2024七年级数学下册第5章分式易错30题专练试题（附解析浙教版）

这是一份2024七年级数学下册第5章分式易错30题专练试题（附解析浙教版），共17页。
第5章分式（易错30题专练）一．选择题（共7小题）1．（拱墅区期末）要使分式有意义，则（　　）A．x＝±1 B．x≠±1 C．x≠1 D．x≠﹣1【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：要使分式有意义，则x+1≠0，解得，x≠﹣1，故选：D．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．2．（聊城）如果分式的值为0，那么x的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【解答】解：根据题意，得|x|﹣1＝0且x+1≠0，解得，x＝1．故选：B．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．3．（临海市期末）如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）A．缩小为原来的3倍 B．不变 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：＝，∴如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值不变，故选：B．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．4．（奉化区校级期末）计算结果正确的是（　　）A．a﹣b B．b﹣a C． D．【分析】先把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．【解答】解：＝﹣＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查了分式的加减法，通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．5．（奉化区校级期末）已知x+y＝3，xy＝2，则下列结论中①（x﹣y）2＝1，②x2+y2＝5，③x2﹣y2＝3，④，正确的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据将x+y＝2两边同时平方得：x2+y2＝5，分别计算各式可作判断．【解答】解：∵x+y＝3，∴（x+y）2＝9，即x2+y2＝9﹣2xy＝5，②正确；∴①（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝5﹣2×2＝1，①正确；③∵（x﹣y）2＝1，∴x﹣y＝±1，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3（x﹣y）＝±3，③不正确；④＝＝，④不正确；所以本题正确的有：①②，2个，故选：B．【点评】本题考查了分式的加减法和完全平方公式，将式子变形后可得两个数的平方和，熟练掌握完全平方公式是关键．6．（宁波期末）下列从左到右的变形正确的是（　　）A．（﹣a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．＝ C．2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2） D．4m2﹣6mn+9n2＝（2m﹣3n）2【分析】根据平方差公式、分式的基本性质、十字相乘法、完全平方公式分别对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、（﹣a﹣b）（a﹣b）＝﹣a2+b2，原变形错误，故此选项不符合题意；B、＝，原变形错误，故此选项不符合题意；C、2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2），原变形正确，故此选项符合题意；D、4m2﹣12mn+9n2＝（2m﹣3n）2，4m2﹣6mn+9n2不能在实数范围内因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平方差公式、分式的基本性质、十字相乘法、完全平方公式．熟练掌握平方差公式、分式的基本性质、十字相乘法、完全平方公式是解答此题的关键．7．（拱墅区期末）分式可变形为（　　）A． B． C． D．【分析】利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：＝﹣．故选：D．【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．二．填空题（共10小题）8．（诸暨市校级月考）已知x+2y﹣3z＝0，2x+3y+5z＝0，则＝　　．【分析】先解三元一次方程组，求出y＝11z，x＝﹣19z，然后代入分式中进行计算即可解答．【解答】解：，①×2得：2x+4y﹣6z＝0③，③﹣②得：y﹣11z＝0，解得：y＝11z，把y＝11z代入①中可得：x+22z﹣3z＝0，解得：x＝﹣19z，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了解三元一次方程组，分式的值，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．9．（柯桥区月考）若（a﹣b﹣2019）2+（2021﹣a+b）2＝5，则代数式的值为　﹣4042　．【分析】设a﹣b﹣2019＝x，由已知可得：x2﹣2x＝，即可得＝＝＝﹣4042．【解答】解：设a﹣b﹣2019＝x，则2021﹣a+b＝2﹣（a﹣b﹣2019）＝2﹣x，∴x2+（2﹣x）2＝5，化简变形可得：x2﹣2x＝，∴＝＝＝＝﹣4042，故答案为：﹣4042．【点评】本题考查求分式的值，解题的关键是整体思想和换元法的应用．10．（海曙区校级月考）若解分式方程＝产生增根，则k＝　﹣3　．【分析】根据题意可得x＝﹣2，再把x＝﹣2代入整式方程中进行计算即可．【解答】解：∵分式方程＝产生增根，∴x+2＝0，∴x＝﹣2，∵＝，∴x﹣1＝k，把x＝﹣2代入x﹣1＝k中得：k＝﹣2﹣1＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．11．（太原期末）分式有意义的条件是　x≠2　．【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：要使分式有意义，则x﹣2≠0，解得，x≠2，故答案是：x≠2．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．12．（镇海区期末）若关于x的方程+＝无解，则m＝　3或﹣3或9　．【分析】根据分式方程无解，得分母为0或x的系数为0即可求解．【解答】解：分式方程化简，得3（x﹣1）+6x＝m（x+1）整理，得（9﹣m）x＝3+m当x＝0时，m＝﹣3；当x＝1时，m＝3；当9﹣m＝0时，m＝9．故答案为：3或﹣3或9．【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是分式方程化为整式方程后x的系数为0时，原分式方程也无解．13．（西湖区校级开学）使分式有意义，x应满足的条件是　x≠1且x≠2　．【分析】要使分式有意义的条件为：x﹣1≠0且x﹣2≠0，就可求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0且x﹣2≠0，解得：x≠1且x≠2，故答案为：x≠1且x≠2．【点评】此题主要考查了分式的意义，要求掌握．意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．14．（拱墅区期末）若分式的值为0，则x的值为　﹣5　．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴，解得x＝﹣5且x≠，∴x的值为﹣5，故答案为：﹣5．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．15．（仙居县模拟）小明化简分式如下：＝﹣1，他的化简对还是错？（填写“对”或“错”）　错　，正确的化简结果是　﹣　．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：错，正确的解法是：﹣＝﹣＝＝﹣故答案为：错，﹣．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．16．（青白江区期末）对于实数a，b定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝，例如，1⊗3＝＝﹣．则方程x⊗2＝﹣1的解是　x＝5　．【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出分式方程的解即可．【解答】解：根据题中的新定义，化简得：＝﹣1，去分母得：1＝2﹣x+4，解得：x＝5，经检验，x＝5是分式方程的解，故答案为：x＝5．【点评】此题考查了解分式方程以及实数的运算，解分式方程时，一定要检验．弄清题中的新定义是解本题的关键．17．（沂源县期中）若＝2，则＝　　【分析】由＝2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可．【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy则＝＝＝．故答案为．【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．三．解答题（共13小题）18．（奉化区校级期末）先化简再求值：，在x＝±2、0、±1中选择一个你喜欢的数，求原式的值．【分析】将题中的分式先进行化简，再将所选值代入即可求解．【解答】解：原式＝＝＝＝3x+2∵x≠±2、0，∴当x＝1时，原式＝3+2＝5；或当x＝﹣1时，原式＝﹣3+2＝﹣1．【点评】本题考查分式的化简的有关内容，解题的关键是利用运算法则正确进行化简，要注意除法没有分配律．19．（奉化区校级期末）当m为何值时，分式的值为0？【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．【解答】解：由题意得，m2﹣4＝0，m2﹣m﹣6≠0，解得，m＝2，则当m＝2时，此分式的值为零．【点评】本题考查是的是分式有意义和分式的值为0的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．20．（奉化区校级期末）解答下列各题：（1）解方程：+1＝．（2）已知x﹣3y＝0，求分式的值．【分析】（1）先把方程两边乘以（x﹣1）（x+1）得到整式方程，然后解整式方程后进行检验确定原方程的解；（2）把x＝3y代入分式，然后计算分子、分母后约分即可．【解答】解：（1）去分母得﹣2（x+1）+（x﹣1）（x+1）＝x（x﹣1），解得x＝﹣3，经检验，原方程的解为x＝﹣3；（2）∵x﹣3y＝0，∴x＝3y，∴原式＝＝．【点评】本题考查了解分式方程：掌握解分式方程的步骤（去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论）．也考查了解二元一次方程组．21．（长兴县模拟）解方程﹣2．【分析】观察可得最简公分母是（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘（x﹣3），得：2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3），解得：x＝3，检验：当x＝3时，（x﹣3）＝0，∴x＝3是原分式方程的增根，原分式方程无解．【点评】此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．22．（马山县模拟）解方程：．【分析】此方程的分式中的分母互为相反数，还有一常数﹣1，去分母时不要漏乘．【解答】解：方程两边都乘以（2x﹣1），得x﹣（2x﹣1）＝﹣3，解得x＝4．检验：当x＝4时，2x﹣1＝7≠0，x＝4是原方程的解．【点评】此题难度适中，其中的方法和转化思想，有利于学生巩固基础知识．23．（余杭区模拟）解分式方程．圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．【分析】解分式方程的关键是去分母，去分母时方程的两边在乘以最简公分母时容易漏乘，需特别留意．【解答】解：不正确去分母，得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），去括号，得1﹣x＝﹣1﹣2x+4，解得x＝2．经检验，x＝2是增根，舍去．∴原方程无解．【点评】此题难度适中，有利于帮助学生克服解分式方程时常出现的错误．24．（习水县模拟）先化简，再求值：（a﹣1﹣）÷，请在﹣＜a＜的范围内选择一个合适的整数代入求值．【分析】先计算括号内的，把（a﹣1）当作一个整体，分母为1，与进行通分运算，并把运算的结果进行因式分解，的分子进行因式分解，化为，与括号内的运算结果，先约分，再进行运算，最后找到与的整数部分，对两个无理数进行估算，可以确定能够代值的整数有﹣1，0，1，2四个，但是分母不能为0，所以a只能取0或1，任意选择一个进行代值运算．【解答】解：原式＝＝＝，∵，且a为整数，∴a＝﹣1，0，1，2，又∵分母不能为0，∴a＝0或1，当a＝0时，原式＝﹣1．【点评】本题考查了分式的运算，有三个难点，一个难点是整式与分式加减，需把整式当作分母为1，第二个难点就是估算无理数的大小，尤其是的范围，关键是找到各个无理数的整数部分，第三个难点就是设置了分母不能为0的这个陷阱，题目只能代入0或1．25．（长兴县月考）用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．（1）用两种不同的方法由代数式来表示图中阴影部分的面积，并用等号连接；（2）若a＞b，利用（1）中的结论计算a+b＝1，ab＝，求a﹣b的值．（3）根据（1）中的结论，若x2﹣3x+1＝0，求x﹣的值．【分析】（1）阴影部分的面积＝4个长方形的面积和，阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，再求出答案即可；（2）把a+b＝1和ab＝代入（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，即可求出答案；（3）求出x+＝3，再根据（1）的结论进行变形，最后代入求出答案即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积S＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）∵a+b＝1，ab＝，又∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝12﹣4×＝1﹣＝，∴a﹣b＝＝（负数不符合题意，舍去）；（3）∵x2﹣3x+1＝0，∴x2+1＝3x，因为要使x﹣有意义，必须x≠0，所以方程两边除以x得：x+＝3，∴（x﹣）2＝（x+）2﹣4•x•＝32﹣4＝5，∴x﹣＝±．【点评】本题考查了列代数式，完全平方公式和分式的化简求值等知识点，能用两种不同的方法表示阴影部分的面积是解此题的关键．26．（巴南区期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．所以，解之，得．所以＝这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．问题：（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；（2）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．【分析】（1）根据阅读材料内容进行拆分：由分母为x﹣1，可设2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．计算即可；（2）根据阅读材料进行拆分：由分母为x2+2，可设5x4+9x2﹣3＝（x2+2）（5x2+a）+b．进行计算即可．【解答】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣2x﹣a+b＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，所以2x2+3x+6＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b．所以，解得．所以分式＝＝2x+5+．（2）由分母为x2+2，可设5x4+9x2﹣3＝（x2+2）（5x2+a）+b．因为（x2+2）（5x2+a）+b＝5x4+ax2+10x2+2a+b＝5x4+（a+10）x2+2a+b，所以5x4+9x2﹣3＝5x4+（a+10）x2+2a+b．所以，解得．所以＝＝5x2﹣1﹣．【点评】本题考查了分式的加减法，解决本题的关键是理解阅读材料内容，并会运用．27．（拱墅区校级模拟）（1）若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．（2）若方程＝﹣1的解是正数，求a的取值范围．【分析】（1）根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．（2）先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．【解答】解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），∴原方程增根为x＝±2，∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4．把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6．综上，可知m＝﹣4或6．（2）解：去分母，得2x+a＝2﹣x解得：x＝，∵解为正数，∴，∴2﹣a＞0，∴a＜2，且x≠2，∴a≠﹣4∴a＜2且a≠﹣4．【点评】本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．28．（闵行区期末）阅读材料：已知，求的值解：由得，＝3，则有x+＝3，由此可得，＝x2+＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7；所以，．请理解上述材料后求：已知＝a，用a的代数式表示的值．【分析】由＝a，可得＝，进而得到x+＝﹣1，再根据＝x2++1＝﹣2+1＝﹣1，整体代入即可得到的值．【解答】解：由＝a，可得＝，则有x+＝﹣1，由此可得，＝x2++1＝﹣2+1＝﹣1＝﹣1＝，所以，＝．【点评】本题主要考查了分式的值，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．29．（仙居县期末）某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元．①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解（2）①根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．②甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，分别根据完成工作量为1，施工总费用不超预算列不等式组可得结论．【解答】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要1.5x天．根据题意，得：（10+30）+×30＝1，解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的根．∴1.5x＝60×1.5＝90．答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．（2）①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，（+）y＝1，解得：y＝36，36×（2.5+2）＝162（万元），∵162＞160，∴不够，需追加162﹣160＝2（万元），答：不够用，需追加预算2万元；②甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，根据题意得：，由①得：2b＝180﹣3a③，把③代入②得：2.5a+180﹣3a≤160，a≥40，∴甲工程队至少需要施工40天．【点评】此题主要考查了分式方程的应用、二元一次不等式组的应用，根据题意列出方程或不等式组是解题的关键．30．（鄞州区期末）已知：a﹣b＝m，b﹣c＝n．（1）m＝3，n＝4，求代数式（a﹣c）2，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．（2）若m＜0，n＜0，判断代数式的值与0的大小关系并说明理由．【分析】（1）由a﹣b＝m，b﹣c＝n．化简出a﹣c的值，可求（a﹣c）2，再配方即可求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值；（2）由m＜0，n＜0，可得m+n小于0及mn大于0，将要求得式子通分，配方化简，利用完全平方式可得结论．【解答】解：（1）∵a﹣b＝m，b﹣c＝n，m＝3，n＝4∴a﹣c＝m+n＝7，a﹣b＝3，b﹣c＝4∴（a﹣c）2＝49a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝＝＝37∴（a﹣c）2的值为49，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为37．（2）代数式＜0，理由如下：∵a﹣b＝m，b﹣c＝n，a﹣c＝m+n，m＜0，n＜0∴m+n＜0，mn＞0∴＝＝＝＝＝＜0故代数式的值小于0．【点评】本题综合考查了分式的化简求值及配方法在化简求值中的应用，题目计算难度较大，综合性较强．