b﹣c＝n，a﹣c＝m+n，m＜0，n＜0∴m+n＜0，mn＞0∴＝＝＝＝＝＜0故代数式的值小于0．【点评】本题综合考查了分式的化简求值及配方法在化简求值中的应用，题目计算难度较大，综合性较强．19．（西湖区校级月考）某火车站在检票前若干分钟就开始排队，排队人数按一定的速度增加，如果开放一个检票口，则要40分钟检票口前的队伍才能消失，如果同时开放两个检票口，则16分钟队伍就消失了，设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，要多少时间检票口队伍才会消失？【分析】可以设检票口等候检票的人为a人，每个检票口每分钟检票为x人，每分钟新增加排队的为y人，根据“开放一个检票口，要40分钟检完票”和“开放两个检票口，16分钟检完标”可得到两个方程，解方程组即可得到一个关于检票时间的代数式，注意用代和消元法求解．【解答】解：设检票口等候检票的人有a人，每个检票口每分钟检票x人，每分钟新增加排队的有y人（5分）则（10分）消去a得：x＝3y∴a＝40（x﹣y）＝80y，当开放三个窗口时，检票时间为：（分钟）答：同时开放三个检票口，10分钟队伍消失．（18分）解法二：可以设每个检票口每分钟检票的人数为1份，则每分钟新增的人数为：（40×1×1﹣2×1×16）÷（40﹣16）＝1/3份，∴原有人数为40﹣40×1/3＝80/3份，∴同时开放三个检票口要用80/3÷（3﹣1/3）＝10分钟队伍消失．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用分式方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．20．（黄石期末）阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3＝（﹣x2+1）（x2+a）+b则﹣x4﹣x2+3＝（﹣x2+1）（x2+a）+b＝﹣x4﹣ax2+x2+a+b＝﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a＝2，b＝1．∴＝+．这样，分式被拆分成了一个整式（x2+2）与一个分式的和．解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．（2）当﹣1＜x＜1时，试求的最小值．（3）如果的值为整数，求x的整数值．【分析】（1）仿照阅读材料中的方法求出a与b的值，即可得到结果；（2）根据（1）中的结果，利用基本不等式求出最小值为8即可；（3）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，再根据分式值为整数，即可得到x的整数值．【解答】解：（1）由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣6x2+8＝（﹣x2+1）（x2+a）+b，则﹣x4﹣6x2+8＝（﹣x2+1）（x2+a）+b＝﹣x4﹣ax2+x2+a+b＝﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b），∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a＝7，b＝1，∴＝＝+＝x2+7+，这样，分式被拆分成了一个整式x2+7与一个分式的和．（2）＝x2+7+，∵x2≥0，∴x2+7≥7，此时﹣1＜x＜1，当x＝0时，取得最小值0，∴当x＝0时，x2+7+最小值为8，即的最小值为8．（3）＝＝＝2﹣；∵的值为整数，且x为整数；∴x+1为3的约数，∴x+1的值为1或﹣1或3或﹣3；∴x的值为0或﹣2或2或﹣4．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．21．（定州市期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：＝＝1﹣；再如：＝＝＝x+1+．解决下列问题：（1）分式是 真 分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式 1﹣ 的形式；（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为 0，﹣2，2，﹣4 ．【分析】（1）根据阅读材料中真分式与假分式的定义判断即可；（2）原式变形，化为带分式即可；（3）分式化为带分式后，即可确定出x的整数值．【解答】解：（1）分式是真分式；（2）＝＝1﹣；（3）＝＝2﹣为整数，则x的可能整数值为 0，﹣2，2，﹣4．故答案为：（1）真；（2）1﹣；（3）0，﹣2，2，﹣4【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（上虞区期末）先阅读下列解题过程，再回答问题：计算：+解：原式＝﹣…①＝﹣…②＝4﹣（x+2）…③＝2﹣x…④（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是 ③ ，错误做法是 去分母 ．（2）请你给出正确的解答．【分析】（1）观察解题过程找出出错的步骤序号，并找出原因即可；（2）写出正确的解题过程即可．【解答】解：（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是③，错误做法是去分母，故答案为：③；去分母；（2）正确解法为：原式＝﹣＝﹣＝＝﹣＝﹣．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．（秀洲区校级月考）小丽妈妈在网上做淘宝生意，专门销售女式布鞋，一次，小丽发现一个进货单上的一个信息是：A款鞋的进价比B款鞋进价多20元，花500元进A款鞋的数量和花400元进B款鞋的数量相同．（1）问A、B款鞋的进价分别是多少元？（2）小丽在销售单上记录了两天的数据如下表：请问两种鞋的销售价分别是多少？【分析】（1）设B款鞋的进价是每双x元，则A款鞋的进价是每双（x+20）元，然后根据花500元进A款鞋的数量和花400元进B款鞋的数量相同即可列方程求解；（2）设A款鞋的销售价是每双a元，B款鞋的销售价是每双b元，根据表中的数据即可列方程组求解．【解答】解：（1）设B款鞋的进价是每双x元，则A款鞋的进价是每双（x+20）元，根据题意得＝，解得x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，x+20＝80+20＝100．答：A款鞋的进价是每双100元，B款鞋的进价是每双80元；（2）设A款鞋的销售价是每双a元，B款鞋的销售价是每双b元，根据题意得，解得．答：A款鞋的销售价是每双120元，B款鞋的销售价是每双100元．【点评】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．24．（垦利县期末）为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成．（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．【分析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．【解答】解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．根据题意得：方程两边同乘以2x，得2x＝30解得：x＝15经检验，x＝15是原方程的解．∴当x＝15时，2x＝30．答：甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天；（2）因为甲乙两工程队均能在规定的40天内单独完成，所以有如下三种方案：方案一：由甲工程队单独完成．所需费用为：4.5×15＝67.5（万元）；方案二：由乙工程队单独完成．所需费用为：2.5×30＝75（万元）；方案三：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（4.5+2.5）×10＝70（万元）．∵75＞70＞67.5∴应该选择甲工程队承包该项工程．【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．25．（南浔区期末）某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？【分析】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a+b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a+b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可；（2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m﹣1）遍、走过楼梯（n﹣1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n+m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m﹣n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果．【解答】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．由题意得：，①÷②得：，整理得：b＝2a，代入②得x＝48．答：扶梯露在外面的部分有48级；（2）设追上乙时，甲扶梯走了m遍，楼梯走了n遍，则乙走扶梯（m﹣1）遍，走楼梯（n﹣1）遍．由题意得：，整理得：m+6n＝16，这里m，n中必有一个是整数，且0≤m﹣n≤1．①若m为整数，则，∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件）（不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去）②若n为整数，m＝16﹣6n，∴，这些均不符合要求，∴，此时，甲在楼梯上．他已走动的级数是（级）．【点评】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．26．（来凤县期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是 ② （填写序号即可）；（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；（3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形：小东：＝＝小强：＝＝显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： 小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母 ，请你接着小强的方法完成化简．【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；（2）根据和谐分式的定义可以得到a的值；（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．【解答】解：（1）②分式＝，不可约分，∴分式是和谐分式，故答案为：②；（2）∵分式为和谐分式，且a为正整数，∴a＝4，a＝5；（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，原式＝＝＝＝故答案为：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答．27．（安岳县一模）计划在某广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？【分析】（1）首先设A种花木的数量为x棵，B种花木的数量为y棵，根据题意可得等量关系：①A、B两种花木共6600棵；②A花木数量＝B花木数量的2倍﹣600棵，根据等量关系列出方程，再解即可；（2）首先设应安排a人种植A花木，则安排（26﹣a）人种植B花木，由题意可等量关系：种植A花木所用时间＝种植B花木所用时间，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：（1）设A种花木的数量为x棵，B种花木的数量为y棵，由题意得：，解得：，答：A种花木的数量为4200棵，B种花木的数量为2400棵；（2）设应安排a人种植A花木，由题意得：＝，解得：a＝14，经检验：a＝14是原方程的解，26﹣a＝12，答：应安排14人种植A花木，应安排，12人种植B花木，才能确保同时完成各自的任务．【点评】此题主要考查了二元一次方程组和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程或方程组．28．（越秀区一模）广州火车南站广场计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；（2）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，最后要检验．【解答】解：（1）设B花木的数量是x棵，则A花木的数量是（2x﹣600）棵，x+（2x﹣600）＝6600，解得，x＝2400，∴2x﹣600＝4200即A花木的数量是4200棵，B花木的数量是2400棵；（2）设安排y人种植A花木，则安排（26﹣y）人种植B花木，解得，y＝14，经检验，y＝14是原方程的解，∴26﹣y＝12，即安排14人种植A花木，12人种植B花木，才能确保同时完成各自的任务．【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次方程．29．（成都）金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元，工程预算的施工费用为50万元．为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天，工程任务是1，工作效率分别是：；工作量＝时间×工作效率，等量关系为：前10天甲的工作量+后30天甲乙合做工作量＝1．据此可列方程求解．（2）在（1）的基础上，求得甲乙单独完成这项需要的天数，得到甲乙的工作效率，用（甲的工作效率+乙的工作效率）×合做天数＝1得出合做天数，再进一步计算出每个队的费用，回答题目的问题．【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天．根据题意得：+30×（+）＝1．解得：x＝90．经检验：x＝90是原方程的根．∴x＝×90＝60．答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要60天和90天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天．可得：y（+）＝1．解得：y＝36．需要施工费用：36×（0.84+0.56）＝50.4．∵50.4＞50∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算0.4万元．【点评】通过第一问可以得出甲、乙两队单独完成这项工程各需要天数，也就知道了甲乙的工作效率，在第二问中甲乙工作效率是没有变的，要充分运用这个结论．找到合适的等量关系是解决问题的关键．30．（玉林）今年五月，某工程队（有甲、乙两组）承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．【分析】（1）因为甲、乙两组合做24天后完成了总工程1，所以在知道他们各自工效的情况下，可列方程进行解答．（2）在（1）的基础上，先求出完成总工作的情况下用去了多少天，即留给他们的时间还有多少，然后考虑，在已知的工效前提下，甲乙完成剩下的各需多少天，从而进行解答．【解答】解：（1）设规定时间为x天，则．解之，得x1＝28，x2＝2．经检验可知，x1＝28，x2＝2都是原方程的根，但x2＝2不合题意，舍去，取x＝28．由24＜28知，甲、乙两组合做可在规定时间内完成．（2）设甲、乙两组合做完成这项工程的用去y天，则．解之，得y＝20（天）．由（1）得，甲单独完成需要60天，乙单独完成需要40天，则剩余的工作量，甲独做剩下工程所需时间：10（天）．因为20+10＝30＞28，所以甲独做剩下工程不能在规定时间内完成；乙独做剩下工程所需时间：（天）．因为20+＝26＜28．所以乙独做剩下工程能在规定时间内完成．所以我认为抽调甲组最好．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 消费金额p（元）的范围200≤p＜400400≤p＜500500≤p＜700700≤p＜900…获得奖券金额（元）3060100130…日期A款女鞋销量B款女鞋销量销售总额6月1日12双8双2240元6月2日8双10双1960元
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